Topologie (3) - denischoimet.com

MP*1
2016/2017
Topologie (3)
Compacité
Exercice 1. Soit I un intervalle de R, et f : I → R une fonction dérivable.
1. Soit a < b des éléments de I tels que f 0 (a)f 0 (b) < 0. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que
f 0 (c) = 0.
2. Montrer que f 0 (I) est un intervalle.
Exercice 2. Soit (E, k · k) un espace normé, S (resp. B) sa sphère (resp. boule) unité. Montrer que S
est compacte si et seulement si B l’est.
Exercice 3. Soit (E, d) un espace métrique compact, (E 0 , d0 ) un espace métrique et f : E → E 0 une
fonction continue et bijective. Montrer que f −1 est continue.
Exercice 4. Soit f : R → R une fonction continue. Montrer que les énoncés suivants sont équivalents :
(i) |f (x)| → +∞ quand x → ±∞,
(ii) l’image réciproque par f d’un compact de R est un compact de R.
Exercice 5. Soit (E, d) un espace métrique compact. On note F, S et I les parties de l’espace C(E, E)
constituées respectivement des applications admettant un point fixe, des surjections de E sur E, et
des injections de E dans E. Les ensembles F, S et I sont-ils fermés, ouverts dans C(E, E) muni de la
distance « uniforme » d∞ (f, g) = supx∈E d(f (x), g(x)) ?
Exercice 6. Un espace métrique (E, d) est dit séparable s’il possède une partie au plus dénombrable
dense.
1. Donner des exemples d’espaces métriques séparables. Justifier par exemple que c’est le cas de
C([0, 1], C) muni de k · k∞ .
2. Dans cette question, on donne des exemples d’espaces non séparables.
(a) On considère l’espace E des suites réelles bornées. Pour u ∈ E, on pose kuk∞ = supn≥0 |un |.
Montrer qu’il existe une partie non dénombrable X de E vérifiant
ku − vk∞ = 1 pour u, v ∈ X tels que u 6= v.
En déduire que E n’est pas séparable.
(b) Montrer de même que l’espace Cb (]0, 1[, C) des fonctions continues et bornées de ]0, 1[ vers
C n’est pas séparable.
3. Soit (E, d) un espace métrique compact.
(a) Montrer que, pour tout n ≥ 1, il existe une partie finie Rn de E vérifiant
d(x, Rn ) ≤
1
pour n ≥ 1 et x ∈ E.
n
(b) Montrer que tout espace métrique compact est séparable.
Exercice 7. Soit (E, d) T
un espace métrique, O un ouvert de E, et (Kn )n≥0 une suite décroissante de
compacts de E telle que n≥0 Kn ⊂ O. Montrer qu’à partir d’un certain rang, Kn est inclus dans O.
Exercice 8. On note P le demi-plan formé des nombres complexes de partie réelle strictement positive,
et D le disque unité fermé de C.
1. Montrer qu’il existe une fonction continue a : P → R telle que, pour tout z ∈ P , a(z) soit un
argument de z.
1
2. Montrer qu’il existe une fonction continue L : P → C telle que eL(z) = z pour z ∈ P .
3. Soit f : D → C∗ une fonction continue. On pose
kz
pour n ∈ N∗ , k ∈ [[0, n]] et z ∈ D.
fn,k (z) = f
n
(a) Justifier la définition de fn,k .
(b) Montrer qu’il existe n ∈ N∗ tel que
fn,k
fn,k−1
soit à valeurs dans P pour chaque k ∈ [[1, n]].
(c) Montrer qu’il existe g : D → C telle que f = eg .
4. Montrer qu’il n’existe pas de fonction continue h : C∗ → R telle que, pour chaque z ∈ C∗ , h(z)
soit un argument de z.
5. Exhiber une fonction continue du cercle unité de C dans C∗ qui n’admet pas de logarithme.
Exercice 9 (Expansions d’un espace métrique compact). Soit (E, d) un espace métrique compact et
f : E → E une fonction vérifiant
d(f (x), f (y)) ≥ d(x, y) pour tout (x, y) ∈ E 2 .
1. On fixe x, y ∈ E.
(a) Montrer qu’il existe une extraction ϕ telle que les suites (f ϕ(n) (x))n≥0 et (f ϕ(n) (y))n≥0
convergent toutes deux.
(b) Montrer que, pour tout ε > 0, il existe un entier n ≥ 1 tel que
d(f n (x), x) ≤ ε et d(f n (y), y) ≤ ε.
(c) Conclure que f est une isométrie : d(f (x), f (y)) = d(x, y) pour tous x, y ∈ E.
2. Montrer que f est surjective.
Exercice 10. Soit (E, d) un espace métrique compact et f : E → E une surjection vérifiant de plus
d(f (x), f (y)) ≤ d(x, y) pour tout (x, y) ∈ E 2 .
1. Montrer qu’il existe une fonction g : E → E vérifiant
f ◦ g = idE et d(g(x), g(y)) ≥ d(x, y) pour x, y ∈ E.
2. En utilisant l’exercice 8, montrer que f est une isométrie.
Exercice 11. Soit X une partie de R. On dit que X vérifie (P) si toute fonction continue de X dans
R est uniformément continue.
1. Donner des exemples de parties vérifiant (P).
2. Montrer que si X vérifie (P), alors X est fermée.
3. On dit que S ⊂ R est séparée s’il existe ε > 0 tel que |x − y| ≥ ε pour tous x et y distincts dans
S. Montrer que si X vérifie (P), il existe deux parties C et S de R, respectivement compacte et
séparée, telle que X = C ∪ S.
4. Établir réciproquement que si C est compacte et S séparée, alors C ∪ S vérifie (P).
Exercice 12. Soit E un espace vectoriel euclidien, et A une partie de la sphère unité de E telle qu’il
existe un réel λ < 1 tel que
hx, yi ≤ λ pour x, y ∈ A distincts.
Montrer que A est finie.
Exercice 13. Soit C un convexe compact non vide de l’espace vectoriel euclidien Rn , et T : C → C
une application telle que
kT (y) − T (x)k ≤ ky − xk pour (x, y) ∈ C 2 .
2
1. Montrer que T admet au moins un point fixe.
2. Montrer que l’ensemble des points fixes de T , noté F (T ), est fermé et convexe.
3. Soit (Tn )n≥0 une suite d’applications de C vers C, 1-lipschitziennes et commutant deux à deux.
Montrer que les Tn possèdent un point fixe commun.
Exercice 14 (Existence de distributions invariantes). Soit P ∈ Mn (R) vérifiant les conditions suivantes :
(i) pP
ij ≥ 0 pour 1 ≤ i, j ≤ n,
n
(ii)
i=1 pij = 1 pour 1 ≤ j ≤ n (P est stochastique en colonnes).
P
Montrer qu’il existe un vecteur x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn à coordonnées positives et vérifiant ni=1 xi = 1
P
i
n
et Ax = x. On pourra utiliser la suite de terme général uk = k1 k−1
i=0 P a, a étant un vecteur de R
judicieusement choisi.
Exercice 15 (Ensemble triadique de Cantor). Notons S l’ensemble des segments non réduits à un
point de R. Si J = [a, b] est un élément de S, on pose
b−a
b−a
∪ b−
T (J) = a, a +
,b .
3
3
Autrement dit, T (J) est J « privé de son tiers central ». On définit une suite (Kn )n≥0 de parties de R
de la façon suivante.
• K0 = [0, 1],
• si n ≥ 0, Kn+1 est obtenu en appliquant T à chacun des segments constituant Kn .
Ainsi, par exemple,
1
2
1
2 1
2 7
8
K1 = 0,
∪ , 1 et K2 = 0,
∪ ,
∪ ,
∪ ,1 .
3
3
9
9 3
3 9
9
On pose enfin
\
K=
Kn .
n≥0
1. Montrer que K est une partie compacte de R.
2. Montrer que K est d’intérieur vide.
3. Montrer que K est sans point isolé.
4. On se propose de montrer que K n’est pas dénombrable.
(a) Montrer que, pour chaque n ≥ 0, les origines des segments constitutifs de Kn sont exactement les rationnels de la forme
n
X
εk
k=1
3k
, avec (ε1 , . . . , εn ) ∈ {0, 2}n .
∗
(b) Soit (εk )k≥1 ∈ {0, 2}N . Montrer que
P∞
k=1 εk 3
−k
∈ K.
(c) Conclure.
5. Question subsidiaire : montrer que
K=
(∞
X εk
k=1
3k
)
N∗
, (εk )k≥1 ∈ {0, 2}
.
Exercice 16. Soit P un polynôme à coefficients réels, de degré n ≥ 2. On note E l’ensemble des réels
a tels que le polynôme P − a est scindé sur R.
1. Montrer que si E est non vide, alors le polynôme P 0 est scindé sur R.
2. Soit a et b deux éléments de E. En étudiant le polynôme (P − a)(P − b), montrer que
3. Montrer que E est un fermé de R.
4. Que peut-on conclure ?
3
a+b
2
∈ E.
Exercice 17. On note E l’ensemble des suites de points de [0, 1], et on pose
d(u, v) =
∞
X
|un − vn |
n=0
2n
pour u, v ∈ E.
1. Montrer que (E, d) est un espace métrique compact.
2. En est-il de même de (E, d∞ ), où d∞ (u, v) = supn≥0 |un − vn | ?
Exercice 18. Soit E un espace normé, et F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E.
1. Montrer que, si x ∈ E, la distance d(x, F ) est atteinte.
2. On suppose de plus la norme de E strictement convexe, au sens où, si kxk = kyk = 1, x 6= y et
t ∈]0, 1[, alors
ktx + (1 − t)yk < 1.
(a) Donner un exemple d’une telle norme.
(b) On revient au cas général. Montrer que, si x ∈ E, la distance d(x, F ) est atteinte en un
unique point p(x) de F .
(c) Montrer que l’application p : E → F ainsi définie est continue.
Exercice 19. Soit E un espace normé réel de dimension finie, et K un compact de E dont 0 soit un
point intérieur. On pose H = {u ∈ L(E)/u(K) ⊂ K}. Montrer que | det u| ≤ 1 pour tout u ∈ H.
Exercice 20. Soit E et F deux espaces métriques, F étant compact, et f : E × F → R une fonction
continue. Pour chaque x ∈ E, on pose M (x) = maxy∈F f (x, y). Montrer que la fonction M : E → R
ainsi définie et continue.
Exercice 21. L’espace R2 est muni de sa structure euclidienne standard. Si X est une partie bornée
non vide de R2 et ε un réel strictement positif, on note N (X, ε) le nombre minimal de boules ouvertes
de rayon ε nécessaires pour recouvrir X.
1. Justifier l’existence de N (X, ε).
2. On note D le disque unité fermé de R2 . Montrer que, pour ε > 0, on a N (D, ε) ≥ ε−2 .
3. Soit α > 21 , C > 0 et f : [0, 1] → D une fonction vérifiant
kf (s) − f (t)k ≤ C|s − t|α pour s, t ∈ [0, 1].
Montrer que f n’est pas surjective.
Exercice 22 (Différentes formulations de la compacité). Soit (E, d) un espace métrique. On dit que
(E, d) est précompact si, pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes
de rayon ε. On considère à présent les trois énoncés :
S
(i) si (Ui )i∈I est une famille
d’ouverts
de
E
telle
que
E
=
i∈I Ui , alors il existe une partie finie J
S
de I telle que E = j∈J Uj (Borel-Lebesgue),
(ii) toute suite de points de E possède une valeur d’adhérence (Bolzano-Weierstrass),
(iii) (E, d) est précompact et complet.
1. Montrer que toute partie d’un espace métrique précompact est précompacte 1 .
2. Reformuler l’énoncé (i) en termes de fermés. En déduire que (i) ⇒ (ii).
3. Montrer que (ii) ⇒ (iii).
4. On suppose
S enfin l’énoncé (iii) vrai, et on considère une famille (Ui )i∈I d’ouverts de E telle
que E = i∈I Ui . On veut montrer que (i) est vrai, par l’absurde. On suppose donc qu’aucune
sous-famille finie de (Ui )i∈I ne recouvre E.
(a) Montrer l’existence d’une suite (un )n≥0 de points de E vérifiant les conditions suivantes :
(i0 ) pour chaque n ≥ 0, aucune sous-famille finie de (Ui )i∈I ne recouvre la boule B(un , 2−n ),
(ii0 ) d(un , un+1 ) ≤ 2−n pour n ≥ 0.
(b) Conclure.
1. au sens où l’espace métrique (X, dX ) – où dX désigne la métrique induite – l’est.
4