autrement, dont la valeur varie. Par exemple, la face
sortante d’un dé est une variable aléatoire, qui vaut
tantôt 1, tantôt 2, etc.
Les valeurs possibles d’une variable aléatoire se
nomment modalités ou niveaux.Sionpeutfairela
liste des modalités associées à une variable aléatoire,
on dira que la variable est discrète. C’est le cas des
variables entières, dont les modalités sont 0,1,2,3... Si
la variable peut prendre toutes les valeurs d’un inter-
valle (par exemple [0,1]), on dit que la variable est
continue.
Pour connaître une variable discrète X, on souhaite
connaître les probabilités P(X=a)pour toute
modalité a. La correspondance entre les ”a”est les
”P(X=a)”se nomme la distribution de X.Dansle
cas d’une variable continue, on ne peut pas utiliser
la distribution. En revanche, on peut connaître des
probabilités du type P(a<X<b),P(X<a)ou
encore P(X>b). La donnée de ces valeurs se nomme
la densité de X.
On parle de "loi" pour désigner les distributions ou
densités indifféremment.
Exercice 6 Donnez la distribution de la variable
"somme des deux faces sorties" lorsqu’on lance deux
dés.
Exercice 7 On lance une pièce normale jusqu’à ob-
tention d’un pile. On appelle Xle rang du premier
"pile" sortant, c’est-à-dire que Xvaut 1 si "pile" sort
du premier coup, 2 s’il sort au second, etc. Donnez
la distribution de X.
Exercice 8 On lance trois fois une pièce normale.
Quelle est la loi de la variable "nombre de pile" ?
Exercice 9 ♠Montrez la formule des probabilités
totales :
P(A)=P(B)P(A|B)+P¡¯
B¢P¡A|¯
B¢.
(Aet Bsont deux événements, ¯
Bsignifie"nonB",
et P(A|B)2est la probabilité que Ase réalise si B
est réalisé).
Exercice 10 ♠Soient Aet Bdeux événements quel-
conques.
1. Montrez que P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
2. En déduire une expression de P(A|B)en fonc-
tion de P(B|A)(formule de probabilité des
causes, ou première formule du Bayes).
Exercice 11 ♠On lance une pièce jusqu’à obtien-
tion d’une série de deux piles consécutifs. On note X
le rang du premier des deux "pile". Quelle est la loi
de X?
Exercice 12 ♠Quelle serait la distribution d’une
variable continue ?
2Lire "probabilité de Asachant B".
3Loinormale
La loi normale3intervient toujours en statistique.
D’une part, elle apparaît dans certains cas spontané-
ment (exemple : le QI suit une loi presque normale).
D’autre part, elle est mathématiquement naturelle,
apparaissant comme limite de variables dans des sit-
uations courantes. Par exemple, si on joue à pile ou
face un grand nombre de fois, la proportion de "pile"
suit presque une loi normale. Le théorème qui affirme
que la loi "limite" dans des cas de ce genre est la loi
normale s’appelle le théorème central limite. L’allure
de la densité de la loi normale (c’est une variable
continue) est donnée ci-dessous :
52.50-2.5-5
0.3
0.2
0.1
0
x
y
x
y
Dans toute la suite, Zest une variable qui suit une
loi normale (centrée réduite).
On donne les valeurs suivantes :
P(Z<1.282) = .9
P(Z<1.645) = .95
Exercice 13 Déterminez la probabilité pour que Z
se trouve entre 0 et 1.282
Exercice 14 Quelle est la probabilité pour que Zsoit
négative ?
Exercice 15 Trouvez apour que P(Z<a) = 95%
Exercice 16 Trouvez apour que P(−a<Z<a)=
80%
Exercice 17 LeQIsuituneloinormaledemoyenne
100 et d’écart type 15, ce qui signifieque
Z=QI −100
15
suit une loi normale centrée réduite. Est-il surprenant
d’avoir un QI supérieur à 115 ? inférieur à 76 ?
Exercice 18 Trouvez le premier décile adu QI,
c’est-à-dire la valeur telle que
P(QI < a) = 10%.
3On utilisera souvent dans les TD l’expression "loi normale"
pour désigner ce qui se nomme plus souvent loi normale centrée
réduite.Onditaussiloi de Gauss ou de Laplace-Gauss.
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