Modélisation et Optimisation par Algorithmes Génétiques d`un

Modélisation et Optimisation par Algorithmes Génétiques d’un Inducteur pour chauffer
une plaque ferromagnétique (Application table de cuisson par induction)
A. Kanssab
1
, M. Feliachi
2
, A. Zaoui
1
, B. Mazari
3
1.Univessité Hassiba Benbouali Chlef- Algérie
2. IREENA-IUT,CRTT, Bd de l’université, BP 406, 44602 Saint-Nazaire cedex, France
3. Laboratoire de développement des entraînements Electriques,BP1505 El-Mnaouer, Oran 31000, Algérie
e-mail : [email protected]
Résumé:
Le développement des tables de cuissons à induction est en progression, vu qu’elles présentent des meilleures conditions de
travail ; sans saleté ni fumée par rapport aux installations traditionnelles de chauffage, autrement dit sans pollution de
l’environnement donc c’est un système écologique.
Le but de ce travail est la modélisation et optimisation d’un inducteur destiné à une table de cuisson par
induction. L’étude fait largement appel à la modélisation magnétothermique par la méthode des éléments finis
afin de connaître la répartition de la température dans le fond du récipient. Une méthode basée sur l’utilisation
des algorithmes génétiques est mise en œuvre pour optimiser la qualité de chauffe
Mots clés: Tables de Cuisson Par induction (T.C.P.I), Méthode des Eléments Finis (M.E.F), Optimisation par Algorithme
Génétique (AGs).
1. Introduction
Parce qu’il présente une bonne sécurité, une
commande précise, un bon rendement énergétique et
qu’il est écologique le chauffage par induction est non
seulement utilisé dans le domaine industriel mais il
trouve sa place en cuisson domestique [4] .La
température dans le récipient est alors à l’image de la
distribution des courants induits, laquelle dépend des
paramètres suivant :
- Structure géométrique de l’ensemble inducteur-
recipient
- Propriétés électromagnétiques du récipient
(conductivité électrique
σ
, perméabilité
magnétique
µ
)
La principale difficulté lors de la réalisation d’un tel
dispositif concerne l’étude de l’inducteur.
Contrairement aux systèmes classiques utilisant
l’induction, la charge à chauffer est ici très variable
tant par ses dimension que par les matériaux qui la
compose.
Avec un inducteur classique, constitué d’un
enroulement de spires (multibrins isolés) placés sur un
support plan (Fig.1) [6] et en tenant compte de l’effet
de proximité [4], L’étude théorique et expérimentale a
montré que la répartition de la température est
hétérogène sur le fond du récipient.
Fig. 1. Structure d’un system d’induction
Dans un premier temps l’étude fait appel à la
modélisation magnétothermique par éléments finis
afin de connaître la répartition de la température dans
le fond du récipient. Une méthode basée sur
l’utilisation d’un algorithme d’optimisation
automatique est alors mise en œuvre pour optimiser la
qualité de chauffe. L’objectif est d’avoir Un inducteur
induisant une température la plus homogène dans le
fond du récipient.
Une méthode consiste alors à placer les spires dans
des gorges du support de l’inducteur et de jouer sur
leurs distance d
i
et celle d’isolation entre elles qui
n’est pas alors plus constante (Fig 2). En raison de la
complexité des phénomènes électromagnétiques, la
détermination des différentes distances n’est possible
que par l’utilisation d’une méthode d’optimisation
automatique basée sur les Algorithmes Génétiques
(AGs) [7].

Fig.2. Inductor with throats
Les Algorithmes Génétiques (AGs) ont été largement
utilises avec la méthode des éléments finie pour
l’optimisation des systèmes électromagnétiques [1, 2,
3].
2. Modélisation magnétothermique
2.1. Formulation
Pour développer des systèmes de cuisson par
induction optimaux, il est nécessaire de connaître
entre autres la répartition de la température dans le
récipient qui est alors à l’image de la distribution des
courants induits. Les phénomènes physiques sont
modélisés en résolvant les équations de Maxwell en
magnétothermique [8,9] :
2
2
2
(1)
(2)
1
(3)
m p
A A A
j J
r r r r z r z
T
T q C t
q AA
r
σ ν ν
ω
λ ρ
σω
∗
∂ ∂ ∂ ∂
− − =
∂ ∂ ∂ ∂
∂
∇ + = ∂
=
L’équation (1) représente le problème
magnétodynamique exprimé en terme potentiel
vecteur
A
Avec
σ : Conductivité électrique
ν : est la réluctivité magnétique ; ν=
0
µ
ν
r
, ν
r
:
réluctivité relative, µ
0
:perméabilité du vide
J : Densité de courant
L’équation (2), représente les phénomènes
thermiques, est exprimé en terme de température T et
dans laquelle :
ρ : Masse volumique
Cp : capacité calorifique
k : conductivité thermique
q : densité volumique de puissance électrique
d’échauffement
L’équation (3) représente la relation de couplage des
phénomènes électromagnétique et thermique.
2.2 Conditions aux limites
Aux équations (3) et (4) sont associées les conditions
aux limites données par (4) et (5) :
( 0 ) ( 4 )
( ) (5 )
a
D ir e c h le t A
Th T T
n
=
∂
− λ = −
∂
Avec :
h : est le coefficient de convection, Ta : est la
température ambiante.
Le coefficient de transfert thermique en (5) permet la
détermination de la température dans le fond de la
charge. En raison de la structure axisymétrique de
l’inducteur et à cause de l’air à proximité , h est non
linéaire[11].
Ainsi, nous supposons que h a une valeur constante
(Tableau.1) le long de la direction radiale de la
structure axisymétrique du système étudié.
2.3. Caractéristiques électromagnétiques du
Matériau
Le matériau constituant le récipient utilisé est l’acier
inoxydable.
Les propriétés physiques de la conductivité électrique
σ(T) et de la reluctivité magnétique µ (T), à la
température T°C ,sont données par les équations (6 )
et (7) [9]:
( )
0
750
150
( ) (6)
1
1 (7)
T
TT
T e
−
σ
σ = + α
ν = ν −
ρ
0
=1/ σ
0
= 13.75⋅10
-8
Ω.m;
α = 0.004;
ρ(T) = 1 /σ (T) and µ(T) = 1/ν(T).
ρ
0
= 13.75 *10
-8
Ω .m , ν
r
= 1273.
Pour différentes température, les courbes de ρ(T) et
de µ (T) sont représentées sur les fig.3 et Fig.4
Support
Gorges des enroulements
di

Tableau.1 Paramètres du système étudié
0 100 200 300 400 500 600
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2 x 10
-6
Temperature (°C)
Resistivity (
Ω
.m)
Fig.3. Courbe de la résistivité en fonction de la
température
0 100 200 300 400 500 600
800
900
1000
1100
1200
1300
Temperature (°C)
Relative permeability
Fig.4. courbe de la perméabilité en fonction de la
température
2. Procédure de calcul sans optimisation
Pour le calcul de notre système en magnétothermique
nous avons élaboré un programme de calcul en 2D
axisymétrique .On introduit dans ce programme le
nombre de gorges dans l’inducteur et les paramètres
principaux du système (tableau 1).
Le model de la géométrie obtenue par le programme
est donné par la (Fig.5).
Dans ce cas nous avons établis une répartition d
i
uniforme des gorges. Les Courbes de la répartition de
la densité de courant et de la température sur le fond
du récipient sont données respectivement par les
(Fig.6) et (Fig.7). Les paramètres du système étudié
sont donnés dans le (Tableau.1).
Fig.5. Géométrie du model utilisé dans le programme
Fig.6. Courbe de la densité de courant dans le fond du
Récipient
Fig.7. Courbe de la température dans le fond du
Récipient
Le calcul magneto-thermique de notre système est
illustré par l’organigramme donné par Fig.8. Le
problème thermique est résolu pas par pas dans le
temps en utilisant un pas de temps de 5 secondes.
Apres 150 secondes, la température désirée 200°C est
obtenue (Fig.13).Le code de calcul est développé sous
environnement Matlab.
Les courbes, obtenues de la densité de courant et de la
température dans le fond du récipient données
Symbole Magnitude Qantity
R
e
i
e
g
e
c
d
1
,d
2
,…d
i
e
q
µ
f
f
J
λ
h
ρ
m
Cp
Radius of container
Inductor thickness
Gap thickness
Container thickness
Distances
throats thickness
ferrite relative permeability
Frequency
Current density
Thermal Conductivity
Convection coefficient
Masse density
Specific heat
140 mm
3.8mm
4mm
3mm
16.25 mm
2mm
2500
20*10
3
Hz
1*10
6
A/m
2
26 W/m*°K
20W/m
2
°C
7700 kg/m
3
460 J/°C
d
1
d
2
d
n
R
e
c
e
g
e
i
Récipient
Support avec ferrite
Entrfer

Initialisation
σ
0
,
µ
0
,T
0
Calcul de A
Calcul de
2
2
1
q A A
r
σω
∗
=
Calcul de T
σ
(T),
µ
((T)
Begin
T
≤
230°C
Fin
NO
Yes
Begin
t = t+
∆
t
respectivement par les Fig.6 et Fig.8, montrent que la
distribution de la température n’est pas homogène le
long du rayon de la charge.
Fig.8. Organigramme du programme magneto-
thermique
4. Procédure de calcul avec optimisation
L’objectif est d’avoir un inducteur induisant une
répartition de courant induit et de température la plus
homogène dans le fond du récipient.
Pour cela, il est possible de jouer sur la répartition des
gorges en variant d
i
(distance qui les séparent). En
raison de la complexité des phénomènes
électromagnétiques, la détermination des différentes
distances n’est possible que par l’utilisation de
l’algorithme d’optimisation automatique (Algorithmes
Génétiques).
4.1. Algorithme d’optimisation appliqué au
programme en 2D
L’algorithme génétique est un algorithme
d’exploration fondé sur des mécanismes de sélection
naturelle et de la génétique. Cet algorithme travaille
sur un ensemble de créature artificielle appelé
population. Chaque créature ou individus la
constituant est associée à une valeur d’une fonction
appelée fonction objectif, dont on veut améliorer ses
performances. L’AG utilise uniquement cette fonction
pour l’optimisation, et non sa dérivée, ce qui permet
une meilleure précision. Les individus sont codés sous
la forme d’une chaîne de longueur définie avec un
alphabet particulier, par exemple (0 ,1). Le nombre de
caractères utilisés pour le codage définit la résolution
sur chaque individu.
A partir d’une première population d’individus choisis
d’une manière aléatoire, l’AG génère de nouveau
individus de telle sorte qu’ils soient plus
« performants » que leurs prédécesseurs [10].. Le
code l’algorithme génétique utilisé est montré dans in
Fig.9.
Pour cela, l’AG utilise des outils basés sur des
processus aléatoires tels que la reproduction, le
croisement et la mutation [11]. L’AG a pour objectif
d’optimiser un inducteur en lui affectant une
répartition des gorges donnant une température
uniforme le long de la charge. A chaque étape donnée
du processus de calcul, le programme élaboré affecte
les propriétés physiques (σ,µ et J) correspondant à
chaque température. La fonction objecif utilisée est
définie sous la forme suivante :
( )
1
(8)
T
ni f
obj i if
T T
f d T
=
−
= ≤ε
∑
Avec
T
i
: température en chaque point de calcul dans le
fond du récipient ;
T
f
: Température par rapport à laquelle on veut
optimiser notre système ;
Le choix de cette fonction est guidé par l’objectif à
atteindre, celui d’avoir structure optimale des gorges
dans l’inducteur Fig 10 qui donne bonne une
répartition de la densité de courant et de la
température dans le récipient le long d’un rayon
Fig.11 et Fig.12
T
n
: Nombre de points de la température pris le long
de la charge
La nouvelle structure de l’inducteur obtenu Fig 10
empêche la concentration de la température au centre
du récipient. Les nouvelles dimensions des distances
sont données par Tableau.2 :
Tableau 2. Nouvelles dimensions des gorges
Fig.10. Géométrie de l’inducteur après optimisation
di (mm) 16.2
24.0
19.3
7.7
7.9
12.1
21.4
21.4

Fig.9. Organigramme de l’algorithme génétique
De chaque étape donnée du calcul du processus, le
programme élaboré reconstitue la géométrie à partir
du choix des distances di, réalise le nouveau maillage
et résout le problème magnéto-thermique.
Les résultats des calculs sont présentés dans les
figures 10, 11, 12 et 13
Fig.11. Distribution de la densité de courant dans le
fond du récipient
Fig.12. Distribution de la température dans le fond du
récipient
0 50 100 150 200 250 300
0
50
100
150
200
250
Times (s)
Temperature (°C)
Fig.13. Evolution de la température en fonction du
temps
Dans les figures 10 et 11 obtenues respectivement, on
peut observer une bonne distribution de la densité de
courant et une température homogène le long du
rayon de la charge.
L’évolution de la température en fonction du temps
Fig13 est obtenue au point milieu de la charge
Les calculs sont effectués en utilisant un P4, 3,4 GHz,
2 Go de RAM. Le résultat est obtenu après 500
itérations correspondant à environ 14 heures de temps
CPU
5. Conclusion
Afin de développer un système optimal de la table de
cuisson par induction;
Une structure d'un inducteur avec bobines placées
dans les gorges est proposée.
- Une méthode d'optimisation utilisant l'algorithme
génétique pour la recherche d'une structure
optimale des gorges dans l'inducteur est utilisée.
- Une bonne répartition de la densité de courant et
distribution homogène de la température le long
d'un rayon de la charge sont obtenus.
- La répartition optimale des gorges et leurs
dimensions sont obtenus.
.
No
Initialize and evaluate a population
of the distances d
i
Select best distances
Apply the genetic operators to generate a
new population
Magneto thermal calculations
Criterion of convergence
End
yes
Evaluate the objective function