Exercice proposé par la cellule académique

Corrigé de l’exercice des olympiades proposé par la cellule
académique
D’abord l’énoncé :
Mat et Matix s’amusent avec le jeu suivant :
Pour toute la durée du jeu, ils se fixent un nombre entier n ≥ 2. A chaque tour, ils tirent au
sort deux nombres entiers distincts et strictement positifs x et y. Ils essaient en partant de x,
d’arriver à y, en plusieurs étapes, avec la contrainte suivante :
- A une certaine étape, si z est le nombre initial ou le nombre obtenu à l’étape précédente, on
peut seulement ajouter n à z, soustraire n à z, multiplier z par n, ou diviser z par n.
Si au bout de m étapes on obtient y, on dit que le passage de x à y, à l’aide de n, est réalisable
en m étapes.
Pour mieux comprendre, prenons par exemple n = 3 , x = 5 et y = 63. Nous pouvons faire
alors 5 × 3 = 15 puis 15 + 3 = 18 puis 18 + 3 = 21 et enfin 21 × 3 = 63 et donc le passage de 5
à 63, à l’aide de 3 est réalisable en 4 étapes.
1°) Donner un passage de 15 à 16, à l’aide de 2, en 3 étapes, puis un passage de 168 à 126, à
l’aide de 7, en 4 étapes.
2°) Prouver que si le passage de x à y, à l’aide de n, est réalisable en m étapes, le passage de
y à x, à l’aide de n, est aussi réalisable en m étapes.
3°) Prouver que le passage de x à y est toujours réalisable.
Solution
1°) On a 15 × 2 = 30, 30 + 2 = 32 et 32 ÷ 2 = 16, ce qui fait un passage en 3 étapes.
On a 168 ÷7 = 24, 24 − 7 = 17, 17 ×7 = 119 et 119 + 7 = 126, ce qui fait un passage en 4
étapes.
2°) En proclamant que l’addition et la soustraction, ainsi que la multiplication sont des
opérations inverses une de l’autre, on peut arriver de y à x en m étapes en effectuant à l’étape
i, 1 ≤ i ≤ m l’opération inverse de celle effectuée à l’étape m +1 − i du passage de x à y.
3°) Le résultat de la question 2° nous permet de supposer que x < y. En faisant
x × n, x× n + n puis ( x × n + n ) ÷ n, on passe de x à x + 1 en 3 étapes. De la même manière,
on passe de x + 1 à x + 2 , … , et enfin de y − 1 à y . Le passage de x à y est donc réalisable.
Commentaires
La démarche de la question 3° donne un passage de x à y en 3 ( y − x ) étapes. On peut faire
nx + n( y − x )
mieux en remarquant que y =
. Cela veut dire qu’en multipliant x par n, en
n
ajoutant y − x fois n puis en divisant tout par n on obtient un passage de x à y en y − x + 2
étapes. Cette solution a été donnée d’ailleurs par trois élèves, ce qui n’est pas si mal.
On peut pourtant faire encore mieux en considérant le quotient q et le reste r dans la division
euclidienne de y − x par n. On a alors y = x + qn + r . En ajoutant chaque fois n, on peut
arriver de x à x + qn en q étapes. En multipliant par n, on arrive à nx + qn 2 . En r étapes
supplémentaires, en ajoutant chaque fois n, on arrive à nx + qn 2 + rn. Enfin, en divisant par n,
on arrive à y = x + qn + r .
On a donc réalisé le passage de x à y en q + r + 2 étapes, ce qui en général est mieux que
y − x + 2.
En fait, on peut encore améliorer en remarquant que y = x + ( q + 1)n − ( n − r ). cela donnera
un passage en
q + n − r + 2 étapes et finalement on aura un passage en
min(q + r + 2,q + n − r + 2 ) étapes.
On finira par remarquer que ce problème relève en fait de la théorie des graphes.
En effet, on peut définir le graphe infini G dont les sommets sont les éléments de ¢ et dont
les arêtes sont les paires {x , y} telles qu’un élément de la paire s’obtienne à partir de l’autre
en faisant une opération avec n. Prouver la question 3° revient en fait à prouver que le sous
graphe engendré par ¥ ∗ est connexe. Déterminer le nombre minimum d’étapes pour passer
de l’entier relatif x à l’entier relatif y revient à déterminer la distance d G ( x , y ) .
D’autres développements sont possibles et ont fait l’objet d’un problème posé en juillet 2003
à la British Combinatorial Conference.