Arithmétique I - Diviseurs et nombres premiers II
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Arithmétique I - Diviseurs et nombres premiers 1 - Diviseurs Définition : Soient a et b deux entiers naturels avec b ≠ 0. On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un entier k tel que a = b × k . Exemples : 1) 6 est un diviseur de 24 car 24 = 6 × 4 On dit aussi que : 6 divise 24 24 est divisible par 6 24 est un multiple de 6 2) 5 est un diviseur à la fois de 30 et 45 car 30 = 5 × 6 et 45 = 5 × 9 . On dit que 5 est un diviseur commun à 30 et 45. Critères de divisibilité : [A l’oral : les nombres 48 et 99 sont-ils divisibles par 2, 3, 5 ou 9 ?] 1) Un nombre entier est divisible par 2 s’il est pair. 2) Un nombre entier est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5. 3) Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. 4) Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. 2 - Nombres premiers Définition : On dit qu’un nombre est premier lorsqu’il a exactement 2 diviseurs (1 et lui-même). Exemples : 1) Les seuls diviseurs de 17 sont 1 et 17 donc 17 est un nombre premier. 2) 123 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Donc 123 n’est pas un nombre premier. II - Plus grand diviseur commun (pgcd) 1 - Définition Définition : On appelle plus grand diviseur commun (pgcd) de a et b le plus grand entier qui divise à la fois a et b. On note pgcd (a ; b). Exemple : Calculer le pgcd de 48 et 18. Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 Donc : pgcd (48 ; 18) = 6 2 - Algorithme des soustractions successives Propriété : Si a > b alors pgcd (a ; b) = pgcd (b ; a-b). Exemple : Calculer le pgcd de 48 et 18. On applique l’algorithme des soustractions successives : 48 − 18 = 30 30 − 18 = 12 18 − 12 = 6 12 − 6 = 6 6−6 = 0 La dernière différence non nulle est 6. Donc : pgcd (48 ; 18) = 6 3 - Algorithme d’Euclide Rappel : Effectuer la division euclidienne de a par b revient à trouver le quotient entier et le reste. a = b×q + r quotient avec r < b reste Division euclidienne de 14 par 4 : Utilisation de la calculatrice : 14 = 4 × 3 + 2 avec 2 < 4 Le quotient entier est 3 et le reste est 2. TI : 14 2nde ÷ 4 ENTER Casio : 14 ÷ R 4 EXE Algorithme d’Euclide : Exemple : Calculer le pgcd de 48 et 18. On choisit deux nombres a et b avec a > b On applique l’algorithme d’Euclide : 48 = 18 × 2 + 12 On effectue la division euclidienne de a par b On note r le reste de la division 18 = 12 × 1 + 6 On remplace a par b et b par r r=0? oui non 12 = 6 × 2 + 0 Le dernier reste non nul est 6. Donc : pgcd (48 ; 18) = 6 Le pgcd est le dernier reste non nul 4 - Résolution de problèmes Problème : Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Il désire, en utilisant tous les fruits, préparer des tartelettes contenant chacune le même nombre de framboises et le même nombre de fraises. 1) Calculer le nombre maximum de tartelettes qu’il peut préparer ? 2) Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette ? 1) Le nombre de tartelettes cherché est le plus grand nombre qui divise à la fois le nombre de framboises et le nombre de fraises. On cherche donc le pgcd de 411 et 685. On applique l’algorithme d’Euclide : 685 = 411× 1 + 274 411 = 274 × 1 + 137 274 = 137 × 2 + 0 Le dernier reste non nul est 137. Donc : pgcd (685 ; 411) = 137. Il peut donc préparer au maximum 137 tartelettes. 2) 411 ÷ 137 = 3 685 ÷ 137 = 5 Dans chaque tartelette, il y a 3 framboises et 5 fraises. III - Nombres premiers entre eux Définition : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur pgcd est égal à 1. Leur seul diviseur commun est donc 1. Exemples : 1) 45 et 726 sont-ils premiers entre eux ? 45 et 726 sont divisibles par 3 car la somme de leurs chiffres est un multiple de 3. Donc leur pgcd n’est pas égal à 1. Donc 45 et 726 ne sont pas premiers entre eux. 2) 254 et 537 sont-ils premiers entre eux ? On applique l’algorithme d’Euclide : 537 = 254 × 2 + 29 254 = 29 × 8 + 22 29 = 22 × 1 + 7 22 = 7 × 3 + 1 7 = 1× 7 + 0 Le dernier reste non nul est 1. Donc le pgcd de 254 et 537 est 1. Donc 254 et 537 sont premiers entre eux. IV - Fractions irréductibles Définition : Une fraction est dite irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. Exemples : 1) 254 et 537 sont premiers entre eux (voir III). 537 Donc est une fraction irréductible. 254 2) 45 et 726 ne sont pas premiers entre eux (voir III). 45 Donc n’est pas une fraction irréductible. 726 Propriété : Pour rendre irréductible une fraction, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur pgcd. 18 Exemple : Rendre irréductible la fraction . 48 18 Pour rendre irréductible la fraction , il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur 48 pgcd. 18 A= pgcd (48 ; 18) 48 18 ÷ 6 A= 48 ÷ 6 3 A= 8
