document professeur - Académie de Nancy-Metz

Le pont des deux rives
Fiche professeur Terminale S
Auteur : IREM de Lorraine
Mots-clefs :
✓instructions itératives
✓variable « compteur »
✓simulation, loi des grands nombres
✓probabilités conditionnelles
✓suites
Thème de l’activité : Étude d’une marche aléatoire.
Dans les deux premières parties, il s’agit d’estimer la probabilité de réalisation d’un événe-
ment par simulations d’une expérience aléatoire. Afin d’obtenir une estimation fine de
cette probabilité, il est nécessaire d’effectuer un très grand nombre de simulations ; il est
ainsi fait appel à l’algorithmique puis à la programmation.
La partie 3 propose une méthode de calcul de cette probabilité en utilisant les connais-
sances acquises dans le chapitre « probabilités conditionnelles ».
Prérequis :
✓Les élèves devront être familiarisés avec l’exécution d’algorithme comportant une struc-
ture itérative et des instructions conditionnelles.
✓Les élèves doivent avoir étudié la notion d’intervalle de confiance au seuil de 95%
"f−1
√n;f+1 √n#pour répondre à la question 2)d).
✓Le thème des probabilités conditionnelles devra être traité avant d’aborder la partie 3)
Compétences engagées :
✓Exécuter un algorithme avec structures itératives et instructions conditionnelles.
✓Interpréter la nature de ce que l’algorithme produit dans le contexte du problème.
✓Faire usage d’une structure itérative pour répéter une liste d’instructions.
✓Faire usage d’une variable « compteur » pour dénombrer.
✓Estimer une probabilité à partir d’une fréquence obtenue par simulations (intervalle de
confiance).
✓Reconnaître une situation relevant des probabilités conditionnelles (partie 3)
✓Calculer les termes de suites définies par un système dynamique (partie 3) en utilisant
éventuellement un tableur
Durée indicative : 1 heure 15 (parties 1 et 2) et 1 heure ( partie 3 )
Logiciels utilisés : Python et un tableur.
Documents utiles à télécharger :
✓fichier python (solution de la question 2b)
✓fichier python (solution de la question 2c)
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Déroulement de la séance :
Les parties 1) et 2) ont été traitées en préambule du chapitre « Probabilités condition-
nelles » en terminale S.
La partie 3) a été traitée en conclusion de ce même chapitre.
L’activité a débuté 15 minutes avant la fin d’une séance de mathématiques. A l’issue de
cette première phase, les élèves se sont appropriés le problème et ont explicité un protocole
de simulation d’une tentative de traversée avec un dé.
Les élèves ont eu pour travail à la maison de simuler quatre tentatives de traversée et
d’envoyer les résultats au professeur qui s’est chargé de les regrouper sur une feuille de
calcul d’un tableur.
La séance suivante a démarré par la projection des résultats des simulations et par le
calcul de la fréquence des traversées réussies, ce qui donne une première estimation de la
probabilité cherchée.
Cette organisation du début de cette activité a permis un gain de temps important
Le nombre insuffisant de simulations ne permettant pas une estimation précise de la prob-
abilité cherchée, il est naturel d’avoir recours à l’outil informatique pour augmenter de
manière significative le nombre de simulations.
L’activité oriente les élèves vers l’algorithmique et l’utilisation du langage de programma-
tion Python.
Question 2a) :
Les élèves comprennent que (x,y) sont les coordonnées de la position de Ken après y
déplacements.
Cette question ne pose pas de problèmes importants. L’exécution pas à pas de cet algo-
rithme avec, à chaque fin de boucle la représentation de la position de Ken sur le pont,
aide les élèves les plus en difficulté à comprendre ce que produit l’exécution de cet algo-
rithme. La ligne « Tant que x≥ −2 et x≤2 et y≤15 » se traduit littéralement par
« Tant que Ken est sur le pont ».
Le résultat attendu pour la complétion de l’algorithme est :
si y=16 alors écrire « Traversée réussie »
sinon écrire « Plouf ! »
from random import randint
x=0
y=0
while x>=-2 and x<=2 and y<=15:
x=x+randint(-1,1)
y=y+1
if y==16:
print("Traversée réussie")
else:
print("Plouf")
Question 2c)
Certains élèves se heurtent à la difficulté de faire répéter 10000 fois l’algorithme précédent.
i←1tant que i≤10000 faire
Algorithme précédent
i←i+ 1
2

Les élèves comprennent qu’il faut dénombrer le nombre de traversées réussies mais peu
d’élèves pensent à l’utilisation d’une variable nommée par exemple c, initialisée à 0, et
qui est incrémentée de 1 lorsqu’une tentative de traversée est réussie.
On aboutira finalement à l’algorithme suivant :
Algorithme
Entrées : /
Sortie : la fréquence fdu nombre de
traversées réussies
Traitement :
c←0#variable compteur
i←1
tant que i≤10000 faire
x←0
y←0
tant que x≥ −2et x≤2et y≤15
faire
x←la somme de la valeur de xet
d’un entier choisi au hasard parmi
−1, 0, 1 ;
y←y+ 1
si y= 16 alors c←c+ 1
i←i+ 1
f←c
10000
écrire f
Programme Python
from random import randint
c=0
i=1
while i<=1000000:
x=0
y=0
while x>=-2 and x<=2 and y<=15:
x=x+randint(-1,1)
y=y+1
if y==16:
c=c+1
i=i+1
f=c/1000000
Fréquence affichée après une exécution
>>> ====================== RESTART
>>>
0.305581
Question 2d)
95% des intervalles de confiance hf−1
√10000 ;f+1 √10000 icontiennent p(probabilité de
réussir la traversée). Ainsi p∈[f−0,01; f+ 0,01] au seuil de confiance de 95%.
La différence entre pet fest inférieure à 0,01. On peut ainsi espérer avec cette simulation
une valeur approchée de pà 0,01 près.
Question 3)
Il est souhaitable d’amorcer cette partie par une réflexion sur la nature du problème. Les
élèves doivent se rendre compte qu’il s’agit d’un problème de probabilités conditionnelles ;
la position de Ken au n+ 1ème déplacement est conditionnée par sa position au nème dé-
placement. Cette constatation est suivie par la construction de cet arbre :
Le calcul des termes a15 +b15 +c15 +d15 +e15 se fait avan-
tageusement avec un tableur.
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