D2−1c triangles sphériques D2−1c TRIANGLES SPHÉRIQUES J. Lubczanski DÉCOUPAGE D’UNE SPHÈRE PAR TROIS GRANDS CERCLES Les trois cotés d’un triangle sphérique sont des arcs de grands cercles (cercles de rayon égal à celui de la sphère). Trois grands cercles se coupent en six points A, B, C, A’, B’, C’, deux à deux diamétralement opposés. Ces trois cercles partagent la sphère en huit triangles sphériques, deux à deux diamétralement opposés Notons a l’aire de ABC (et de A’B’C’), b l’aire de A’BC et AB’C’, c celle de AB’C et A’BC, et d celle de ABC’ et A’B’C. Si S désigne l’aire de la sphère, on aura donc : 2a + 2b + 2c + 2d = S, soit : a + b + c + d = S/2 D’autre part, si on réunit ABC et A’BC, on obtient un quartier de sphère (penser à un quartier d’orange), dont l’angle a est celui du triangle ABC en A. L’égalité d’aires correspondante s’écrira : a + b = a/360 x S De même la réunion de ABC et AB’C donnera : a + c = b/360 x S, et celle de ABC et ABC’ : a + d = g/360 x S En additionant on obtient : a +a + a + b + c + d = (a + b + g)/360 x S. Notons S = a + b + g , et utilisons la relation a + b + c + d = S/2 : on arrive à 2a + S/2 = S/360 x S 1 D2−1c triangles sphériques soit finalement : S = 720 x a/S + 180. Autrement dit S varie avec a/S : sur la sphère, la somme des angles d’u n triangle n’est pas constante. – lorsque le triangle ABC est de plus en plus petit, a/S se rapproche de zéro, et S se rapproche de 180° (180° est la somme des angles d’un triangle sphérique réduit à un point) – lorsque le triangle ABC est de plus en plus grand, a/S se rapproche de 1 et S se rapproche de 180 + 720 =900° (900° est la somme des angles de la sphère comme cas limite d’un triangle sphérique) – et pour un triangle sphérique quelconque, la somme des angles est comprise entre 180° et 900°. retour à l'accueil 2