Exam2016bis Fichier

Modèle linéaire – HMMA201
Examen 2ème session
Documents et calculatrice autorisés.
Durée : 2 heures.
Exercice 1. Dans le modèle linéaire simple (yi=β1+β2xi+i), on considère
ici que les erreurs i, i = 1,· · · , n, ne sont pas gaussiennes mais suivent une
loi de densité
f(t) = 1
π(1 + t2), t ∈R.
1) Montrer que la fonction fest bien une densité de probabilité. Quelle est
l’espérance de i?
2) Exprimer la vraisemblance des observations L(β1, β2). En déduire que les
estimateurs du maximum de vraisemblance de β1et β2sont les réels ˜ β1et
˜
β2minimisant n
Y
i=1
(1 + ˆ2
i).
Exercice 2. On examine l’évolution d’une variable Yen fonction de deux
variables xet z. On dispose de nobservations de ces variables. On note
X= (11 x z)où 11 est le vecteur constant et x, z sont les vecteurs des variables
explicatives. Nous avons obtenu les résultats suivants :
X0X=
30 20 0
20 20 0
0 0 10
,
X0Y= (15,20,10)0et Y0Y= 59.5.
1) Vérifier que ˆ β= (−1/2,3/2,1)0sans inverser de matrice.
2) Calculer les coefficients de corrélation linéaire ρ(x, y),ρ(x, z)et ρ(y, z).
3) Calculer la somme des carrés totaux : SCT =Pn
i=1(yi−¯y)2.
4) Calculer la somme des carrés expliqués par le modèle complet :
SCE =Pn
i=1(ˆyi−¯y)2.
5) En déduire le R2du modèle complet.
6) Doit-on supprimer la variable xou la variable zdu modèle de régression ?
Exercice 3. Soit le jeu de données suivant :
sexe F M F F M M M M
niveau études +++− − +− −
revenu 14 17 13 10 8 9 11 6
où +désigne les personnes ayant un niveau supérieur ou égal au bac.
1) Combien a-t-on de facteurs ? Combien de modalités prennent-ils ?
2) Que peut-on dire du plan d’expérience ?
3) On cherche à minimiser les erreurs en valeur absolue. Donner une esti-
mation du revenu d’une femme bachelière et d’une personne n’ayant pas son
bac.

Exercice 4. On dispose de deux vecteurs xet ydécrivant les valeurs prises
par 2 variables Xet Y.
Les instructions effectuées sur R ainsi que les sorties sont données ci-dessous :
> mod1=lm(y~x)
> summary(mod1)
Call:
lm(formula = y ~ x)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.47094 -0.25211 -0.05736 0.23325 0.48702
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.02088 0.07030 -0.297 0.7698
x 0.17161 0.06703 2.560 0.0197 *
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
Residual standard error: 0.3102 on 18 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2669, Adjusted R-squared: 0.2262
F-statistic: 6.555 on 1 and 18 DF, p-value: 0.01967
> mod2=lm(y~x-1)
> summary(mod2)
Call:
lm(formula = y ~ x - 1)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.48607 -0.27308 -0.08198 0.21265 0.46651
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
x 0.17485 0.06453 2.709 0.0139 *
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
Residual standard error: 0.3027 on 19 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2787, Adjusted R-squared: 0.2407
F-statistic: 7.341 on 1 and 19 DF, p-value: 0.01390
a) Quelle est la différence entre le premier et le deuxième modèle ? Donner
les équations des deux droites de régression estimées.
b) On s’intéresse au premier modèle. Que dire de la significativité des coef-
ficients ? Justifier.
c) Rappeler quelles sont les hypothèses faites sur les erreurs qui mènent à
cette interprétation.