Syllabus - Département d`informatique et de recherche opérationnelle

Modèles de Recherche Opérationnelle
Fabian Bastin
[email protected]
Département d’Informatique et de Recherche Opérationnelle
Université de Montréal
IFT-1575
Hiver 2010
http://www.iro.umontreal.ca/~bastin

La présente version du syllabus s’inspire des notes de Patrice Marcotte, Bernard Gendron, ainsi que des livres
Introduction to Operational Research [1] et The Basics of Practical Optimization [3].
Le présent document peut être modifié et redistribué à des fins non commerciales, sous conditions d’être diffusé
sous les même conditions.
Photographie de couverture: viaduc de Millau, France.
c
Fabian Bastin, 2006

Table des matières
1 Introduction 1
1.1 Les origines de la recherche opérationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 La nature de la recherche opérationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Modélisation ................................................. 2
1.4 Algorithmesetlogiciels ........................................... 5
1.4.1 UnexempleavecGAMS....................................... 5
1.5 Notes ..................................................... 6
2 Programmation linéaire 7
2.1 Introduction.................................................. 7
2.2 Modèle général de programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Terminologiedebase............................................. 10
2.4 Hypothèses .................................................. 11
2.5 Laméthodedusimplexe........................................... 16
2.5.1 Solutiondebase ........................................... 17
2.5.2 Interprétations ............................................ 19
2.5.3 Critèred’optimalité ......................................... 20
2.5.4 Adaptation à d’autres formes de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.5 Obtention d’une base admissible initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.6 Variables à valeurs quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Dualité .................................................... 25
2.6.1 Motivation .............................................. 25
2.6.2 Analysedesensibilité ........................................ 27
2.7 Notes ..................................................... 29
3 Programmation non linéaire 31
3.1 Fonctionsconvexesetconcaves ....................................... 31
3.1.1 Ensemblesconvexes ......................................... 32
3.2 Algorithmes.................................................. 35
3.2.1 L’algorithme du simplexe dans le cas non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Optimisationsanscontrainte .................................... 36
3.2.3 Méthodedelabissection....................................... 36
3.2.4 Méthodedugradient......................................... 37
3.2.5 Optimisation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.6 Conditionsd’optimalité ....................................... 38
3.3 Notes ..................................................... 40
4 Programmation mixte entière 41
4.1 Présentationgénérale............................................. 41
4.2 Contraintes mutuellement exclusives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Deuxcontraintes........................................... 44
4.2.2 Kcontraintes parmi N....................................... 45
4.2.3 Fonction ayant Nvaleurspossibles................................. 45
iii

iv TABLE DES MATIÈRES
4.2.4 Objectifaveccoûtsfixes....................................... 46
4.2.5 Variables entières en variables 0–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.6 Problèmederecouvrement ..................................... 49
4.3 Stratégiesderésolutions........................................... 50
4.3.1 Relaxationlinéaire.......................................... 50
4.3.2 Approcheparénumération ..................................... 52
4.3.3 Les hyperplans coupants (méthode de coupe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 ModélisationavecGAMS .......................................... 58
4.5 Exercices ................................................... 62
4.6 Notes ..................................................... 62
5 Réseaux 63
5.1 Graphes.................................................... 63
5.1.1 Grapheorienté ............................................ 63
5.1.2 Graphenonorienté.......................................... 63
5.1.3 Transformations ........................................... 64
5.1.4 Cheminsetcircuits.......................................... 64
5.1.5 Connexité............................................... 64
5.2 Problème du chemin le plus court - algorithmes de corrections d’étiquettes . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.1 AlgorithmedeDijkstra ....................................... 65
5.3 Flotdansunréseau ............................................. 67
5.3.1 Réseau................................................. 67
5.3.2 Modèledeflot ............................................ 67
5.3.3 AlgorithmedeBellman-Ford .................................... 68
5.3.4 Modèle du chemin critique (PERT/CPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 Problème de l’arbre partiel minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4.1 AlgorithmedePrim(1957) ..................................... 70
5.5 Problèmeduflotmaximum ......................................... 70
5.5.1 AlgorithmedeFord-Fulkerson.................................... 72
5.5.2 Flotmaximum-Coupeminimum.................................. 74
5.6 Problèmedeflotminimum.......................................... 76
5.7 Notes ..................................................... 76
6 Modèles stochastiques 77
6.1 Conceptsdebase............................................... 77
6.2 Variablealéatoire............................................... 78
6.2.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.3 Espérancemathématique ...................................... 79
6.2.4 Variance................................................ 80
6.3 Loideprobabilité............................................... 80
6.3.1 LoideBernouilli ........................................... 80
6.3.2 Loiuniforme ............................................. 80
6.3.3 LoidePoisson ............................................ 81
6.3.4 Loiexponentielle........................................... 81
6.4 Modèlesstochastiques ............................................ 81
6.4.1 Processusstochastiques ....................................... 81
6.4.2 ChaînesdeMarkov.......................................... 82
6.5 Notes ..................................................... 83

TABLE DES MATIÈRES v
7 Programmation dynamique 85
7.1 Principed’optimalitédeBellman...................................... 85
7.2 Affectationderessources........................................... 88
7.3 Programmation dynamique déterministe et plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.4 Casprobabiliste................................................ 90
7.5 Notes ..................................................... 92
8 Simulation 93
8.1 Introduction.................................................. 93
8.2 Filesd’attente................................................. 93
8.2.1 Conceptsdebase........................................... 93
8.2.2 Modèle M/M/1............................................ 94
8.3 Simulationàévénementsdiscrets ...................................... 96
8.4 Notes ..................................................... 96
Annexe 99
8.5 Logicielsd’optimisation ........................................... 99
8.5.1 IORTutorial ............................................. 99
8.5.2 GAMS................................................. 99
8.5.3 Autreslogiciels............................................105
8.6 Notes .....................................................105
Bibliographie 105