RAPPEL MATHÉMATIQUE Analyse Microéconomique (1-803-07)

RAPPELMATHÉMATIQUE
AnalyseMicroéconomique(1‐803‐07)
DroitesetPentes
Unedroiteestunefonctionquipeutêtreécritesouslaforme
Particularité:Graphiquement,unedroiteesttoutefonctiondontl'inclinaisonest
constanteentoutpoint.
Lapente,quiestreprésentéeparlalettre,estlamesuredel'inclinaisond'une
droite.Elleexprimelavariationverticaledeladroitepourundéplacement
horizontald'uneunitépositiveetestobtenueparlarelation:
∆
∆ 
L'ordonnéeàl'origine,quiestreprésentéeparlalettre,estlavaleurde
lorsquevautzéro.Ils'agitdoncdelapositiondeladroitelorsquecelle‐cicroise
l'axedes.
Exemple:
L'équation34représenteunedroitedontlapenteest3 3
et
dontl'ordonnéeàl'origineest4 4
.
Notezbienquelesvariableset sonttoutàfaitarbitraires.Ellespourraient
toutaussibienêtrenomméeset,commec'estlecasdanslescourbesd'offre
etdedemande.

2
Commentobtenirl'équationd'unedroite
Enplusieursoccasions,ilnousfaudratrouverl'équationd'unedroiteàpartirde
certainesinformations.Parexemple,quelleestl'équationdeladroitequi
contientlespoints(1,4)et(2,8)?Afinderépondreàcettequestion,ilfauttrouver
lesvaleursdeetdequicaractérisentladroite.
1. Déterminerlapente
Pardéfinition,lapenteestmesuréeparlarelation:
∆
∆ 
Dansl'exempleci‐haut,lapenteserait:
∆
∆ 
84
214
cequiindiquequepourdéplacementd'uneunitéversladroite,ilyaun
déplacementde4unitésverslehaut.Notezégalementquelechoixdu
«premier»etdu«deuxième»pointn'affecterapaslecalculdelapente:
∆
∆ 
48
124
2. Trouverl'ordonnéeàl'origine
Afindetrouverlavaleurdel’ordonnéeàl’origine,ils'agitd'utiliserunpoint
connudeladroiteetlapentequivientd'êtredéterminée.
L'équationd'unedroiteest.Or,nousvenonsdetrouverque4,
d'oùl'équationdenotredroiteactuelleest4.Noussavonsdeplusque
lepoint(1,4)setrouvesurcettedroiteetdoitdoncsatisfairesonéquation:
Encoreunefois,lechoixdupointquel'onutilisen'affecteenrienlerésultat
obtenu.Sinousavionschoisilepoint(2,8),lecalculauraitrévélé:
Lapenteetl'ordonnéeàl'origineétantmaintenantconnues,l'équationdela
droiteest40  4.

3
Exercice:
Unecompagnieproduitdeschaussures.Lorsque30chaussuressontproduites,le
coûttotaldeproductionestde325$.Lorsque50chaussuressontproduites,le
coûts'élèvealorsà485$.Quelleestl'équationducoûtsicelui‐civariedefaçon
linéaire(droite)enfonctiondunombredechaussuresproduites?
Pente: 485325 5030
160 20
8
Ordonnéeàl’origine:325  830     85
Solution:885
Applicationàlamicroéconomie
Exemple:
Faisonsl'hypothèsequelacourbededemandeestdécriteparunedroitede
forme.Trouvezsonéquationétantdonnéeslesinformations
suivantes:unpromoteurdécouvrequelademandeenbilletsdethéâtreestde
1200lorsqueleprixestde60$maischuteà900lorsqueleprixesthausséà
75$.
Solution:
Laformedel'équation     indiqueque,leprix,estlavariable
indépendante(comme),et,laquantité,estlavariabledépendante(comme
).L'énoncéduproblèmenouspermetdedéduiredeuxpointscontenussurla
droitededemande:lespoints(60$,1200)et(75$,900).
Pente:∆
∆   20
Ainsil'équationdeladroitedoitprendrelaforme  .
Ordonnéeàl'origine:Enutilisantlepoint(60,1200),nousobtenons:
1 200  2060
1 200  1 200  
  2 400
Parconséquent,puisqueet   ,l'équationdeladroitede
demandeest     

4
Ilestintéressantdenoterqu'unefoisl’équationdecettedroitetrouvée,nous
pouvonsévaluerquelleseraitlaquantitédemandéeselonunprixdonné.Par
exemple,laquantitédemandéelorsqueleprixestde40$seraitobtenueen
calculantlavariable:
20
40 2 400
  800  2 400
  1 600
Nouspourrionségalementobtenirleprixqu'ilfaudraitfixerpourquelaquantité
demandéesoitde1000billets.
1 000  20  2 400
20  2 400  1 000
20  1 400
  70 $
Commentobtenirlepointd’intersectionentredeuxdroites
Exemple1:
Laquantitéetleprixd’équilibred’unbiensontdéterminésparl’intersectiondes
courbesdel’offreetdelademande.Pourunproduitdonné,l’offreest
déterminéeparladroite   
etlademande,pourcemêmeproduit,parladroite
Déterminerleprixetlaquantitéd’équilibreettracer,surunmêmegraphique,les
courbesdel'offreetdelademande.

5
Solution:
Ilfauticidéterminerlescoordonnéesdupoint(q,p)quisesitueàl'intersection
desdeuxdroites.
Cepointdoitdoncsatisfaireàlafoisl'équationdel'offreetcelledelademande.
Lasolutionduproblèmeconsisteàrésoudre:
Ainsi, 3045  15 855
45  900
20
et30
2045  555
Leprixetlaquantitéd'équilibresontdonc20$et555unités.
Donc,pourtrouverleprixetlaquantitéd’équilibre,ilfauttrouverlepoint
d’intersectionentreladroitedel’offreetladroitedelademande.
Pourcefaire,ilfautrespecterlesdeuxéquationsàlafois.Onisoleuneinconnue
danschaqueéquation(parexempleleq)etensuite,étantdonnéqueleqdoit
êtrelemême,onmetégale,lesdeuxautrespartiesdel’équation.Onseretrouve
avecuneéquation,uneinconnue.Onrésout.