Agrégation Externe Anneaux et idéaux On pourra consulter les

Agr´egation Externe
Anneaux et id´eaux
On pourra consulter les ouvrages suivants.
N. Bourbaki :´ El´ements de Math´ematiques, XXX, Alg`ebre commutative, Chapitres 5,6. Hermann
(1964).
F. Combes. Alg`ebre et g´eom´etrie. Br´eal (2003).
S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas :Exercices de math´ematiques. Oraux X-ENS. Alg`ebre
1. Cassini (2001).
S. Francinou, H. Gianella. Exercices de math´ematiques pour l’agr´egation. Alg`ebre 1. Masson
(1994).
R Goblot. Alg`ebre commutative. Masson (1996).
S. Gonnord, N. Tosel. Topologie et analyse fonctionnelle. Ellipses (1996).
D. Perrin. Cours d’alg`ebre. Ellipses (1996).
E. Ramis, C. Deschamps, J. Odoux. Alg`ebre. Exercices avec solutions Masson (1988).
J. P. Ramis, A. Warusfel. Math´ematiques tout en un pour la licence. Niveau L2. Dunod.
(2014).
A. Szpirglas. Math´ematiques L3. Alg`ebre. Pearson (2009).
Dans les exercices qui suivent, Ad´esigne un anneau commutatif unitaire, A∗=A\{0}et A×est
le groupe multiplicatif des ´el´ements inversibles (ou des unit´es) de A.
Pour Aint`egre, un ´el´ement pde A∗\A×est dit irr´eductible si :
(p=uv)⇒u∈A×ou v∈A×
(les seuls diviseurs de psont les ´el´ements inversibles ou les ´el´ements de Aassoci´es `a p).
Pour Aint`egre, un ´el´ement pde A∗\A×est dit premier si :
(pdivise uv)⇒(pdivise uou pdivise v)
Pour toute famille (ak)1≤k≤pd’´el´ements de A,l’ensemble :
(a1,··· , ap) = p
k=1
qkak|(q1,··· , qp)∈Ap
est l’id´eal de type fini engendr´e par a1,··· , ap.
Un id´eal Ide Aest dit premier s’il est distinct de Aet si ab ∈I´equivaut `a a∈Iou b∈I.
Un id´eal Ide Aest dit maximal s’il est distinct de Aet si Iet Asont les seuls id´eaux de Aqui
contiennent I.
Un anneau commutatif unitaire est dit factoriel s’il est int`egre et si tout ´el´ement non nul et non
inversible s’´ecrit de mani`ere unique (`a permutation et association pr`es) comme produit d’´el´ements
irr´eductibles.
Soient r∈N\ {0,1}et a1,··· , ardans A∗.On dit que ces ´el´ements admettent un plus grand
commun diviseur s’il existe δ∈A∗tel que :
∀k∈ {1,··· , r}, δ divise ak
tout diviseur commun `a a1,··· , ardivise δ
On dit que Aest un anneau `a pgcd si deux ´el´ements quelconques a, b de A∗admettent un pgcd .
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Exercice 1 La notion d’id´eal est utilis´ee pour d´emontrer qu’un anneau principal est un anneau `a
pgcd,pour caract´eriser les anneaux factoriels et pour d´emontrer le r´esultat important suivant : ≪un
anneau principal est factoriel ≫. Ce r´esultat ´etant essentiel en arithm´etique.
On suppose que l’anneau Aest int`egre.
1. Montrer qu’un anneau principal est un anneau `a pgcd .
2. Montrer qu’un ´el´ement premier dans Aest irr´eductible.
3. Montrer que dans un anneau factoriel A,un ´el´ement pde A∗\A×est irr´eductible si, et seulement
si, il est premier.
4. On se donne un entier naturel n≥1et on note :
Zi√n=a+ib√n|(a, b)∈Z2
Pour n= 1,il s’agit de l’ensemble Z[i]des entiers de Gauss.
(a) Montrer que Z[i√n]est un sous anneau de Cstable par l’op´eration de conjugaison com-
plexe.
(b) D´eterminer l’ensemble Z[i√n]×des ´el´ements inversibles de Z[i√n].
(c) Quels sont les entiers naturels p≥2qui sont premiers dans Zet r´eductibles dans Z[i√n]?
(d) Montrer que, pour n≥3,2est irr´eductible non premier dans Z[i√n].
5. Montrer que si a∈A∗\A×n’admet pas de diviseurs irr´eductibles, il existe alors une suite
strictement croissante d’id´eaux principaux de A:
(a0) = (a)⊂
̸=(a1)⊂ ̸=··· ⊂ ̸=(an)⊂ ̸=···
6. On suppose que Aest factoriel.
Montrer que toute suite croissante d’id´eaux principaux de Aest stationnaire.
7. On suppose que toute suite croissante d’id´eaux principaux de Aest stationnaire.
Montrer que tout ´el´ement de A∗\A×admet une d´ecomposition en facteurs irr´eductibles.
8. Montrer que Aest factoriel si, et seulement si :
(a) toute suite croissante d’id´eaux principaux de Aest stationnaire ;
(b) tout ´el´ement irr´eductible de Aest premier.
9. Montrer qu’un anneau principal est factoriel.
Exercice 2 Les id´eaux peuvent ˆetre utilis´es pour caract´eriser les anneaux commutatifs unitaires qui
sont des corps.
1. Montrer que Aest un corps si, et seulement si, ses seuls id´eaux sont {0}et A.
2. Montrer que Aest un corps si, et seulement si, tous ses id´eaux sont premiers.
3. Montrer que Aest un corps si, et seulement si, il est int`egre avec un nombre fini d’id´eaux.
4. Soit Kun corps commutatif. Montrer qu’un morphisme d’anneaux de Kdans un anneau Aest
n´ecessairement injectif.
5. Soit Iun id´eal de A.Montrer que l’anneau quotient A
Iest un corps si, et seulement si, l’id´eal
Iest maximal.
6. On suppose que l’anneau Aest principal et on se donne p∈A∗.Montrer que :
(pirr´eductible)⇔A
(p)est un corps
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Exercice 3 Les id´eaux de l’anneau principal K[X]sont utilis´es dans cet exercice pour d´efinir le
polynˆome minimal d’un nombre alg´ebrique et ´etudier quelques propri´et´es de ces nombres.
Soient Lun corps commutatif et Kun sous-corps de L(Lest une extension de K).
On dit qu’un ´el´ement αde Lest alg´ebrique sur Ks’il existe un polynˆome non nul Pdans K[X]tel
que P(α) = 0.
Un ´el´ement αde Lqui n’est pas alg´ebrique sur Kest dit transcendant.
Pour tout α∈L,on note :
K[α] = {P(α)|P∈K[X]}
et on d´esigne par K(α)le plus petit sous-corps de Lqui contient Ket α.
1. Soit α∈Lalg´ebrique sur K.
(a) Montrer qu’il existe un unique polynˆome unitaire Pα∈K[X]tel que :
{P∈K[X]|P(α) = 0}= (Pa)
On dit que Pαest le polynˆome minimal de α.
(b) Montrer que le polynˆome minimal de αest l’unique polynˆome unitaire irr´eductible de K[X]
qui annule α.
(c) Montrer que K[α]est un sous-corps de Lisomorphe `a K[X]
(Pα)et que dimK(K[α]) =
deg (Pα).
2. Soit α∈L.Montrer l’´equivalence des trois assertions :
(a) αest alg´ebrique sur K;
(b) K[α] = K(α);
(c) K[α]est un K-sous-espace vectoriel de dimension finie de L.
3.
(a) Soient α, β dans Lalg´ebriques sur K, Pα(X) =
n
k=0
akXkle polynˆome minimal de αet
Pβ(X) =
m
k=0
bkXkcelui de βavec an=bm= 1.On note :
αiβj|0≤i≤n−1,0≤j≤m−1={γk|1≤k≤p}
o`u p=nm et γ1=α0β0= 1.On d´esigne par vle vecteur de Lpde composantes γ1,··· , γp.
Montrer qu’il existe deux matrices carr´ees d’ordre p, A et B, `a coefficients dans Ktelles
que Av =αv et BV =βv.
(b) Montrer que l’ensemble Ades ´el´ements de Lalg´ebriques sur Kest un corps.
Exercice 4 Avec cet exercice, on utilise la notion d’id´eal pour caract´eriser les ferm´es d’un espace
m´etrique et les espaces m´etriques compacts.
On se donne un espace m´etrique (E, d)et pour toute partie non vide Kde E, on d´esigne par C0(K, R)
l’anneau des fonctions continues de Kdans R
Pour tout id´eal Ide C0(K, R),on note :
Z(I) = {x∈K| ∀f∈I, f (x) = 0}
1. Le but de cette question est de montrer que les ferm´es de E, sont les les Z(I).
(a) Soit Iun id´eal de C0(E, R).Montrer que Z(I)est ferm´e.
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(b) R´eciproquement, soit Fun ferm´e de E. Montrer qu’il existe un id´eal Ide C0(E, R)tel
que F=Z(I).
2. On suppose que I= (f1,··· , fp)est un id´eal de type fini de C0(K, R).
Montrer que :
(Z(I) = ∅)⇔I=C0(K, R)
3. On suppose que l’espace m´etrique Eest compact et Iest un id´eal de C0(E, R).
Montrer que :
(Z(I) = ∅)⇔I=C0(E, R)
4. R´eciproquement, montrer que si Z(I)̸=∅pour tout id´eal propre de C0(E, R)(i. e. I̸=
C0(E, R)), l’espace m´etrique Eest alors compact.
Exercice 5 Avec cet exercice, on d´ecrit les id´eaux maximaux de C0(E, R),o`u Eest un espace
m´etrique compact et on en d´eduit la forme des automorphismes de C0(E, R).
On se donne un espace m´etrique compact (E, d)et C0(E, R)est l’anneau des fonctions continues de
Edans R.
Pour tout x∈E, on d´esigne par δxl’application d´efinie sur C0(E, R)par :
∀f∈ C0(E, R), δx(f) = f(x)
(masse de Dirac en x0).
1. Montrer que, pour tout x∈E, l’application δxest un morphisme d’anneaux de C0(E, R)dans
Ret que, r´eciproquement, pour tout morphisme d’anneaux φde C0(E, R)dans R,il existe un
unique x∈Etel que φ=δx.
2. Montrer que, pour tout x∈E, l’ensemble Ix= ker (δx)est un id´eal maximal de C0(E, R).
3. Montrer que, pour tout x∈E, l’id´eal Ix= ker (δx)n’est pas principal (l’anneau C0(E, R)n’est
pas principal puisque non int`egre).
4. Montrer que, pour tout id´eal maximal Ide C0(E, R),il existe un unique x∈Etel que I=Ix.
5. Soit φun automorphisme de l’anneau C0(E, R).
(a) Montrer que l’image par φd’un id´eal maximal de C0(E, R)est un id´eal maximal.
(b) Montrer que pour tout x∈E, il existe un unique y∈Etel que δx◦φ=δy,puis que la
fonction ψ:x7→ yest un hom´eomorphisme de E.
(c) En d´eduire que les automorphismes de C0(E, R)sont les application f7→ f◦ψ, o`u ψest
un hom´eomorphisme de E.
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