D2-1c triangles sphériques

D2−1c TRIANGLES SPHÉRIQUES
J. Lubczanski
DÉCOUPAGE D’UNE SPHÈRE PAR TROIS GRANDS CERCLES
Les trois cotés d’un triangle sphérique sont des arcs de grands cercles (cercles de rayon égal à
celui de la sphère).
Trois grands cercles se coupent en six points A, B, C, A’, B’, C’, deux à deux diamétralement
opposés.
Ces trois cercles partagent la sphère en huit triangles sphériques, deux à deux diamétralement
opposés
Notons a l’aire de ABC (et de A’B’C’), b l’aire de A’BC et AB’C’, c celle de AB’C et A’BC, et d celle
de ABC’ et A’B’C.
Si S désigne l’aire de la sphère, on aura donc :
2a + 2b + 2c + 2d = S, soit : a + b + c + d = S/2
D’autre part, si on réunit ABC et A’BC, on obtient un quartier de sphère (penser à un quartier
d’orange), dont l’angle a est celui du triangle ABC en A. L’égalité d’aires correspondante s’écrira :
a + b = a/360 x S
De même la réunion de ABC et AB’C donnera : a + c = b/360 x S, et celle de ABC et ABC’ : a + d =
g/360 x S
En additionant on obtient : a +a + a + b + c + d = (a + b + g)/360 x S.
Notons S = a + b + g , et utilisons la relation a + b + c + d = S/2 : on arrive à 2a + S/2 = S/360 x S
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soit finalement : S = 720 x a/S + 180.
Autrement dit S varie avec a/S : sur la sphère, la somme des angles d’u n triangle n’est pas
constante.
– lorsque le triangle ABC est de plus en plus petit, a/S se rapproche de zéro, et S se rapproche de
180° (180° est la somme des angles d’un triangle sphérique réduit à un point)
– lorsque le triangle ABC est de plus en plus grand, a/S se rapproche de 1 et S se rapproche de
180 + 720 =900° (900° est la somme des angles de la sphère comme cas limite d’un triangle
sphérique)
– et pour un triangle sphérique quelconque, la somme des angles est comprise entre 180° et 900°.
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