Statistiques pour la psychologie 1 – Probabilités élémentaires

Statistiques pour la psychologie
1 – Probabilités élémentaires
Nicolas Gauvrit
Université de Metz
http ://adems.free.fr/stats.htm
année 2003 - 2004
1 Généralités
On pourra envisager les probabilités sans jamais
faire référence au hasard, en disant que la probabil-
ité P(E)d’un événement Eest tout simplement la
proportion de situations pour lesquelles Eest réalisé.
Avec cette vision des choses, le calcul des probabilités
n’est qu’un cas particulier de calcul de fréquences.
Pour fixer les notations, disons que nous appelons
effectif (on dit parfois fréquence absolue)unnom-
bre (par exemple, si 40 personnes se trouvent dans la
salle,ondiraquelasalleauneffectif de 40). Nous
parlons de fréquences (on dit parfois aussi fréquence
relative)pourdésigneruneproportion. Une propor-
tion s’exprime habituellement sous forme décimale.
Par exemple, si la salle comporte 4 garçons sur 40
personnes, on dira que la fréquence des garçons est
de 0,10. On donne parfois les fréquences sous forme de
pourcentages. Ici, on dira que la proportion de garçon
est de 10%. Le signe % qui suit le 10 peut s’interpréter
comme une simple division par 100.
Les nombres se notent de différentes manières,
toutes équivalentes :
0,23 = 0.23 = .23.
Exercice 1 On sait que, dans une population don-
née, une personne sur 10 souffre de syndrôme
Alzheimer. Si l’on choisit deux personnes dans cette
population aléatoirement et de manière indépendante,
quelle est la probabilité
1. que la première souffre de syndrôme Alzheimer ?
2.quelasecondenesouffre pas de syndrôme
Alzheimer ?
3. qu’au moins l’une des deux souffre de syndrôme
Alzheimer ?
4. que la seconde souffre de syndrôme Alzheimer
sachant que la première n’en souffre pas ?
Exercice 2 On demande à un sujet de donner une
suite de pile ou face qui soit semblable à ce qu’on
pourrait obtenir par un vrai tirage aléatoire. Il donne
la suite
PPFFPFPPFPFFPPPFFPFPFFPPFP.
On dira qu’il y a une alternance dans la suite chaque
fois que deux tirages consécutifs sont différents (PF
ouFP).Aucontraire,onparlederépétitionsiles
deux tirages donnent le même résultat. Le résultat
de l’expérience montre-t-il un excès d’alternances ? de
répétitions ?
Exercice 3 Lorsqu’on demande "donnez un chiffre
entre 0 et 9" à un sujet, la probabilité qu’il réponde 7
est de 0.24.
1. Est-ce supérieur à ce que donnerait un tirage
aléatoire uniforme1?
2. On interroge 5 personnes. Quelle est la probabil-
ité qu’ils répondent "7" tous les 5 ?
3. On interroge 6 personnes. Quelle est la probabil-
ité que 5 personnes de suite. répondent 7 ?
Exercice 4 On dispose d’un questionnaire con-
tenant une question "logique". On sait que les para-
noïaques répondent "oui" à cette question dans 80%
des cas, alors que les autres personnes répondent
"oui" seulement dans 20% des cas. On fait passer le
test à un individu, qui répond "oui". Est-il probable
que cette personne soit paranoïaque ?
Exercice 5 Des sujets doivent deviner la face sor-
tante d’une pièce truquée. Cette pièce tombe sur
"face" dans 80% des tirages.
1. Si les sujets ne savent pas que la pièce est truquée
et qu’ils répondent au hasard de manière uni-
forme, quelle est la probabilité qu’ils donnent la
bonne réponse ?
2. Silessujetssaventque"face"tombe8foissur10
et répondent en suivant cette distribution, quelle
est la probabilité de réussite ?
3. Quelle est la meilleure stratégie pour avoir de
bonnes chance de répondre correctement ?
2 Variables aléatoires
Une variable aléatoire (ou variable)Xest une
grandeur qui dépend du hasard – ou, pour le dire
1C’est-à-dire tel que tout chiffre ait la même probabilité
d’apparition.
1

autrement, dont la valeur varie. Par exemple, la face
sortante d’un dé est une variable aléatoire, qui vaut
tantôt 1, tantôt 2, etc.
Les valeurs possibles d’une variable aléatoire se
nomment modalités ou niveaux.Sionpeutfairela
liste des modalités associées à une variable aléatoire,
on dira que la variable est discrète. C’est le cas des
variables entières, dont les modalités sont 0,1,2,3... Si
la variable peut prendre toutes les valeurs d’un inter-
valle (par exemple [0,1]), on dit que la variable est
continue.
Pour connaître une variable discrète X, on souhaite
connaître les probabilités P(X=a)pour toute
modalité a. La correspondance entre les ”a”est les
”P(X=a)”se nomme la distribution de X.Dansle
cas d’une variable continue, on ne peut pas utiliser
la distribution. En revanche, on peut connaître des
probabilités du type P(a<X<b),P(X<a)ou
encore P(X>b). La donnée de ces valeurs se nomme
la densité de X.
On parle de "loi" pour désigner les distributions ou
densités indifféremment.
Exercice 6 Donnez la distribution de la variable
"somme des deux faces sorties" lorsqu’on lance deux
dés.
Exercice 7 On lance une pièce normale jusqu’à ob-
tention d’un pile. On appelle Xle rang du premier
"pile" sortant, c’est-à-dire que Xvaut 1 si "pile" sort
du premier coup, 2 s’il sort au second, etc. Donnez
la distribution de X.
Exercice 8 On lance trois fois une pièce normale.
Quelle est la loi de la variable "nombre de pile" ?
Exercice 9 ♠Montrez la formule des probabilités
totales :
P(A)=P(B)P(A|B)+P¡¯ B¢P¡A|¯ B¢.
(Aet Bsont deux événements, ¯ Bsignifie"nonB",
et P(A|B)2est la probabilité que Ase réalise si B
est réalisé).
Exercice 10 ♠Soient Aet Bdeux événements quel-
conques.
1. Montrez que P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
2. En déduire une expression de P(A|B)en fonc-
tion de P(B|A)(formule de probabilité des
causes, ou première formule du Bayes).
Exercice 11 ♠On lance une pièce jusqu’à obtien-
tion d’une série de deux piles consécutifs. On note X
le rang du premier des deux "pile". Quelle est la loi
de X?
Exercice 12 ♠Quelle serait la distribution d’une
variable continue ?
2Lire "probabilité de Asachant B".
3Loinormale
La loi normale3intervient toujours en statistique.
D’une part, elle apparaît dans certains cas spontané-
ment (exemple : le QI suit une loi presque normale).
D’autre part, elle est mathématiquement naturelle,
apparaissant comme limite de variables dans des sit-
uations courantes. Par exemple, si on joue à pile ou
face un grand nombre de fois, la proportion de "pile"
suit presque une loi normale. Le théorème qui affirme
que la loi "limite" dans des cas de ce genre est la loi
normale s’appelle le théorème central limite. L’allure
de la densité de la loi normale (c’est une variable
continue) est donnée ci-dessous :
52.50-2.5-5
0.3
0.2
0.1
0
x
y
x
y
Dans toute la suite, Zest une variable qui suit une
loi normale (centrée réduite).
On donne les valeurs suivantes :
P(Z<1.282) = .9
P(Z<1.645) = .95
Exercice 13 Déterminez la probabilité pour que Z
se trouve entre 0 et 1.282
Exercice 14 Quelle est la probabilité pour que Zsoit
négative ?
Exercice 15 Trouvez apour que P(Z<a) = 95%
Exercice 16 Trouvez apour que P(−a<Z<a)=
80%
Exercice 17 LeQIsuituneloinormaledemoyenne
100 et d’écart type 15, ce qui signifieque
Z=QI −100
15
suit une loi normale centrée réduite. Est-il surprenant
d’avoir un QI supérieur à 115 ? inférieur à 76 ?
Exercice 18 Trouvez le premier décile adu QI,
c’est-à-dire la valeur telle que
P(QI < a) = 10%.
3On utilisera souvent dans les TD l’expression "loi normale"
pour désigner ce qui se nomme plus souvent loi normale centrée
réduite.Onditaussiloi de Gauss ou de Laplace-Gauss.
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