Anneaux, Corps, Idéaux

Anneaux, Corps, Idéaux
O.G.
06 Novembre 2015 (mise à jour)
Anneaux
Définitions
Un anneau ( A, + · )est un ensemble (non vide) muni de deux lois de composition
interne telle que
•(A, +) groupe commutatif (loi appelée addition)
•la loi “·” est associative (loi appelée multiplication)
• la multiplication est distributive à droite et à gauche par rapport à
l’addition,
a(b+c) = ab +ac(b+c)a=ba +ca
. . .
L’anneau A est dit commutatif si “ · ” est commutative; unitaire si la loi “ · ” admet
un élément neutre.
Notations
• on note −a le symétrique de a par rapport à la loi +, et l’on appelle opposé
de a.
•0Adésigne le neutre (0) pour la loi +
•1Adésigne le neutre pour la loi ·
Règles de calculs
∀a∈Aon a 0A·a=a·0A= 0A. L’élément 0Aest dit absorbant. On écrit
a·b=a·(b+ 0A) = a·b+a·0A
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d’où a·0A= 0a. On fait de même (ba =· · ·) pour démontrer 0Aa= 0A
. . .
∀a, b ∈Aon a (−a)b=a(−b) = −(ab)et (−a)(−b) = ab.
On écrit que a+ (−a)=0Aet on “multiplie à droite” par b:
ab + (−a)b= 0Ad’où −(ab)=(−a)b.
De même en multipliant à gauche par al’égalité b+ (−b)=0Aon obtient
0A=a(b+ (−b)) = ab +a(−b)d’où −(ab) = a(−b).
Pour la dernière égalité on écrit (−a)(−b)=(a)(−(−b)) = ab car −(−b) = b
Règles de calculs (suite)
•Pour tout n∈N\ {0}on note
(−x)n=(xnsi npair,
−xnsi nimpair.
• Pour tout n∈N on note na = a + a + · · · + a , on somme n fois a . Pour
des valeurs négatives, on définit (−n)a=−(na).
•Si Aest unitaire (−1A)x=−x=x(−1A)
• Si A unitaire et non réduit à { 0
A}
(anneau trivial) alors 0
A6
= 1
A
. En effet
si a∈A\ {0A}on a
a·0A= 0A·a= 0A6=a=a·1A= 1A·a
d’où 1A6= 0A.
Règles de calculs (suite)
Comme la multiplication est distributive par rapport à l’addition (commutative
et associative) on peut écrire les sommes : si ( p, q ) ∈N∗×N∗ , ∀a1, . . . , ap∈A ,
∀b1, . . . , bq∈A
(
p
X
i=1
ai)·(
q
X
j=1
bj) =
p
X
i=1
(
q
X
j=1
aibj) =
q
X
j=1
(
p
X
i=1
aibj) = X
1≤i≤p
1≤j≤q
aibj
. . .
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Si A est commutatif (la loi “ · ”) alors on dispose de la formule du binôme de
Newton
(a+b)n=an+
n−1
X
k=1 n
kakbn−k+bn
Attention : en général (si les éléments aet bne commutent pas)
(a+b)2=a2+ab +ba +b26=a2+ 2ab +b2
Exemples
Exemples
•(Mn(C),+,·)(opérations usuelles) : anneau unitaire non commutatif
•(R,+,·)anneau unitaire commutatif
•(2Z,+,·)anneau non unitaire commutatif
•(Z/nZ,+,·)anneau unitaire commutatif
Morphisme d’anneau
Définitions
Soit ( A, + ,· )et ( B, + ,· )deux anneaux. Une application f de A dans B est un
morphisme d’anneau si fvérifie, pour tout a, b ∈A
f(a+b) = f(a) + f(b)
f(ab) = f(a)f(b).
Si de plus les deux anneaux sont unitaires, un morphisme d’anneau f est dit
unitaire s’il vérifie de plus f(1A) = f(1B)
• Un morphisme d’anneau bijectif est appelé isomorphisme et on dit que
les anneaux Aet Bsont isomorphes.
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Exemples
Voici deux exemples de morphisme d’anneau unitaires
•(Z,+,·)7→ (Z/nZ,+,·)
k7→ ˙ k
•(Z,+,·)7→ (A, +,·)
n7→ n1A
(avec Aunitaire)
Sous anneau
Définition
Soit ( A, + ,· )un anneau. Une partie non vide C de A est appelée sous-anneau
de A si C est stable par addition et multiplication et si C est un anneau pour
l’addition et la multiplication induites. De façon équivalente :
•(C, +) sous groupe de (A, +)
•si a, b ∈Calors ab ∈C
Si ( A, + ,· )est unitaire le sous anneau est dit unitaire s’il contient l’élément 1
A
.
Proposition
Soit ( A, + ,· )et ( B, + ,· )deux anneaux et f un morphisme d’anneau de A dans
B.
•Si Cest sous-anneau de Aalors f(C)est un sous-anneau de B
•Si C0est un sous anneau de Balors f−1(C0)est un sous-anneau de A
•Preuve : exercice
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Diviseurs de zéro, anneau intègre
à partir de maintenant les anneaux seront commutatifs et
unitaires
Définition
Soit ( A, + ,· )un anneau commutatif unitaire. Un élément a∈A non nul est un
diviseur de zéro s’il existe b∈Aavec b6= 0Avérifiant ab = 0A
Proposition
Un élément a est régulier pour la loi “ · ” si et seulement si a n’est pas diviseur
de zéro
Preuve :
• Supposons a régulier. Comme ab = a· 0
A
entraîne b = 0
A
alors a n’est pas
diviseur de zéro
• supposons que a n’est pas diviseur de zéro. Soit b, c ∈A vérifiant ab = ac .
On en déduit que ab −ac = 0
A
, d’où a ( b−c )=0
A
. A ne possédant pas
de diviseur de 0, b−c= 0A.
Exemples
•(Z,+,·)ne possède pas de diviseur de zéro
• ( C ([ − 1 , 1] ,R ) , + ,· )l’espace des fonctions continues de [0 , 1] dans R possède
des diviseurs de zéro. Il suffit de construire une fonction nulle sur [ − 1 , 0]
et une fonction nulle sur [0 , 1]. Avec f ( x ) = x− |x| et g ( x ) = x + |x| ça
marche !
Définition
Un anneau ( A, + ,· )est dit intègre s’il est unitaire commutatif, non réduit à
{0A}et s’il ne possède pas de diviseur de zéro.
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