Nom : Prénom : Test de cours sur les suites de nombres NOTE :

Lycée Déodat de Séverac
PTSI
Nom :
Prénom :
Test de cours sur les suites de nombres
NOTE :
1. Quand dit-on qu’une suite (un ) est croissante ?
2. Quand dit-on qu’une suite (un ) est minorée par m ?
3. Quand dit-on qu’une suite réelle (un ) admet ℓ ∈ R pour limite lorsque n tend vers +∞ ?
4. Quand dit-on que deux suites (un ) et (vn ) sont de même nature ?
5. Complétez les assertions ci-dessous lorsque cela est necessaire.
(a) « Toute suite convergente et
(b) « Toute suite bornée et
est bornée »
converge »
(c) « Toute suite croissante et
(d) « Toute suite minorée et
admet une limite l ∈ R »
converge »
6. Énoncez et démontrez le premier théorème d’encadrement
7. Les deux suites (un ) et (vn ) définies par un =
n−1
n+2
et vn =
sont-elles adjacentes ? Justifiez
n+1
n+1
8. Étudier la monotonie de la suite définie par Un =
n Y
k=1
9. Étudier la nature de la suite définie par un = (−1)n +
1
1+ 2
k
1
. Préciser sa limite, en cas d’existence.
n+1
10. On considère une suite récurrente de la forme un+1 = f (un ), avec f continue sur un intervalle I.
(a) Pourquoi est-on amené à étudier les points fixes de f ?
(b) Si ∀x ∈ I, f (x) ∈ I et u0 ∈ I, que peut-on dire de la suite (un ) ? Esquissez-en alors une preuve
11. On considère la suite définie par : u0 =
1
2
et pour tout n ∈ N, un+1 = un (1 − un ).
(a) Calculez u1 et u2
(b) Montrez que (un ) est décroissante.
(c) Montrez que pour tout n ∈ N, 0 < un < 1
(d) Conclure
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