Topologie (3) - denischoimet.com

MP*1 2016/2017
Topologie (3)
Compacité
Exercice 1. Soit Iun intervalle de R, et f:I→Rune fonction dérivable.
1. Soit a < b des éléments de Itels que f0(a)f0(b)<0. Montrer qu’il existe c∈]a, b[tel que
f0(c) = 0.
2. Montrer que f0(I)est un intervalle.
Exercice 2. Soit (E, k · k)un espace normé, S(resp. B) sa sphère (resp. boule) unité. Montrer que S
est compacte si et seulement si Bl’est.
Exercice 3. Soit (E, d)un espace métrique compact, (E0, d0)un espace métrique et f:E→E0une
fonction continue et bijective. Montrer que f−1est continue.
Exercice 4. Soit f:R→Rune fonction continue. Montrer que les énoncés suivants sont équivalents :
(i)|f(x)| → +∞quand x→ ±∞,
(ii)l’image réciproque par fd’un compact de Rest un compact de R.
Exercice 5. Soit (E, d)un espace métrique compact. On note F,Set Iles parties de l’espace C(E, E)
constituées respectivement des applications admettant un point fixe, des surjections de Esur E, et
des injections de Edans E. Les ensembles F,Set Isont-ils fermés, ouverts dans C(E, E)muni de la
distance « uniforme » d∞(f, g) = supx∈Ed(f(x), g(x)) ?
Exercice 6. Un espace métrique (E, d)est dit séparable s’il possède une partie au plus dénombrable
dense.
1. Donner des exemples d’espaces métriques séparables. Justifier par exemple que c’est le cas de
C([0,1],C)muni de k·k∞.
2. Dans cette question, on donne des exemples d’espaces non séparables.
(a) On considère l’espace Edes suites réelles bornées. Pour u∈E, on pose kuk∞= supn≥0|un|.
Montrer qu’il existe une partie non dénombrable Xde Evérifiant
ku−vk∞= 1 pour u, v ∈Xtels que u6=v.
En déduire que En’est pas séparable.
(b) Montrer de même que l’espace Cb(]0,1[,C)des fonctions continues et bornées de ]0,1[ vers
Cn’est pas séparable.
3. Soit (E, d)un espace métrique compact.
(a) Montrer que, pour tout n≥1, il existe une partie finie Rnde Evérifiant
d(x, Rn)≤1
npour n≥1et x∈E.
(b) Montrer que tout espace métrique compact est séparable.
Exercice 7. Soit (E, d)un espace métrique, Oun ouvert de E, et (Kn)n≥0une suite décroissante de
compacts de Etelle que Tn≥0Kn⊂O. Montrer qu’à partir d’un certain rang, Knest inclus dans O.
Exercice 8. On note Ple demi-plan formé des nombres complexes de partie réelle strictement positive,
et Dle disque unité fermé de C.
1. Montrer qu’il existe une fonction continue a:P→Rtelle que, pour tout z∈P,a(z)soit un
argument de z.
1

2. Montrer qu’il existe une fonction continue L:P→Ctelle que eL(z)=zpour z∈P.
3. Soit f:D→C∗une fonction continue. On pose
fn,k(z) = fkz
npour n∈N∗,k∈[[0, n]] et z∈D.
(a) Justifier la définition de fn,k.
(b) Montrer qu’il existe n∈N∗tel que fn,k
fn,k−1soit à valeurs dans Ppour chaque k∈[[1, n]].
(c) Montrer qu’il existe g:D→Ctelle que f=eg.
4. Montrer qu’il n’existe pas de fonction continue h:C∗→Rtelle que, pour chaque z∈C∗,h(z)
soit un argument de z.
5. Exhiber une fonction continue du cercle unité de Cdans C∗qui n’admet pas de logarithme.
Exercice 9 (Expansions d’un espace métrique compact).Soit (E, d)un espace métrique compact et
f:E→Eune fonction vérifiant
d(f(x), f(y)) ≥d(x, y)pour tout (x, y)∈E2.
1. On fixe x, y ∈E.
(a) Montrer qu’il existe une extraction ϕtelle que les suites (fϕ(n)(x))n≥0et (fϕ(n)(y))n≥0
convergent toutes deux.
(b) Montrer que, pour tout ε > 0, il existe un entier n≥1tel que
d(fn(x), x)≤εet d(fn(y), y)≤ε.
(c) Conclure que fest une isométrie : d(f(x), f(y)) = d(x, y)pour tous x, y ∈E.
2. Montrer que fest surjective.
Exercice 10. Soit (E, d)un espace métrique compact et f:E→Eune surjection vérifiant de plus
d(f(x), f(y)) ≤d(x, y)pour tout (x, y)∈E2.
1. Montrer qu’il existe une fonction g:E→Evérifiant
f◦g=idEet d(g(x), g(y)) ≥d(x, y)pour x, y ∈E.
2. En utilisant l’exercice 8, montrer que fest une isométrie.
Exercice 11. Soit Xune partie de R. On dit que Xvérifie (P)si toute fonction continue de Xdans
Rest uniformément continue.
1. Donner des exemples de parties vérifiant (P).
2. Montrer que si Xvérifie (P), alors Xest fermée.
3. On dit que S⊂Rest séparée s’il existe ε > 0tel que |x−y| ≥ εpour tous xet ydistincts dans
S. Montrer que si Xvérifie (P), il existe deux parties Cet Sde R, respectivement compacte et
séparée, telle que X=C∪S.
4. Établir réciproquement que si Cest compacte et Sséparée, alors C∪Svérifie (P).
Exercice 12. Soit Eun espace vectoriel euclidien, et Aune partie de la sphère unité de Etelle qu’il
existe un réel λ < 1tel que
hx, yi ≤ λpour x, y ∈Adistincts.
Montrer que Aest finie.
Exercice 13. Soit Cun convexe compact non vide de l’espace vectoriel euclidien Rn, et T:C→C
une application telle que
kT(y)−T(x)k≤ky−xkpour (x, y)∈C2.
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1. Montrer que Tadmet au moins un point fixe.
2. Montrer que l’ensemble des points fixes de T, noté F(T), est fermé et convexe.
3. Soit (Tn)n≥0une suite d’applications de Cvers C,1-lipschitziennes et commutant deux à deux.
Montrer que les Tnpossèdent un point fixe commun.
Exercice 14 (Existence de distributions invariantes).Soit P∈Mn(R)vérifiant les conditions sui-
vantes :
(i)pij ≥0pour 1≤i, j ≤n,
(ii)Pn
i=1 pij = 1 pour 1≤j≤n(Pest stochastique en colonnes).
Montrer qu’il existe un vecteur x= (x1, . . . , xn)∈Rnà coordonnées positives et vérifiant Pn
i=1 xi= 1
et Ax =x. On pourra utiliser la suite de terme général uk=1
kPk−1
i=0 Pia,aétant un vecteur de Rn
judicieusement choisi.
Exercice 15 (Ensemble triadique de Cantor).Notons Sl’ensemble des segments non réduits à un
point de R. Si J= [a, b]est un élément de S, on pose
T(J) = a, a +b−a
3∪b−b−a 3, b.
Autrement dit, T(J)est J« privé de son tiers central ». On définit une suite (Kn)n≥0de parties de R
de la façon suivante.
•K0= [0,1],
•si n≥0,Kn+1 est obtenu en appliquant Tà chacun des segments constituant Kn.
Ainsi, par exemple,
K1=0,1
3∪2 3,1et K2=0,1 9∪2 9,1 3∪2 3,7 9∪8 9,1.
On pose enfin
K=\
n≥0
Kn.
1. Montrer que Kest une partie compacte de R.
2. Montrer que Kest d’intérieur vide.
3. Montrer que Kest sans point isolé.
4. On se propose de montrer que Kn’est pas dénombrable.
(a) Montrer que, pour chaque n≥0, les origines des segments constitutifs de Knsont exacte-
ment les rationnels de la forme
n
X
k=1
εk
3k, avec (ε1, . . . , εn)∈ {0,2}n.
(b) Soit (εk)k≥1∈ {0,2}N∗. Montrer que P∞
k=1 εk3−k∈K.
(c) Conclure.
5. Question subsidiaire : montrer que
K=(∞
X
k=1
εk
3k,(εk)k≥1∈ {0,2}N∗).
Exercice 16. Soit Pun polynôme à coefficients réels, de degré n≥2. On note El’ensemble des réels
atels que le polynôme P−aest scindé sur R.
1. Montrer que si Eest non vide, alors le polynôme P0est scindé sur R.
2. Soit aet bdeux éléments de E. En étudiant le polynôme (P−a)(P−b), montrer que a+b
2∈E.
3. Montrer que Eest un fermé de R.
4. Que peut-on conclure ?
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Exercice 17. On note El’ensemble des suites de points de [0,1], et on pose
d(u, v) =
∞
X
n=0
|un−vn|
2npour u, v ∈E.
1. Montrer que (E, d)est un espace métrique compact.
2. En est-il de même de (E, d∞), où d∞(u, v) = supn≥0|un−vn|?
Exercice 18. Soit Eun espace normé, et Fun sous-espace vectoriel de dimension finie de E.
1. Montrer que, si x∈E, la distance d(x, F )est atteinte.
2. On suppose de plus la norme de Estrictement convexe, au sens où, si kxk=kyk= 1,x6=yet
t∈]0,1[, alors
ktx + (1 −t)yk<1.
(a) Donner un exemple d’une telle norme.
(b) On revient au cas général. Montrer que, si x∈E, la distance d(x, F )est atteinte en un
unique point p(x)de F.
(c) Montrer que l’application p:E→Fainsi définie est continue.
Exercice 19. Soit Eun espace normé réel de dimension finie, et Kun compact de Edont 0soit un
point intérieur. On pose H={u∈L(E)/u(K)⊂K}. Montrer que |det u| ≤ 1pour tout u∈H.
Exercice 20. Soit Eet Fdeux espaces métriques, Fétant compact, et f:E×F→Rune fonction
continue. Pour chaque x∈E, on pose M(x) = maxy∈Ff(x, y). Montrer que la fonction M:E→R
ainsi définie et continue.
Exercice 21. L’espace R2est muni de sa structure euclidienne standard. Si Xest une partie bornée
non vide de R2et εun réel strictement positif, on note N(X, ε)le nombre minimal de boules ouvertes
de rayon εnécessaires pour recouvrir X.
1. Justifier l’existence de N(X, ε).
2. On note Dle disque unité fermé de R2. Montrer que, pour ε > 0, on a N(D, ε)≥ε−2.
3. Soit α > 1
2,C > 0et f: [0,1] →Dune fonction vérifiant
kf(s)−f(t)k ≤ C|s−t|αpour s, t ∈[0,1].
Montrer que fn’est pas surjective.
Exercice 22 (Différentes formulations de la compacité).Soit (E, d)un espace métrique. On dit que
(E, d)est précompact si, pour tout ε > 0, on peut recouvrir Epar un nombre fini de boules ouvertes
de rayon ε. On considère à présent les trois énoncés :
(i)si (Ui)i∈Iest une famille d’ouverts de Etelle que E=Si∈IUi, alors il existe une partie finie J
de Itelle que E=Sj∈JUj(Borel-Lebesgue),
(ii)toute suite de points de Epossède une valeur d’adhérence (Bolzano-Weierstrass),
(iii) (E, d)est précompact et complet.
1. Montrer que toute partie d’un espace métrique précompact est précompacte 1.
2. Reformuler l’énoncé (i)en termes de fermés. En déduire que (i)⇒(ii).
3. Montrer que (ii)⇒(iii).
4. On suppose enfin l’énoncé (iii)vrai, et on considère une famille (Ui)i∈Id’ouverts de Etelle
que E=Si∈IUi. On veut montrer que (i)est vrai, par l’absurde. On suppose donc qu’aucune
sous-famille finie de (Ui)i∈Ine recouvre E.
(a) Montrer l’existence d’une suite (un)n≥0de points de Evérifiant les conditions suivantes :
(i0)pour chaque n≥0, aucune sous-famille finie de (Ui)i∈Ine recouvre la boule B(un,2−n),
(ii0)d(un, un+1)≤2−npour n≥0.
(b) Conclure.
1. au sens où l’espace métrique (X, dX)– où dXdésigne la métrique induite – l’est.
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