Exercice proposé par la cellule académique

Corrigé de l’exercice des olympiades proposé par la cellule
académique
D’abord l’énoncé :
Mat et Matix s’amusent avec le jeu suivant :
Pour toute la durée du jeu, ils se fixent un nombre entier
n2.
≥
A chaque tour, ils tirent au
sort deux nombres entiers distincts et strictement positifs x et y. Ils essaient en partant de x,
d’arriver à y, en plusieurs étapes, avec la contrainte suivante :
- A une certaine étape, si z est le nombre initial ou le nombre obtenu à l’étape précédente, on
peut seulement ajouter n à z, soustraire n à z, multiplier z par n, ou diviser z par n.
Si au bout de m étapes on obtient y, on dit que le passage de x à y, à l’aide de n, est réalisable
en m étapes.
Pour mieux comprendre, prenons par exemple
, et
n3x5y63.
===
Nous pouvons faire
alors
5315
×=
puis
15318
+=
puis
18321
+=
et enfin
21363
×=
et donc le passage de 5
à 63, à l’aide de 3 est réalisable en 4 étapes.
1°) Donner un passage de 15 à 16, à l’aide de 2, en 3 étapes, puis un passage de 168 à 126, à
l’aide de 7, en 4 étapes.
2°) Prouver que si le passage de x à y, à l’aide de n, est réalisable en m étapes, le passage de
y à x, à l’aide de n, est aussi réalisable en m étapes.
3°) Prouver que le passage de x à y est toujours réalisable.
Solution
1°) On a et
15230,3023232216,
×=+=÷=
ce qui fait un passage en 3 étapes.
On a et
168724,24717,1771191197126,
÷=−=×=+=
ce qui fait un passage en 4
étapes.
2°) En proclamant que l’addition et la soustraction, ainsi que la multiplication sont des
opérations inverses une de l’autre, on peut arriver de y à x en m étapes en effectuant à l’étape
i,1im
≤≤
l’opération inverse de celle effectuée à l’étape
m1i
+−
du passage de x à y.
3°) Le résultat de la question 2° nous permet de supposer que
xy.
<
En faisant
puis
xn,xnn(xnn)n,
××+×+÷
on passe de x à
x1
+
en 3 étapes. De la même manière,
on passe de à
x1x2
++
, … , et enfin de
à
y1y
−
. Le passage de x à y est donc réalisable.
Commentaires
La démarche de la question 3° donne un passage de x à y en
3(yx)
−
étapes. On peut faire
mieux en remarquant que
nxn(yx)
y
n
+−
=. Cela veut dire qu’en multipliant x par n, en

ajoutant
yx
−
fois n puis en divisant tout par n on obtient un passage de x à y en
yx2
−+
étapes. Cette solution a été donnée d’ailleurs par trois élèves, ce qui n’est pas si mal.
On peut pourtant faire encore mieux en considérant le quotient q et le reste r dans la division
euclidienne de
yx
−
par n. On a alors
yxqnr.
=++
En ajoutant chaque fois n, on peut
arriver de x à
xqn
+
en q étapes. En multipliant par n, on arrive à
2
nxqn.
+ En r étapes
supplémentaires, en ajoutant chaque fois n, on arrive à 2
nxqnrn.
++
Enfin, en divisant par n,
on arrive à
yxqnr.
=++
On a donc réalisé le passage de x à y en
qr2
++
étapes, ce qui en général est mieux que
yx2.
−+
En fait, on peut encore améliorer en remarquant que
yx(q1)n(nr).
=++−−
cela donnera
un passage en
qnr2
+−+
étapes et finalement on aura un passage en
min(qr2,qnr2)
+++−+
étapes.
On finira par remarquer que ce problème relève en fait de la théorie des graphes.
En effet, on peut définir le graphe infini G dont les sommets sont les éléments de
¢
et dont
les arêtes sont les paires
{}
x,y
telles qu’un élément de la paire s’obtienne à partir de l’autre
en faisant une opération avec n. Prouver la question 3° revient en fait à prouver que le sous
graphe engendré par
∗
¥
est connexe. Déterminer le nombre minimum d’étapes pour passer
de l’entier relatif x à l’entier relatif y revient à déterminer la distance G
d(x,y)
.
D’autres développements sont possibles et ont fait l’objet d’un problème posé en juillet 2003
à la British Combinatorial Conference.