ESSENTIEL DE GEOMETRIE PLANE

Sophie Touzet
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Essentiel de géométrie plane
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O
O
M
A
B
N
ESSENTIEL DE GEOMETRIE PLANE
I Angles.
1- Somme des angles d’un triangle.
Théorème 1: Quel que soit le triangle ABC,
A B C 180
+ + = °
.
2- Angles opposés par le sommet.
On considère deux droites sécantes en O.
Définition 1: Des angles tels que les angles
1
O
et
2
O
ci-contre sont dits opposés par le sommet.
Théorème 2 : Des angles opposés par le sommet ont même mesure.
3- Angles alterne-interne, angles correspondants.
(d) et (d’) sont deux droites. La droite (d’’) coupe (d) en A et (d’) en B.
Définition 2 : Les angles
2
A
et
4
B
ainsi que les angles
3
A
et
1
B
sont dits alterne-interne ;
Les angles
i
A
et
i
B
, avec i
{
}
1;2;3;4
∈ sont dits correspondants.
Théorème 3: Si (d) et (d’) sont parallèles, alors
1
A
=
3
A
=
1
B
=
3
B
ET
2
A
=
4
A
=
2
B
=
4
B
.
Réciproquement, si deux angles alterne-interne OU deux angles correspondants ont même mesure,
alors les droites (d) et (d’) sont parallèles.
4- Angles inscrits, angles au centre.
C est un cercle de centre O. A, B, M et N sont des points de C .
Définition 3 : On dit que l’angle
AMB
est inscrit dans le cercle C, et que les angles inscrits
AMB
et
ANB
interceptent le même arc. L’angle
AOB
est appelé angle au centre.
Théorème 4 : Théorème de l’angle inscrit
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont même mesure :
AMB ANB
=
La mesure d’un angle inscrit est égal à la moitié de la mesure de l’angle au centre :
1
AMB AOB
2
=
.
.
A
1
2
3
B
41
2
4
3
(d)
(d')
(d'')

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II Triangles.
1- Droites et points remarquables du triangle.
a) Médianes et centre de gravité.
Définition 4 : On appelle médiane d’un triangle une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Théorème 5 : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes. Leur point d’intersection G est appelé centre de gravité du
triangle. Sur chaque segment reliant un sommet du triangle au milieu du côté opposé, G est situé au deux tiers en partant du
sommet.
b) Hauteurs et orthocentre.
Définition 5 : On appelle hauteur d’un triangle une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Théorème 6 : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes. Leur point d’intersection est appelé orthocentre du triangle.
c) Médiatrices et centre du cercle circonscrit.
Définition 6 : La médiatrice d’un segment est la droite coupant perpendiculairement ce segment en son milieu.
Propriété 1 : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
Théorème 7: Les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes. Leur point d’intersection est équidistant de
chacun des sommets du triangle. Il est appelé centre du cercle circonscrit.
d) Bissectrices et centre du cercle inscrit.
Définition 7 : La bissectrice d’un angle
xOy
est la droite partageant cet angle en deux angles de
même mesure, c’est-à-dire que pour tout point M de la bissectrice,
xOM MOy
= .
Théorème 8: Les trois bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes. Leur point
d’intersection est équidistant de chacun des trois côtés du triangle. Il est appelé centre du cercle inscrit.
2- Théorème des milieux, théorème de Thalès et sa réciproque.
Théorème 9: Théorème des milieux
Dans un triangle, un segment reliant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté, et en mesure la moitié.
Dans un triangle, une droite passant par le milieu d’un côté et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.
Théorème 10 : Théorème de Thalès
Si ABC et AMN sont deux triangles tels que :
• le point M est sur la droite (AB),
• le point N est sur la droite (AC),
• les droites (MN) et (BC) sont parallèles,
alors
AM AN MN
AB AC BC
= = .

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Théorème 11 : Réciproque du théorème de Thalès
ABC est un triangle. M un point de la demi-droite [AB) et N est un point de la demi-droite [AC), ou M est un point de la
demi-droite [BA) et N est un point de la demi-droite [CA).
Si
AM AN
AB AC
=, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
3- Triangles rectangles.
a) Théorème de Pythagore et sa réciproque.
Théorème 12 : Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
Réciproquement , si ABC est un triangle tel que BC² = AB² + AC² alors il est rectangle en A.
b) Triangle rectangle et cercle.
Théorème 13: le centre du cercle circonscrit d’un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse.
Réciproquement , si le côté [BC] d’un triangle ABC est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle
en A.
c) Trigonométrie.
Définition 8 : ABC désigne un triangle rectangle en A.
On appelle cosinus de l’angle
B
le nombre :
BA côté adjacentà B
cosB BC hypoténuse = =
.
On appelle sinus de l’angle
B
le nombre :
CA côtéopposéà B
sin B
CB hypoténuse
= =
.
On appelle tangente de l’angle
B
le nombre :
AC côtéopposéà B
tanB AB
côtéadjacentàB
= = .
Valeurs remarquables :
Mesure de l’angle
B
en degrés 30° 45° 60°
cosB
3
2
2
2
1
2
sin B
1
2
2
2
3
2
tan B
3
3
1
3

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III Symétries.
1- Définitions.
Définition 9 : Par une transformation du plan, on associe à tout point M du plan un unique point M’, appelé image de M
par la transformation.
Définition 10 : Etant donnée une droite (d), on appelle symétrie axiale d’axe (d)
(ou réflexion d’axe (d)) la transformation :
• qui à tout point de (d) associe lui-même,
• qui à tout point M n’appartenant pas à (d) associe le point M’ tel que (d) soit
la médiatrice du segment [MM’].
Définition 11 : Etant donné un point O, on appelle symétrie de centre O la transformation qui à tout point M associe
le point M’ tel que O soit le milieu du segment [MM’].
2- Effet sur les figures:
Propriété 2 : Par une symétrie une figure se transforme en une figure de même nature et de mêmes dimensions :
• L’image d’une droite est une droite (conservation de l’alignement);
• L’image d’un segment est un segment de même mesure (conservation des longueurs);
• L’image d’un cercle de centre C est un cercle de même rayon dont le centre est l’image de C.
• Deux droites parallèles se transforment en deux droites parallèles (conservation du parallélisme) et deux droites
perpendiculaires se transforment en deux droites perpendiculaires (conservation de l’orthogonalité).
• Un angle se transforme en un angle de même mesure (conservation des angles).
IV Repérage.
1- Repère sur un axe.
Définition 12 : On dit que l’on munit une droite (d) d’un repère (O ; I) par la donnée de deux points distincts de (d) : O et I.
O s’appelle l’origine du repère. La droite ainsi repérée est appelée l’axe gradué (O ; I).
Définition 13 : La longueur du segment [OI] représente l’unité de longueur sur l’axe gradué (O ; I).
Définition 14 : M est un point de l’axe gradué (O ; I). On appelle abscisse de M le nombre :
•
OM
OI
si M est sur la demi-droite [OI),
•
OM
OI
−
sinon.

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2- Repère du plan.
Définition 15 : On dit que l’on munit le plan d’un repère (O ; I ; J) par la donnée de trois points non alignés O, I, et J.
O s’appelle le centre du repère ; la droite (OI) s’appelle l’axe des abscisses ; la droite (OJ) s’appelle l’axe des ordonnées.
Définition 16 : On dit qu’un repère (O ; I ; J) est orthogonal si le triangle OIJ est rectangle en O. On dit que le repère est
normé si OI = OJ. On dit que le repère est orthonormé s’il est orthogonal et normé, c’est-à-dire si le triangle OIJ est
rectangle isocèle en O.
3- Coordonnées.
On munit le plan d’un repère (O ; I ; J). M est un point du plan.
Par M, on mène la parallèle à (OJ) et la parallèle à (OI) qui coupent respectivement (OI) et (OJ) en P et Q.
Sur l’axe gradué (O ; I), on note x l’abscisse du point P. Sur l’axe gradué (O ; J), on note y l’abscisse du point Q.
Définition 17 : Le couple (x ; y) s’appelle le couple des coordonnées de M dans le repère (O ; I ; J). x s’appelle l’abscisse du
point M, y s’appelle l’ordonnée du point M.
Remarque : si M est un point de (OI) son ordonnée est nulle ; si M est un point de (OJ) son abscisse est nulle.
4- Propriétés.
Le plan est muni d’un repère (O ; I ; J).
A et B sont des points du plan. On note ( x
A
, y
A
) et (x
B
, y
B
) leurs coordonnées respectives.
Propriété 3 : Le milieu du segment [AB] a pour cordonnées
A B A B
x x y y
;
2 2
+ +
.
Propriété 4 : Si le repère (O ; I ; J) est orthonormé, la longueur AB vaut
B A B A
(x x )² (y y )²
− + −
(avec pour unité de
longueur la longueur des segments [OI] et [OJ]).