Mathematiques - 1999 - Classe Prepa B/L

ECRI COME
Banque d’épreuves communes
aux concours des Ecoles
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CONCOURS D’ADMISSION
option lettre et sciences humaines
MATHÉMATIQUES
Année 1999
Aucun instrument de calcul n’est autorisé.
Aucun document n’est autorisé.
L’énoncé comporte 4 pages
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux
résultats, à respecter les notations de l’énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves)
de leurs a¢ rmations.
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S.V.P
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PREMIER PROBLEME
1. Soit fune fonction de classe C2sur [a; b];telle que f(a) = f(b) = 0;
x0étant un élément de ]a; b[, montrer qu’il existe x1de ]a; b[tel que :
f(x0) = f"(x1)
2(x0a)(x0b):
On pourra appliquer plusieurs fois le théorème de Rolle à la fonction auxiliaire :
':x7! f(x)f(x0)
(x0a)(x0b)(xa)(xb)
après avoir calculer '(a); '(x0)et '(b):
2. Soit gune fonction de classe C2sur [a; b]telle que, pour tout xde [a; b]; m 6g"(x)6M:
(a) Soit hl’application dé…nie par :
h(x) = g(x)g(a)xb
abg(b)xa ba;
en appliquant le résultat précédent à la fonction h, montrer que, pour tout xde [a; b];
M(xa)(xb)
26g(x)g(a)xb abg(b)xa ba6m(xa)(xb) 2:
(b) Montrer que
b
R
ag(a)xb
ab+g(b)xa badx =ba 2[g(a) + g(b)] :
(c) En déduire que :
M(ba)3
12 6
b
Z
a
g(x)dx ba
2(g(a) + g(b)) 6m(ba)3 12 :
3.
(a) Calculer
n+1
R
n
ln(x)dx pour nentier strictement positif.
(b) Utiliser la double inégalité démontrée au 2c pour montrer que :
1
12(n+ 1)26n+1 2[ln(n+ 1) ln n]161 12n2:
4. On considère les deux suites réelles (Un)net (Vn)ndé…nies pour tout n>2par :
Un= ln(nn+1=2en)ln(n!) et Vn=Un+1
12(n1):
Montrer, en utilisant le résultat établi à question 3, que les deux suites (Un)net (Vn)nsont adjacentes et
qu’elles convergent vers un réel Cqui véri…e :
C1
12(n1) < Un< C:
5. On dé…nit la suite (In)npar la formule In=
=2
R
0
sinnxdx:
(a) Calculer I0et I1:
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(b) Véri…er que (In)nest une suite décroissante.
(c) Trouver une relation de récurrence entre In+2 et In;en déduire les valeurs de I2npuis de I2n+1:
6. Démontrer, en utilisant la double inégalité I2n1> I2n> I2n+1;que :
lim
n!+1
24n(n!)4
[(2n)!]2n=:
En déduire que C=1
2ln(2):
Remarque importante : bien que les di¤érentes questions soient dépendantes, on pourra utiliser un résultat
énoncé, mais non démontré, pour la suite du problème.
SECOND PROBLEME
Une société d’envergure nationale qui commercialise "clés en mains" des ordinateurs propose des contrats de
maintenance par lesquels elle s’engage à dépanner les entreprises qui le demandent dans l’heure qui suit l’appel
téléphonique; mais il s’est avéré que dans 12 % des cas, elle ne pouvait tenir ce délai, et qu’elle dépannait ses
clients avec retard. On admettra que les appels et leur éventuel retard se produisent indépendamment les uns des
autres.
Partie I
Une entreprise a appelé le service de dépannage à 10 dates di¤érentes; on désigne par Xle nombre de fois où
l’entreprise a subi un retard.
1. Donner la loi de probabilité suivie par X;préciser son espérance et son écart-type.
2. Calculer à 104près la probabilité des évènements suivants :
(a) l’entreprise a subi au moins 2retards.
(b) l’entreprise a subi au moins 3retards sachant qu’elle en a subi au moins 1:
Partie II
L’antenne parisienne de la société note les appels successifs qu’elle reçoit avec leurs caractéristiques : nom du
client, durée de l’intervention, retard éventuel, ... On désignera par Ykle rang du kieme appel du est traité avec
retard; on dé…nit ainsi une suite de variables aléatoires.
1. On s’intéresse en premier lieu à la loi suivie par Y1:
(a) Donner la probabilité de l’évènement Y1=n;
(b) Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire Y1:
2. Traiter les mêmes questions pour la variable aléatoire Y2:
Partie III
La société pense qu’elle aura l’an prochain 1500 appels pour l’ensemble de la France; on désigne par Zle nombre
d’appels qui seront traités avec retard.
1. Justi…er le fait que l’on peut approcher la loi de Zpar une loi normale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer alors les probabilités des évènements suivants :
180 < Z < 200;
Z < 200 sachant que Z > 180:
3. Déterminer le nombre mtel que la probabilité que Zfasse partie de l’intervalle [180 m; 180 + m]soit 0;95:
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Partie IV
Après avoir réorganisé ses équipes de dépannage, la société veut contrôler une éventuelle amélioration en interro-
geant par sondage un nombre N0de ses clients.
1. En supposant que la fréquence des mécontents est inférieure à 10 %, déterminer le nombre minimal N0de
clients à interroger pour avoir une incertitude maximale de 3% sur la fréquence (risque 5%).
2. La société en a interrogé en réalité 205; 18 se sont déclarés mécontents; donner l’intervalle de con…ance au
risque 5% pour la fréquence cherchée.
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