DS 3ème
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Sujet A 8 octobre Exercice 1 e Correction du Devoir n° 05 3 (5 points) Les points R, S, T et U sont sur le cercle (). TUA = 57°. RAS = 78°. 1. Détermine la mesure de l’angle TRS . Je sais que TUS et TRS sont deux angles inscrits dans le cercle qui interceptent le même arc de cercle TS. Or deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. Donc TUS = TRS = 57°. 2. Détermine la mesure de l’angle RTU. Les angles RAS et UAT sont opposés par le sommet, ils ont donc la même mesure. Dans le triangle ATU, la somme des angles est égale à 180°. Donc on a : UAT + ATU + AUT = 180 ATU = 180 – 57 – 78 ATU = 45° Donc RTU = 45° Exercice 2 (6,5 points) La figure ci-contre est un pentagone régulier. 1. Détermine la mesure de l’angle PZI . PIOKA est un pentagone régulier. Il est formé de 5 triangles isocèles semblables. Donc tous les angles au centre mesurent : 360 : 5 = 72. Donc PZI mesure 72°. 2. Détermine la mesure de l’angle KPO. Je sais que KPO est un angle inscrit qui intercepte le même arc KO que l’angle au centre KZO . Or la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. 1 1 Donc KPO = KZO = 72 et KPO mesure 36°. 2 2 3. Détermine la mesure de l’angle OKA. Je sais que OKA est un angle inscrit qui intercepte le même grand arc OA que l’angle au centre OZA . De plus OZA = 372 = 216°. Or la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. 1 1 Donc OZA = OKA = 216 = 108 et OKA mesure 108°. 2 2 Exercice 3 (4 points) 1. Construis au dos de cette feuille un hexagone régulier ABCDEF inscrit dans un cercle de diamètre 10 cm et de centre O. 2. Montre que le triangle BDE est rectangle. Je sais que le triangle BDE est inscrit dans le cercle et que l’un de ses côtés, [BE], est un diamètre du cercle. Or si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle. Donc le triangle BDE est rectangle. Troisième/Devoirs 2012-2013 8 octobre Correction du Devoir n° 05 e 3 Autre méthode Je sais que BDE est un angle inscrit qui intercepte le même arc BE que l’angle au centre BOE (qui mesure 180°). Or la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. 1 1 Donc BDE = BOE = 180 = 90°. 2 2 Par conséquent, le triangle BDE est rectangle en D. Exercice 4 (3 points) Les diagonales du quadrilatère se coupent en I. KL = 55 mm, KM = 73 mm et LM = 48 mm. KLMN est-il un rectangle ? KLMN est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu. Montrons que le triangle KLM est rectangle en L. Calculons séparément KM2 et KL2 + LM2. KM2 = 652 et KL2 + LM2 = 562 + 332 KM2 = 4 225 KL2 + LM2 = 3 136 + 1 089 = 4 225 2 2 Donc KM = KL + LM2. Alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLM est rectangle en L. Or, si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle. Donc KLMN est un rectangle. Troisième/Devoirs 2012-2013
