Anneaux, Corps, Idéaux

Anneaux, Corps, Idéaux
O.G.
06 Novembre 2015 (mise à jour)
Anneaux
Définitions
Un anneau (A, +·) est un ensemble (non vide) muni de deux lois de composition
interne telle que
• (A, +) groupe commutatif (loi appelée addition)
• la loi “·” est associative (loi appelée multiplication)
• la multiplication est distributive à droite et à gauche par rapport à
l’addition,
a(b + c) = ab + ac(b + c)a = ba + ca
. . .
L’anneau A est dit commutatif si “·” est commutative; unitaire si la loi “·” admet
un élément neutre.
Notations
• on note −a le symétrique de a par rapport à la loi +, et l’on appelle opposé
de a.
• 0A désigne le neutre (0) pour la loi +
• 1A désigne le neutre pour la loi ·
Règles de calculs
∀a ∈ A on a 0A · a = a · 0A = 0A . L’élément 0A est dit absorbant. On écrit
a · b = a · (b + 0A ) = a · b + a · 0A
1
d’où a · 0A = 0a . On fait de même (ba = · · ·) pour démontrer 0A a = 0A
. . .
∀a, b ∈ A on a (−a)b = a(−b) = −(ab) et (−a)(−b) = ab.
On écrit que a + (−a) = 0A et on “multiplie à droite” par b:
ab + (−a)b = 0A d’où − (ab) = (−a)b.
De même en multipliant à gauche par a l’égalité b + (−b) = 0A on obtient
0A = a(b + (−b)) = ab + a(−b) d’où − (ab) = a(−b).
Pour la dernière égalité on écrit (−a)(−b) = (a)(−(−b)) = ab car −(−b) = b
Règles de calculs (suite)
• Pour tout n ∈ N \ {0} on note
(
xn
(−x) =
−xn
n
si n pair,
si n impair.
• Pour tout n ∈ N on note na = a + a + · · · + a, on somme n fois a. Pour
des valeurs négatives, on définit (−n)a = −(na).
• Si A est unitaire (−1A )x = −x = x(−1A )
• Si A unitaire et non réduit à {0A } (anneau trivial) alors 0A =
6 1A . En effet
si a ∈ A \ {0A } on a
a · 0A = 0A · a = 0A 6= a = a · 1A = 1A · a
d’où 1A 6= 0A .
Règles de calculs (suite)
Comme la multiplication est distributive par rapport à l’addition (commutative
et associative) on peut écrire les sommes : si (p, q) ∈ N∗ × N∗ , ∀a1 , . . . , ap ∈ A,
∀b1 , . . . , bq ∈ A
p
q
p X
q
q X
p
X
X
X
X
X
(
ai ) · (
bj ) =
(
ai bj ) =
(
ai bj ) =
ai bj
i=1
j=1
i=1 j=1
j=1 i=1
. . .
2
1≤i≤p
1≤j≤q
Si A est commutatif (la loi “·”) alors on dispose de la formule du binôme de
Newton
n−1
X n
n
n
(a + b) = a +
ak bn−k + bn
k
k=1
Attention : en général (si les éléments a et b ne commutent pas)
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 6= a2 + 2ab + b2
Exemples
Exemples
• (Mn (C), +, ·) (opérations usuelles) : anneau unitaire non commutatif
• (R, +, ·) anneau unitaire commutatif
• (2Z, +, ·) anneau non unitaire commutatif
• (Z/nZ, +, ·) anneau unitaire commutatif
Morphisme d’anneau
Définitions
Soit (A, +, ·) et (B, +, ·) deux anneaux. Une application f de A dans B est un
morphisme d’anneau si f vérifie, pour tout a, b ∈ A
f (a + b) = f (a) + f (b)
f (ab) = f (a)f (b).
Si de plus les deux anneaux sont unitaires, un morphisme d’anneau f est dit
unitaire s’il vérifie de plus f (1A ) = f (1B )
• Un morphisme d’anneau bijectif est appelé isomorphisme et on dit que
les anneaux A et B sont isomorphes.
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Exemples
Voici deux exemples de morphisme d’anneau unitaires
• (Z, +, ·) 7→ (Z/nZ, +, ·)
k 7→ k̇
• (Z, +, ·) 7→ (A, +, ·) (avec A unitaire)
n 7→ n1A
Sous anneau
Définition
Soit (A, +, ·) un anneau. Une partie non vide C de A est appelée sous-anneau
de A si C est stable par addition et multiplication et si C est un anneau pour
l’addition et la multiplication induites. De façon équivalente :
• (C, +) sous groupe de (A, +)
• si a, b ∈ C alors ab ∈ C
Si (A, +, ·) est unitaire le sous anneau est dit unitaire s’il contient l’élément 1A .
Proposition
Soit (A, +, ·) et (B, +, ·) deux anneaux et f un morphisme d’anneau de A dans
B.
• Si C est sous-anneau de A alors f (C) est un sous-anneau de B
• Si C 0 est un sous anneau de B alors f −1 (C 0 ) est un sous-anneau de A
• Preuve : exercice
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Diviseurs de zéro, anneau intègre
à partir de maintenant les anneaux seront commutatifs et
unitaires
Définition
Soit (A, +, ·) un anneau commutatif unitaire. Un élément a ∈ A non nul est un
diviseur de zéro s’il existe b ∈ A avec b 6= 0A vérifiant ab = 0A
Proposition
Un élément a est régulier pour la loi “·” si et seulement si a n’est pas diviseur
de zéro
Preuve :
• Supposons a régulier. Comme ab = a · 0A entraîne b = 0A alors a n’est pas
diviseur de zéro
• supposons que a n’est pas diviseur de zéro. Soit b, c ∈ A vérifiant ab = ac.
On en déduit que ab − ac = 0A , d’où a(b − c) = 0A . A ne possédant pas
de diviseur de 0, b − c = 0A .
Exemples
• (Z, +, ·) ne possède pas de diviseur de zéro
• (C([−1, 1], R), +, ·) l’espace des fonctions continues de [0, 1] dans R possède
des diviseurs de zéro. Il suffit de construire une fonction nulle sur [−1, 0]
et une fonction nulle sur [0, 1]. Avec f (x) = x − |x| et g(x) = x + |x| ça
marche !
Définition
Un anneau (A, +, ·) est dit intègre s’il est unitaire commutatif, non réduit à
{0A } et s’il ne possède pas de diviseur de zéro.
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Conséquence
Dans un anneau intègre si a 6= 0A alors ax = ay entraîne x = y.
Preuve : si ax = ay alors ax − ay = 0A , soit a(x − y) = 0A . Comme A ne
possède pas de diviseur de zéro on obtient x = y.
Corps
On précise que dans un anneau commutatif unitaire (A, +, ·) un élement a est
dit inversible s’il admet un symétrique pour la multiplication, c.-à-d. il existe
b ∈ A tel que ab = 1A
Définition
Soit K un anneau commutatif unitaire. On dit que K est un corps si
• K non réduit au singleton {0K }
• tout élément non nul est inversible
Conséquence
Dans un corps il n’existe pas de diviseur de zéro. Si a, b ∈ K et vérifient ab = 0K .
Supposons que a 6= 0K , a étant inversible on écrit
0K = a−1 0K = a−1 ab = 1K b = b
Sous corps
De la même façon que les sous anneaux, un sous corps L de (K, +, ·) est un sous
anneau de K qui est un corps et de façon équivalente :
•
•
•
•
L 6= {0K }
(L, +) sous-groupe de (K, +)
∀a, b ∈ L, on a ab ∈ L
∀a ∈ L si a 6= 0 alors a−1 ∈ L (comprendre le symétrique de a dans K
appartient à L).
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Idéaux - anneau quotient
Définition
Soit (A, +, ·) un anneau commutatif unitaire. Un idéal I de A est une partie
non vide de A vérifiant
• (I, +) sous groupe de (A, +)
• ∀x ∈ I, ∀a ∈ A on a ax ∈ I.
Exemple
• 2Z idéal de (Z, +, ·)
• {0A } et A sont des idéaux de A (idéaux triviaux)
• fonctions nulles en 0 est un idéal de l’ensemble des fonctions
Proposition
Soit f : A 7→ B un morphisme d’anneau unitaire et soit J un idéal de B. Alors
f −1 (J) est un idéal de A. En particulier ker f ⊂ f −1 (J) et ker f idéal de A.
Preuve
• Nous savons déjà (partie du cours sur les groupes) que f −1 (J)(6= ∅)
est un sous groupe de (A, +) car f morphisme de groupe de (A, +) dans
(B, +). Soit x ∈ f −1 (J) et a ∈ A. On a f (x) ∈ J, comme J est un idéal on
en déduit que f (a)f (x) ∈ J. Comme f morphisme d’anneau, cela donne
f (ax) = f (a)f (x) ∈ J soit ax ∈ f −1 (J).
• Comme {0A } ⊂ J, clairement ker f ⊂ f −1 (J).
Remarque
L’image d’un idéal n’est pas en général un idéal, mais si f est surjective c’est
vrai (exercice)
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Idéal engendré
Proposition
L’intersection d’une famille d’idéaux de A est un idéal de A
Preuve : (exercice)
Soit (Iα )α∈E une famille d’idéaux
• Nous savons que l’intersection d’une famille de sous groupes est un sous
groupe.
• l’autre propriété passe bien (c’est une intersection) : soit x ∈ A et a ∈
∩α∈E Iα . Pour tout α ∈ E, Iα est un idéal, donc par définition, ax ∈ Iα .
Ainsi ax ∈ ∩α∈E Iα .
Idéal engendré
De la même façon que l’on définit le sous groupe “engendré par”, on peut définir
l’idéal “engendré par”
Définition
Soit S une partie de A. On appelle idéal engendré par S l’intersection des idéaux
contenant S.
Anneau quotient
Soit A un anneau commutatif unitaire et I un idéal de A.
Notons a ≡ b(modI) ssi a − b ∈ I.
Proposition
“a ≡ b(modI)” est une relation d’équivalence sur A compatible avec l’addition et
la multiplication (les 2 l.c.i sur A)
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Preuve
• Comme (A, +) groupe abélien et (I, +) sous groupe de (A, +), d’après
le cours sur les groupes “a ≡ b(modI)” est une relation d’équivalence
compatible avec la loi ‘+’.
• Montrons la compatibilité avec la loi ‘·’. Soit a, b, a0 , b0 ∈ A tels que
a ≡ b(modI)a ≡ b(modI) et a0 ≡ b0 (modI). On écrit
aa0 − bb0 = a(a0 − b0 ) + b0 (a − b).
Preuve(suite)
aa0 − bb0 = a(a0 − b0 ) + b0 (a − b).
Comme a0 − b0 ∈ I on en déduit (définition idéal) que a(a0 − b0 ) ∈ I.
De même a − b ∈ I, b0 ∈ A et I idéal entraînent b0 (a − b) ∈ I.
Comme (I, +) sous groupe : aa0 − bb0 ∈ I On a donc aa0 ≡ bb0 (modI), la relation
d’équivalence est compatible avec la loi ‘·’.
Théorème
L’ensemble quotient A/I est un anneau commutatif unitaire pour les lois
˙
ȧ × ḃ = ab
˙ b
ȧ + ḃ = a +
où ȧ désigne la classe de a pour la loi “≡ (modI)”
Remarque
Ici on prend le même symbole ‘+’ et ‘·’ sur A et A/I.
Preuve
1) (A/I, +) est un groupe commutatif (voir cours sur les groupes quotients)
2) Comme d’habitude, il faut montrer l’indépendance par rapport aux
choix des représentants
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Preuve (suite)
˙ = ȧ × ḃ indépendant du choix ?
ab
Nous savons (loi ‘·’ compatible) que si ȧ = ȧ0 et ḃ = b˙0 alors ab ≡ a0 b0 (modI).
˙ = a0˙b0 .
Donc ab
3) loi ‘·’ : associative, commutative, élément neutre, distributive ?
˙
˙ = a(bc).
• ȧ · (ḃ · ċ) = ȧ · (bc)
La loi ‘·’ sur A est associative, donc ȧ · (ḃ · ċ) =
˙
˙
(ab)c = ab · ċ = (ȧ · ḃ)ċ
˙ car loi ‘·’ sur A commutative. Donc ȧ · ḃ = ḃ · ȧ
˙ = ba
• ȧ · ḃ = ab
• élt neutre : 1˙A · ȧ = 1A˙ a = ȧ
Preuve (suite)
• En utilisant la distributivité dans l’anneau (A, +, ·) :
˙
˙
˙ ac = ab
˙ + ac
˙
ȧ · (ḃ + ċ) = ȧ · (b + c) = a(b + c) = ab +
= ȧ · ḃ + ȧ · ċ
4) C’est un anneau !
Remarque
En général on note π le morphisme surjectif canonique de (A, +, ·) dans (A/I, +, ·)
définie par
π :A 7→ A/I
a 7→ a
Exemple
Si n ∈ N, nZ est un idéal de Z. On construit donc l’anneau quotient (Z/nZ, +, ·).
Il correspond “au calcul modulo n”.
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Divisibilité – anneau principal - Z
Définitions
Dans la suite (A, +, ·) est un anneau intègre.
Définition
Soit a et b deux éléments de A. On dit que a divise b dans A s’il existe x ∈ A
tel que b = ax et on écrit a|b.
Proposition
∀a ∈ A, (a) = aA. (rappel : (a) est l’idéal engendré par la partie {a})
Preuve (rapide) :
• aA idéal
• a ∈ aA (c’est clair : a = 1A a)
Si I idéal contenant a. Par définition de la notion d’idéal, comme a ∈ I, si x ∈ A
alors ax ∈ I. Donc aA ⊂ I. Ainsi aA plus petit idéal contenant A.
Proposition
a|b si et seulement si (b) ⊂ (a)
Preuve
• Supposons a|b. Par définition soit x ∈ A tel que b = ax. Comme (a) idéal,
on en déduit que ax ∈ (a), donc b ∈ (a). Par définition de l’idéal engendré
: (b) ⊂ (a)
• Réciproquement supposons que (b) ⊂ (a). On a b ∈ (b) ⊂ (a), donc b ∈ (a).
D’après la proposition précédent b ∈ aA, donc b s’écrit b = ax avec x ∈ A.
Ainsi a|b.
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Définition+Proposition
Si a|b et b|a (équivaut à (a) = (b)) les éléments a et b sont dits associés. De plus
il existe u inversible dans A tel que a = ub.
Preuve
• b|a : soit u tel que a = ub.
• a|b : soit u0 tel que b = u0 a.
Ainsi a = uu0 a, comme l’anneau A est intègre, on obtient uu0 = 1A , soit u
inversible.
Anneau, idéal principal
Définition
Un idéal I est dit principal s’il existe a ∈ A tel que I = aA = (a).
Définition
Un anneau (A, +, ·) est dit principal si A est un anneau intègre dans lequel tout
idéal est principal.
Exemples
• (Z, +, ·) anneau principal
• Mais (C(R, R), +, ·) anneau mais I = {f ; f (0) = 0} est un idéal non
principal (exercice)
Remarque
On peut s’amuser à définir une notion de pgcd, de ppcm dans un anneau intègre
avec les idéaux. Cependant c’est un peu plus compliqué et le pgcd (ou le ppcm)
n’existe pas nécessairement.
Mais dans un anneau principal, c’est plus facile !
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PGCD, PPCM, élément irréductible dans un anneau intègre
Si x ∈ A, notons Div(x) l’ensemble des diviseurs de x.
Définition - proposition
Soit a et b dans A (anneau principal). Un élément d ∈ A est un pgcd de a et b si
Div(a) ∩ Div(b) = Div(d)
ce qui veut dire
(
d|a
et d|b
tout diviseur commun à a et b est un diviseur de d
Le pgcd existe, est unique à une association près, et il existe u et v dans A tels
que
d = au + bv (revoici Bezout!)
Preuve
Considérons I l’idéal engendré par {a, b}. Comme A est principal soit d ∈ A
tel que I = (d) = dA.
Montrons que d est un pgcd de a, b.
1) ?? d|a et d|b ?? Oui
a ∈ (d) ⇒ a multiple de d ⇒
d|a
b ∈ (d) ⇒ · · · ⇒ d|b
2) Posons J = {ax + by ; x ∈ A, y ∈ A} et montrons I = J.
• a, b ∈ I ⇒ J ⊂ I
• J idéal (à vérifier) : (J, +) sous groupe et on vérifie que z(ax + by) =
a(xz) + b(yz) ∈ J
Donc I = (d) = J et comme d ∈ J il existe u et v tels que d = au + bv.
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Preuve (suite)
3) Montrons que d est un pgcd de a et b. Soit d0 un diviseur commun à a et
b. Comme d = au + bv
d0 |a ⇒ d0 |au
d0 |b ⇒ d0 |bu
d’où d0 |au + bv = d
4) Si d0 est un pgcd de a et b alors d|d0 et d0 |d, donc d et d0 sont associés.
Définition-proposition
Soit a et b deux éléments de A. m ∈ A est un ppcm de a et b si
(a) ∩ (b) = (m).
L’élément m existe et est unique à une association près.
preuve
(a) et (b) idéaux : (a)∩(b) idéal. A étant principal soit m tel que (a)∩(b) = (m).
Ainsi m existe.
Si m et m0 sont deux ppcm alors (m) = (m0 ) impliquent m et m0 associés.
Définition
Deux éléments sont premiers entre eux si 1A est un PGCD.
Définition
a est irréductible si
1) a 6= 0A
2) a n’est pas inversible
3) tout diviseur de a est soit inversible, soit associé à a
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Alors on peut refaire le Lemme de Gauss, Euclide, etc
Lemme de Gauss
Soit a, b, c ∈ A (toujours (A, +, ·) anneau principal). Si a|bc et si a et b sont
premiers entre eux alors a|c.
Preuve
1A est un pgcd de a et b : soit u, v ∈ A tels que 1A = au + bv.
Ainsi on écrit c = acu + bcv.
Clairement a|acu et comme a|bc on obtient a|bcv. D’où a|acu + bcv = c.
Lemme d’Euclide
Soit p, b, c ∈ A. Supposons p irréductible et p|bc. Alors nécessairement p|b ou
p|c.
Preuve
Si p ne divise pas b, comme p est irréductible p et b sont premiers entre eux. Le
lemme de Gauss permet d’en déduire p|c.
Remarques
• Pour définir le pgcd il faut ajoute un critère
Z : le représentant positif
R[X] : le polynôme unitaire
• Et le calcul ? Il faut une division euclidienne.
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