RAPPEL MATHÉMATIQUE Analyse Microéconomique (1-803-07)

RAPPEL MATHÉMATIQUE Analyse Microéconomique (1‐803‐07) Droites et Pentes Une droite est une fonction qui peut être écrite sous la forme Particularité : Graphiquement, une droite est toute fonction dont l'inclinaison est constante en tout point. La pente, qui est représentée par la lettre , est la mesure de l'inclinaison d'une droite. Elle exprime la variation verticale de la droite pour un déplacement horizontal d'une unité positive et est obtenue par la relation : ∆
∆
L'ordonnée à l'origine, qui est représentée par la lettre , est la valeur de lorsque vaut zéro. Il s'agit donc de la position de la droite lorsque celle‐ci croise l'axe des . Exemple : L'équation 3
4 représente une droite dont la pente est 3
3 et dont l'ordonnée à l'origine est 4
4 . Notez bien que les variables et sont tout à fait arbitraires. Elles pourraient tout aussi bien être nommées et , comme c'est le cas dans les courbes d'offre et de demande. Comment obtenir l'équation d'une droite En plusieurs occasions, il nous faudra trouver l'équation d'une droite à partir de certaines informations. Par exemple, quelle est l'équation de la droite qui contient les points (1,4) et (2,8)? Afin de répondre à cette question, il faut trouver les valeurs de et de qui caractérisent la droite. 1. Déterminer la pente Par définition, la pente est mesurée par la relation : ∆
∆
Dans l'exemple ci‐haut, la pente serait : 8 4
∆
4 2 1
∆
ce qui indique que pour déplacement d'une unité vers la droite, il y a un déplacement de 4 unités vers le haut. Notez également que le choix du « premier » et du « deuxième » point n'affectera pas le calcul de la pente : 4 8
∆
4 1 2
∆
2. Trouver l'ordonnée à l'origine Afin de trouver la valeur de l’ordonnée à l’origine , il s'agit d'utiliser un point connu de la droite et la pente qui vient d'être déterminée. L'équation d'une droite est . Or, nous venons de trouver que 4, 4
. Nous savons de plus que d'où l'équation de notre droite actuelle est le point (1,4) se trouve sur cette droite et doit donc satisfaire son équation : Encore une fois, le choix du point que l'on utilise n'affecte en rien le résultat obtenu. Si nous avions choisi le point (2,8), le calcul aurait révélé : La pente et l'ordonnée à l'origine étant maintenant connues, l'équation de la droite est 4
0
4 . 2
Exercice : Une compagnie produit des chaussures. Lorsque 30 chaussures sont produites, le coût total de production est de 325 $. Lorsque 50 chaussures sont produites, le coût s'élève alors à 485 $. Quelle est l'équation du coût si celui‐ci varie de façon linéaire (droite) en fonction du nombre de chaussures produites? 485 325
160
Pente : 20 8 50 30
Ordonnée à l’origine : 325
Solution : 8
85 8 30
85 Application à la microéconomie Exemple : Faisons l'hypothèse que la courbe de demande est décrite par une droite de forme . Trouvez son équation étant données les informations suivantes : un promoteur découvre que la demande en billets de théâtre est de 1 200 lorsque le prix est de 60 $ mais chute à 900 lorsque le prix est haussé à 75 $. Solution: La forme de l'équation
indique que , le prix, est la variable indépendante (comme ), et , la quantité, est la variable dépendante (comme ). L'énoncé du problème nous permet de déduire deux points contenus sur la droite de demande : les points (60 $, 1 200) et (75 $, 900). ∆
Pente : 20 ∆
Ainsi l'équation de la droite doit prendre la forme . Ordonnée à l'origine : En utilisant le point (60, 1200), nous obtenons : 1 200 20 60
1 200
1 200
2 400 Par conséquent, puisque demande est et , l'équation de la droite de 3
Il est intéressant de noter qu'une fois l’équation de cette droite trouvée, nous pouvons évaluer quelle serait la quantité demandée selon un prix donné. Par exemple, la quantité demandée lorsque le prix est de 40 $ serait obtenue en calculant la variable : 20 40
800
2 400 2 400 1 600 Nous pourrions également obtenir le prix qu'il faudrait fixer pour que la quantité demandée soit de 1 000 billets. 1 000
20
20
2 400
20
2 400 1 000 1 400 70 $ Comment obtenir le point d’intersection entre deux droites Exemple 1 : La quantité et le prix d’équilibre d’un bien sont déterminés par l’intersection des courbes de l’offre et de la demande. Pour un produit donné, l’offre est déterminée par la droite et la demande, pour ce même produit, par la droite Déterminer le prix et la quantité d’équilibre et tracer, sur un même graphique, les courbes de l'offre et de la demande. 4
Solution: Il faut ici déterminer les coordonnées du point (q, p) qui se situe à l'intersection des deux droites. Ce point doit donc satisfaire à la fois l'équation de l'offre et celle de la demande. La solution du problème consiste à résoudre : Ainsi, 30
45
15
855 45
900 20 et 30 20
45 555 Le prix et la quantité d'équilibre sont donc 20 $ et 555 unités. Donc, pour trouver le prix et la quantité d’équilibre, il faut trouver le point d’intersection entre la droite de l’offre et la droite de la demande. Pour ce faire, il faut respecter les deux équations à la fois. On isole une inconnue dans chaque équation (par exemple le q) et ensuite, étant donné que le q doit être le même, on met égale, les deux autres parties de l’équation. On se retrouve avec une équation, une inconnue. On résout. 5
Exemple 2 : Pour un produit donné, l’offre est déterminée par la droite et la demande, pour ce même produit, par la droite Déterminer le prix et la quantité d’équilibre. On doit trouver l’intersection entre les deux droites. Réponse : le prix d’équilibre est 2 $ et la quantité d’équilibre est 4 unités. Problèmes d'élasticité Un problème d'offre ou de demande est parfois posé en présentant comme information initiale le prix et la quantité d'équilibre ainsi que l'élasticité‐prix. Cette dernière composante mesure l'effet d'une variation de prix sur l'offre ou la demande. Il s'agit de se rappeler que l'élasticité‐prix est définie par la relation · où les paramètres représentés sont p : prix : quantité / : dérivée de l'équation de la quantité en fonction du prix Leur dire que cette notion sera vue lors de leur 2e cours. On fait ici qu’une brève initiation à la notion. Dans le cas où le prix et la quantité d'un produit dépendent l'une de l'autre de façon linéaire, nous pouvons utiliser, au lieu de la dérivée, la variation moyenne, c'est‐à‐dire ∆
· ∆
6
Si effectivement le prix et la quantité d'un produit dépendent l'une de l'autre de façon linéaire, alors la fonction d'offre ou de demande aura la forme où est la pente de la droite et est obtenue par ∆
∆
Notez que même sans connaître deux points de la droite, nous pouvons quand même évaluer la pente pourvu que l'élasticité soit donnée. ·
∆
∆
·
∆
∆
· Pour ce qui est de la valeur de l'ordonnée à l'origine, , elle est obtenue en utilisant toute autre information dévoilée dans l'énoncé du problème. Exemple 1 : Soit la fonction de demande suivante : 300 0,2 . Quelle est l'élasticité‐prix si le prix est de 500 $? Solution : La formule de l’élasticité‐prix est donnée par : · En regardant la fonction de demande, nous pouvons conclure que : ⁄
Si 500, calculons 300
0,2 0,2 500 donc 0.2
500/200
200 0.5 7
Exemple 2: Trouver la fonction de demande si l'élasticité‐prix est ‐0.2 et que le prix et la quantité d'équilibre sont de 100 $ et de 2 500 unités respectivement, en supposant que la quantité dépend du prix de façon linéaire. Solution : Pour obtenir l'équation de la droite, il faut trouver la pente. Ceci est possible grâce à la relation que nous avons établie plus haut entre la pente et l'élasticité : ·
2 500
· 0.2 100
5 Il ne nous reste qu'à trouver la valeur de . L'équation de l'offre est 5
De plus, nous savons que le point (100 $, 2 500) se trouve sur cette droite et doit donc satisfaire son équation : 2 500
2 500
5 100
500
3 000 L'équation de la droite d'offre est donc 5
3 000 8
Dérivée d'une fonction Demander aux étudiants s’ils ont déjà fait ça en optimisation. Si oui, passer par‐dessus la théorie et les règles et faire seulement les exemples avec le test de la dérivée première. Le concept de pente est habituellement associé aux droites. Nous définissons d'ailleurs la droite comme étant une fonction pour laquelle la pente est constante. En d'autres mots, quel que soit le point où l'on regarde, l'inclinaison de la droite est la même. Or, en général, nous travaillerons avec des fonctions qui ne sont pas nécessairement des droites, et pour lesquelles la pente varie d'un point à l'autre. Il nous faut donc introduire la notion de dérivée, qui permet d'obtenir la pente pour ces fonctions non linéaires. Définition intuitive : La dérivée d'une fonction est définie comme étant la pente de sa droite tangente en un point spécifique. L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts. Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre. La valeur de la dérivée d'une fonction dépend donc du point où nous décidons de l'évaluer. Par abus de langage, nous parlerons souvent de la pente de la fonction plutôt que de la pente de sa droite tangente. 1,5
1
0,5
0
‐0,5 0
0,5
1
1,5
2
‐1
‐1,5
Croissance et décroissance Il existe une relation directe entre la croissance ou la décroissance de la fonction et la valeur de sa dérivée en un point.  Si la valeur de la dérivée est négative en un point, cela indique que la fonction est décroissante en ce point.  Si la valeur de la dérivée est positive en un point, cela indique que la fonction est croissante en ce point. Notation : Nous représentons la dérivée d'une fonction par un symbole primé. Par exemple, écrire
représente la dérivée de la fonction évaluée au point . De même, écrire 3
2 indique que l'on effectue la dérivée de la fonction 3
2. 9
Dérivées usuelles Nous présentons ci‐dessous la liste de dérivées les plus importantes. Quoique ces formules puissent être démontrées formellement, nous ne ferons que les énoncer. Nous vous recommandons de les apprendre par cœur. Ne parler que des dérivées des fonctions polynomiales. Dérivée des fonctions usuelles :     4,
3 , ’
3 ,
5
2
2 3
6
Ex : 2
Ex :  2
 4
2
2
4
·
2
2
4
2
2
2
4
6
2
Ex : Rép : 6
24⁄
2
8
2
2
2
4
2 4 4 et
10 2 2
2
0 4 2
2
 4
Ex: 4
’
⁄3 10
Exercice : Faites la dérivée des fonctions suivantes : 6 6 12 6
3
4
12
5
8
2
10
1 000
4 12 3
5 Obtention d'un maximum ou d'un minimum Étapes pour obtenir et identifier un maximum ou un minimum local d'une fonction :  Faire la dérivée de  Identifier toutes les valeurs critiques : valeurs de x où la dérivée s'annule, 0 (ou la dérivée n’est pas définie ou la dérivée n’existe pas) i.e.
 Pour déterminer si un maximum ou d'un minimum est obtenu en ce point, vérifiez la croissance ou la décroissance de la fonction autour de chacun des points critiques (test de la première dérivée). Ne pas parler de dérivée seconde et de concavité… Exercice : Déterminer les minimum et maximum locaux des fonctions et de l'exercice précédent. Si vous avez du temps faire l’étude des 4 fonctions. Faire un tableau des signes + ou – autour des points critiques. 0
1 Pour la fonction , la dérivée s’annule en : 6 6
∞
1
∞ 0
15
Donc, la fonction
atteint un maximum au point (1, 15). Réponse : min à 2
4 max à 2 26 et min à 2 6 sa dérivée est ‐5 donc une droite, donc son max et son min dépendent des bornes. 11