Classe : BTS 2 Probabilité conditionnelle Exercice 1 : Dans une

Classe : BTS 2
Probabilité conditionnelle
Exercice 1 :
Dans une usine fabriquant des perceuses électriques, une étude statistique permet de constater que les perceuses présentent
principalement deux défauts D1 et D2 et conduit à dégager les résultats suivants :
La probabilité qu’une perceuse présente le défaut D1 est de 0,005.
La probabilité qu’une perceuse présente le défaut D2 est de 0,01.
Les événements D1 et D2 ne sont pas indépendants et la probabilité de D1 sachant D2 est de 0,25.
On prend une perceuse au hasard. Calculer les probabilités des événements suivants :
a) La perceuse présente les deux défauts.
b) La perceuse présente au moins un défaut.
c) La perceuse ne présente aucun défaut
Exercice 2 :
Une entreprise est spécialisée dans la vente de câbles métalliques. Ces câbles proviennent de deux fournisseurs A et B, dans
les proportions de 60% et 40%, qui livrent l’un et l’autre deux catégories de produits désignés par C1 et C2 . Dans les livraisons
de A figurent 50% de câbles C1 et 50% de câbles C2 ; dans celles de B figurent 20% de câbles C1 et 80% de câbles C2 . Sans
distinction de provenances et de catégories, ces câbles sont proposés à la vente.
On désigne par A ∩C 1 l’événement " un câble pris au hasard dans le stock de vente provient de A et il est de la catégorie C1 ".
a) Calculer la probabilité de cet événement A ∩ C 1 puis celle de l’événement B ∩ C 1 .
En déduire la probabilité, notée p(C 1 ), qu’un câble pris au hasard dans le stock de vente soit de la catégorie C1 ?
b) Un câble est pris au hasard ; on constate que c’est un câble de la catégorie C1 .
Quelle est la probabilité qu’il provienne du fournisseur B ?
Exercice 3 :
( Bréal p 40 ) Trois usines A, B et C fournissent respectivement 25%, 35% et 40% des carreaux nécessaires à une entreprise de
construction. Dans leurs livraisons, il y a en moyenne 5, 4 et 2% de carreaux inutilisables.
Un carreau est choisi au hasard dans un stock important, ce carreau est défectueux.
a) Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ?
b) Quelles sont les probabilités Prob(A/D), Prob(B/D) et Prob(C/D) qu’il provienne des usines A, B ou C ?
Exercice 4 :
On a observé que 2% des micros-ordinateurs d’un type donné tombaient en panne par mois d’utilisation. On suppose que
les pannes sont indépendantes.
On note X la variable aléatoire associant le nombre mensuel de pannes prévisibles d’un parc de 150 machines. ( On assimilera
les choix des 150 machines à un tirage avec remise ).
1. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer à 10−3 la probabilité des événements suivants :
A : " Le nombre mensuel de pannes est de 5 " B : " Le nombre mensuel de pannes est au plus égal à 3 ".
2. On admet que le la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson. Donner le paramètre de cette loi
a) Calculer à 10 -3 près la probabilité des événements A et B. de la question 1.
b) Déterminer le nombre minimal N tel que la probabilité de l’événement " Le nombre de pannes est au plus N" soit supérieur
à 0,99.
Exercice 5 :
Un rayon laser est dirigé vers une cible difficile à atteindre. D’une statistique préalable, on déduit que la probabilité pour que
ce rayon atteigne la cible est 0,01. On fait l’expérience qui consiste à émettre n fois le rayon laser, les émissions étant deux à
deux indépendantes et ayant même probabilité d’atteindre la cible.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où la cible est atteinte par le rayon laser au cours de cette expérience.
1. Déterminer la loi de probabilité suivie par X . Dans le cas où n = 300, calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de
cette loi.
2. Pour une expérience avec un nombre n d’essais, n ≥ 50 , on admet qu’il est légitime d’approcher la loi de probabilité de X
par une loi de poisson.
a) Donner en fonction den le paramètre λ de cette loi de poisson.
b) On estime que l’expérience est concluante lorsque le rayon laser atteint au moins 3 fois la cible. Donner les valeurs de X
correspondant à l’événement " expérience non concluante ", et exprimer la probabilité de cet événement en fonction de λ.
x2
c) Soit f la fonction définie pour x positif ou nul par : f (x) = e −x (1 + x + ). Etudier les variations de f et calculer f (6, 1); f (6, 2); f (6, 3).
2
d) En utilisant les résultats de la question 2.c), donner un nombre n0 d’essais à partir duquel la probabilité de l’événement "
expérience concluante " est strictement supérieure à 0,95.
Classe : BTS 2
Corrigé
Exercice 1
Les événements D1 et D2 ne sont pas indépendants donc p(D 1 ∩ D 2 ) 6= p(D 1 ) × p(D 2 ).
Ici on doit calculer p(D 1 ∩ D 2 ) à l’aide de la probabilité conditionnelle p(D 1 /D 2 ).
"la perceuse présente les deux défauts " s’écrit D 1 ∩ D 2 . On a P (D 1 ∩ D 2 ) = p(D 1 /D 2 ) × p(D 2 ) = 0, 25 × 0, 01 = 0, 0025.
" la perceuse présente au moins un défaut " s"écrit D 1 ∪ D 2 .
On a p(D 1 ∪ D 2 ) = p(D 1 ) + p(D 2 ) − p(D 1 ∩ D 2 ) = 0, 005 + 0, 01 − 0, 0025 = 0, 0125.
L’événement " la perceuse ne présente aucun défaut " est le contraire de l’événement " la perceuse présente au moins un
défaut ".
On a p(D 1 ∪ D 2 ) = 1 − p(D 1 ∪ D 2 ) = 1 − 0, 0125 = 0, 9875
Exercice 2
On note A " le câble provient du fournisseur A ", B " le câble provient du fournisseur B " Ci " le câble est de la catégorie Ci ".
Les données sont alors P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,4 ; P(C1 /A) = 0,5 ; P(C2 /A) = 0,5 ; P(C1 /B) = 0,2 ;P(C2 /B) = 0,8.
1. On peut écrire : P(A∩ C1 )= P(A)×P(C1 /A) = 0, 6×0, 5 = 0, 3 et P(B∩C1 ) = P(B)×P(C1 /B) = 0, 4 × 0, 2 = 0, 08
d’ou P(C1 ) = P(A∩C1 ) + P(B∩C1 ) = 0,38.
P (B/C 1 ) 0, 08
2. On demande ici P(B/C1 ) P(B/C1 )=
=
= 0, 21.
p(C 1 )
0, 38
Exercice 3
On connaît : P(A) = 0,25 ; P(B) = 0,35 ; P(C) = 0,4 ; P(D/A) =0,05 ; P(D/B) = 0,04 ; P(D/C) = 0,02.
alors P(D∩A) = P(D/A)×P(A)= 0,05×0,25 = 0,0125 ; P(D∩B) = P(D/B)×P(B) = 0, 04 × 0, 35 = 0, 014 ;
P(D∩C) = P(D/C)×P(C) = 0, 02 × 0, 4 = 0, 008.
P (A ∩ D) 0, 0125 125
=
=
= 0, 36
p(D)
0, 0345 345
0, 014
140
P (C ∩ D)
0, 008
80
P (B ∩ D)
=
=
= 0, 41 p(C /D) =
=
=
= 0, 23
p(B/D) =
p(D)
0, 0345 345
p(D)
0, 0345 345
On en déduit P(D) = 0,0345 puis p(A/D) =
Exercice 4
1. Les tirages étant avec remise, ils sont identiques et indépendants.
De plus, l’expérience ne comporte que 2 issues possibles : Panne (avec la probabilité 0,02) ou non panne.
On en déduit que X suit la loi B(150; 0.02).
5
× 0, 025 × 0, 98145 = 0, 101 à 10−3 près.
A : « Le nombre mensuel de pannes est égal à 5 » : p(X = 5) = C 150
B : « Le nombre mensuel de pannes est au plus égal à 3 » : p(X ≤ 3) = p(X = 0) + p(X = 9) + p(X = 2) + p(X = 3)
1
2
3
0
× 0.023 × 0, 98147
× 0.020 × 0, 98150 + C 150
× 0.021 × 0, 98149 + C 150
× 0.022 × 0, 98148 + C 150
p(X ≤ 3) = C 150
−3
Soit p(X ≤ 3) = 0, 647. à 10 près.
2.) Si l’on approche cette loi par une loi de poisson, les deux lois doivent avoir la même espérance donc λ = np = 150×0, 02 =
3.
λ5
= 0, 101 à 10−3 près.
2.a) A : « Le nombre mensuel de pannes est égal à 5 » : p(X = 5) = e−3
5!
B : « Le nombre mensuel de pannes est au plus égal à 3 » : p(X ≤ 3) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3)
λ1
λ2
λ3
λ0
+ e−3
+ e−3
+ e−3
Soit p(X ≤ 3) = 0, 647. à 10−3 près.
p(X ≤ 3) = e−3
0!
1!
2!
3!
2.b) On cherche N tel que p(X ≤ 3) ≥ 0, 99. Il faut donc additionner les probabilités p(X = k) jusqu’à dépasser ce nombre.
Nous trouvons p(X ≤ 7) ≈ 0, 988 et p(X ≤ 9) ≈ 0, 996. Conclusion : N = 8.
Exercice 5
1. A chaque fois il y a deux éventualités complémentaires, le succès étant " le rayon atteint la cible " avec une probabilité de
0,01. Les émissions sont indépendantes deux à deux.
p
La variable aléatoire X suit la loi de bernouilli B(300; 0, 01) donc E(X) = n.p= 3 et σ(X) = np q ' 1, 72.
2. a) n ≥ 50 ; on approche B(n, p) par une loi de poisson P(np) . Ici λ = np = 0, 01n
b) La probabilité de l’événement " expérience non concluante " est p(X < 3) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2)
µ
¶
λ2
λ2 −λ
−λ
−λ
−λ
e =e
1+λ+
d’ou p(X < 3) = e + λe +
2
2
x2
x2
x2
) donc f 0 (x) = −e−x (1 + x + ) + e−x (0 + 1 + x) = − e−x .
2
2
2
Comme x 2 ≥ 0 et e−x > 0, on en déduit que f 0 (x) > 0 si x 6= 0. La fonction f est donc strictement croissante.
Calculs f (6, 1) ' 0, 0577 ; f (6, 2) ' 0, 0536 ; f (6, 3) ' 0, 0498.
c) f (x) = e−x (1 + x +
d) La probabilité de l’événement " expérience concluante " est 1 − f (λ) or 1 − f (λ) > 0, 95 équivaut à f (λ) < 0, 05
D’après la question 2. c) f (λ) < 0, 05 dès que λ ≥ 6, 3 soit 0, 01n ≥ 6, 3 ce qui donne n ≥ 630.
La probabilité de l’événement " expérience concluante " est donc strictement supérieure à 0,95 pour n ≥ 630 .