20120322_DM51_Chute Libre de la Lune

D M 5 .1 – Pour le 22/03/2012 – 1/2
Problème : Chute Libre de la Lune
On souhaite décrire dans ce problème le mouvement
de la Lune autour de la Terre. Il s’agit d’une chute libre, la
Lune étant lancée à une vitesse suffisante lui permettant de ne
jamais tomber !!! Le phénomène de chute libre a été modélisé
en premier par Galilée (pour la chute simple au voisinage de
la Terre) et Képler (pour la chute céleste), le tout synthétisé
par Newton en 1687.
Données numériques :
1.
- Masse de la Terre : MT = 5,98.1024 kg
- Rayon moyen de la Terre : RT = 6380 km
- Constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2
- Distance Terre Lune (de centre à centre) d = 384 000 km
Donner l’expression de la force gravitationnelle
FGRAV ( M ) exercée par une masse ponctuelle m
placée en un point O (l’origine du repère utilisé dans le référentiel) sur un système de masse mS placé
en un point M de l’espace.
On notera :
- r la distance OM
-
ur le vecteur directeur unitaire de la droite (OM) dirigé de O vers M.
- G la constante de gravitation universelle.
2.
On définit également le champ gravitationnel crée par cette masse m en tout point M de l’espace, tel
que FG RAV ( M ) = m S G ( M ) . Ce champ a ainsi l’avantage de ne pas dépendre du système placé en M
(définition similaire au poids P = m S g ). Donner l’expression du champ G ( M ) , et le représenter.
3.
On assimile la Terre à une répartition de masse à symétrie sphérique, de centre O, de masse MT et de
rayon RT. Cela implique que vu de l’extérieur (r > RT), le champ qu’elle créé est le même que celui
d’une masse MT ponctuelle placé au point O.
3.a)
3 .b )
Définir le référentiel géocentrique. Est-ce que ce référentiel est solidaire de la Terre dans son
mouvement de rotation autour des pôles ? Indiquer pourquoi ce référentiel n’est pas en toute
rigueur galiléen. Citer le nom d’un référentiel galiléen. A quelle condition qualitative peut-on
considérer que le référentiel géocentrique est galiléen lorsqu’on réalise une expérience ?
Donner l’expression du champ gravitationnel G ( M ) terrestre créé en un point M situé à la
distance r de son centre (r > RT).
3 . c)
Calculer la valeur de :
- la norme g0 de G ( M
) lorsque le point M est situé à la surface de la Terre.
- la norme gL du champ gravitationnel terrestre G ( M ) lorsque le point M se trouve à
l’altitude de l’orbite de la Lune autour de la Terre (à ne pas confondre avec le champ
gravitationnel lunaire don’t il n’est pas question ici).
4.
On considère maintenant un objet de masse m, supposé ponctuel, placé au point M situé à la distance
r du centre de la Terre O.
4.a)
Donner l’expression de la force
f OM exercée par la Terre sur cet objet. Préciser si cette force
est attractive ou répulsive.
4.b)
La Terre subit-elle une force de la part de l’objet ? Justifier votre réponse (citer la loi physique
utilisée) et dans l’affirmative, expliciter cette force.
DM5.1 – Pour le 22/03/2012 – 2/2
5.
6.
On étudie le mouvement de l’objet au point M soumis à l’influence de la Terre et dont la vitesse
initiale n’est pas verticale.
5.a)
Montrer, en utilisant le théorème du moment cinétique au point O, que ce mouvement se fait
dans un plan que l’on précisera (on supposera que la force gravitationnelle terrestre est la
seule force agissant sur cet objet, et on utilisera le référentiel géocentrique considéré comme
galiléen.
5.b)
Considérons le cas particulier d’une trajectoire circulaire de centre O. Montrer avec l’aide du
moment cinétique que le mouvement est alors uniforme
5 . c)
Appliquer maintenant un PFD sur le point M et calculer la vitesse v ainsi que la période T du
mouvement en fonction de G, MT et r.
5 .d)
Calculer v et T pour la Lune, satellite naturel de la Terre dont on assimilera l’orbite à un
cercle. (exprimer T en secondes puis en jours, et commenter la cohérence du résultat)
On étudie maintenant la situation suivante : on lâche sans vitesse initiale à l’instant t = 0 un objet
supposé ponctuel, de masse m, placée au point G0 situé à une altitude h. L’intensité du champ
gravitationnel terrestre, qui dépend de h, sera toutefois supposée localement uniforme et notée g. Soit
G0z l’axe vertical descendant passant par G0, G0 étant pris comme origine de cet axe (figure ci-contre).
L’étude du mouvement pourra se faire dans le référentiel terrestre assimilé à un référentiel galiléen.
6.a)
7.
Calculer l’expression de z(t) donnant l’évolution au
cours de la chute libre de l’abscisse z du point G en
fonction du temps t.
6.b)
Exprimer la hauteur de chute h1 au cours de la
première seconde de chute. La grandeur h1 dépendelle de l’altitude initiale h ?
6.c)
Calculer la valeur de h1 pour :
- un objet lâché au voisinage du sol terrestre (g = g0)
- un objet lâché à l’altitude de la Lune (avec la valeur g = gL)
G0 (à t = 0)
Niveau du
sol terrestre
z
D’après la question précédente, la lune tombe elle aussi en
permanence sur la Terre. Mais d’après la question 5.c), elle
décrit une orbite circulaire à la vitesse v.
Soit A un point de cette orbite. En l’absence de la Terre, la Lune
poursuivrait sa trajectoire suivant la direction du vecteur v et
arriverait en B au bout d’un intervalle de temps ∆t. Choisissons
pour simplifier ∆t = 1s.
g
h
A
B
C
d
h
Orbite de
la Lune
O
Terre
En fait, à cause de l’attraction terrestre, elle chute jusqu’au
point C avec BC = h1, la quantité h1 ayant été définie à la
question 6.b).
7 .a)
Exprimer la vitesse v en fonction de h1 et de la distance Terre-Lune d. Simplifier cette
expression sachant que h1 << d, puis calculer la valeur de v.
7.b)
Cette valeur de la vitesse est-elle en accord avec celle trouvée à la question 5.c ? Que peut-on
en conclure alors sur le mouvement de chute libre de la Lune, quelle conséquence sur la
trajectoire de la Lune a-t-il ?