Intégrale double

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Enoncés
1
Intégrale double
Exercice 1
Calculer
[ 01947 ]
[correction]
ZZ
I=
xy dx dy
D
avec
D = (x, y) ∈ R2 | x, y > 0 et x + y 6 1
Exercice 2
Calculer
[ 01949 ]
[correction]
ZZ
I=
x2 dx dy
D
où D = (x, y) ∈ R2 | x 6 1, y > 0 et y 2 6 x .
Exercice 3
Calculer
[ 01950 ]
[correction]
ZZ
x2 dx dy
D
où D est l’intérieur de l’ellipse d’équation
y2
x2
+
=1
a2
b2
Exercice 4 X MP [ 03373 ] [correction]
a) Donner les coordonnées des foyers F et F 0 de l’ellipse E d’équation
x2
y2
+
=1
a2
b2
(avec 0 < b < a)
b) Calculer
ZZ
(M F + M F 0 ) dx dy
I=
D
où D désigne l’intérieur de l’ellipse
Exercice 5
Calculer
[ 03746 ]
[correction]
ZZ
I=
D
dx dy
(1 + x2 )(1 + y 2 )
avec D = (x, y) ∈ R2 /x, y > 0 et x + y 6 1 .
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Corrections
Corrections
2
Le jacobien de ce changement de variable est
Exercice 1 : [énoncé]
Puisque
D = (x, y) ∈ R2 /0 6 x 6 1 et 0 6 y 6 1 − x
on peut calculer l’intégrale
Z 1 Z 1−x
Z
I=
xy dy dx =
0
0
cos t
√ −λ sin t
sin t
λ2 − c2 cos t
D(x, y)
=
D(λ, t)
√ λ
λ2 −c2
0
1
1
x(1 − x)2 dx =
2
24
a
2π
Z
I=
2λ
et ainsi exprimer l’intégrale étudiée
Z
1
√
Z
I=
0
0
x
x2 dy dx =
Z
1
x5/2 dx =
0
2
7
Exercice 3 : [énoncé] √
√
Ra
RR 2
R a R y= b a2 −x2
x dx dy = −a y=−a b √a2 −x2 x2 dy dx = −a 2 ab x2 a2 − x2 dx =
D
a
R π/2
3
2
3
2
2a
b
sin
t
cos
t
dt
= a 4bπ .
−π/2
c
0
d’où
Z
a
λ
p
c
λ2
sin2 t
2
2
λ −c
λ2 − c2 + √
λ3
dλ
λ2 − c2
Après calculs
I=
2π
(3a2 − b2 )b
3
Exercice 5 : [énoncé]
On peut décrire la partie D sous la forme
D = (x, y) ∈ R2 /0 6 x 6 1 et 0 6 y 6 1 − x
On peut alors réexprimer l’intégrale double
Z 1
Z x
1
dy
I=
dx
2
2
0 1+x
0 1+y
et donc
Z
I=
Exercice 4 : [énoncé]
√
a) F (c, 0) et F 0 (−c, 0) avec c = a2 − b2 .
b) L’intérieur de l’ellipse est la réunion des courbes
λ2 − c2 cos2 t + √
p
2λ3
λ2 − c2 cos2 t + √
sin2 t dt dλ
λ2 − c2
I = 2π
Exercice 2 : [énoncé]
On peut décrire D sous la forme
√
D = (x, y) ∈ R2 /0 6 x 6 1 et 0 6 y 6 x
p
et on obtient
Z
1
=
0
1
1
arctan x
1
π2
2
dx
=
(arctan
x)
=
2
1+x
2
32
0
Eλ : M F + M F 0 = 2λ
pour λ ∈ [c, a].
Procédons alors au changement de variable
(
x = λ cos t
p
y = λ2 − c2 sin t
qui donne l’intérieur de l’ellipse pour (λ, t) parcourant [c, a] × [0, 2π].
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