Master de Mathématiques, Première Année Calcul Formel Feuille d

Université de Limoges
Faculté des Sciences
Année Universitaire 2008-2009
Master de Mathématiques, Première Année
Calcul Formel
Feuille d’exercices 1
Euclide
Exercice 1
1) Montrer que Q[X]est un anneau euclidien.
2) On considère des polynômes A, B ∈Q[X]. Décrire un algorithme déterminant les quotients et les
restes de la division euclidienne de Apar B. Écrire l’algorithme d’Euclide qui calcule le PGCD, et
montrer que cet algorithme est correct
3) Division équilibrée dans Z. Soit a, b ∈Z. Montrer qu’il existe un unique couple (q0, r0)tel que
a=bq0+r0avec 0≤r0<|b|/2.
4) Montrer que Z[i√2] est un anneau euclidien, en prenant φ(a+b.i√2) = a2+ 2b2comme stathme
d’Euclide.
Exercice 2
1) Déterminer la représentation de 115 en base 3; déterminer sa représentation en base 4, puis en base
2.
2) Décomposition en base b: soit n∈Net b∈Navec b > 1. Montrer qu’il existe un unique entier m
et un unique (m+ 1)-uplet d’entiers (rm,··· , r0)avec 0≤ri< b tels que n=
m
X
i=1
ribi.
3) Proposer un algorithme de calcul des riet de m(donc de la décomposition de nen base b). Montrer
que cet algorithme est correct.
4)
Exercice 3
On étudie1la complexité de l’algorithme d’Euclide dans le pire des cas. On considère la suite de Fi-
bonacci définie par
F0= 0, F1= 1, Fn+2 =Fn+1 +Fn, n ≥0.
On considère deux entiers n > k > 0premiers entre eux. On veut évaluer la complexité de l’algorithme
d’Euclide de calcul du pgcd de nombres entiers naturels. On effectue la suite des divisions n=kq1+r2,
k=r2q2+r3,...,ri−1=riqi+1 +ri+1. Elle se termine par rm+2 = 0. Majorer le nombre md’additions
à effectuer.
1. Le pire des cas se présente lorsque les quotients sont tous égaux à 1. Montrer que riest alors le
(m+ 2 −i)-ième nombre de Fibonacci Fidéfini ci-dessus.
2. Dans le cas général, on se donne n, k et l’algorithme se termine par rm+2 = 0. Montrer que
n≥Fm+2 = (φm+2 −(1 −φ)m+2)/√5.
3. En déduire que m+ 2 ≤logφ(n)(donc que l’algorithme d’Euclide est, dans le pire des cas,
polynomial en le nombre de chiffres de n).
1Cette étude est basée sur celle publiée en 1845 par Gabriel Lamé, dit Lamé de la Droitière (1795-1870).
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Exercice 4
On considère des polynômes A, B ∈Q[X]. On sait, d’après la relation de Bézout, qu’il existe S, T ∈
Q[X]tels que AS +BT =D, où Dest le pgcd de Aet B. On se propose de revoir dans cet exercice
l’algorithme d’Euclide étendu, qui détermine Set T.
On suppose, quite à permuter, que deg(A)≥deg(B).
1) Montrer que les polynômes Set Tne sont pas uniques. Quelle condition supplémentaire peut-on
ajouter pour imposer l’unicité ?
2) Comment choisir Set Tsi Best nul? on suppose que ce n’est pas le cas dans la suite
3) On note (Rn)la suite des restes dans l’algorithme d’Euclide. Montrer qu’il existe une suite de
matrices 2×2telles que
Rn
Rn+1 =0 1 1−Qn Rn−1 Rn
où nparcourt un ensemble d’entiers à déterminer.
a) En déduire l’existence de deux suites de polynômes Snet Tntels que Rn=SnA+TnB.
b) Montrer que les Snet Tnsatisfont une relation de récurrence qu’on déterminera
c) Ecrire l’algorithme d’Euclide étendu permettant de calculer S,T, et D.
4)
a) Étudier les degrés des Qn, Sn, Tn
b) Montrer que deg(S)<deg(B/D). Que peut-on dire de deg(T)?
5) Algorithme d’Euclide semi-étendu:
a) Montrer comment déterminer Tquand on connait Set D.
b) Écrire une modification de l’algorithme d’Euclide étendu qui calcule seulement Set D
Exercice 5
1) Déterminer l’inverse de 12 modulo 47, de 13 modulo 24, et de 12 modulo 18.
2) On sait calculer l’inverse d’un élément de Q[i](en utilisant le conjugué, avec i2+1 = 0). Déterminer
une méthode de calcul de l’inverse d’un élément de Q[i]utilisant l’algorithme d’Euclide étendu. Est-ce
la même que la méthode classique utilisant le conjugué ?
3) On pose P=X3+X+ 1 et Q[x] := Q[X]/(P). Donner une méthode de calcul de l’inverse d’un
élément non nul de Q[x].
4) Soit P∈Q[X]un polynôme irréductible. Démontrer, en utilisant la question précédente, que
Q[X]/(P)est bien un corps.
Exercice 6
Soit A, B, C ∈Q[X]. On veut résoudre dans Q[X]l’équation (D) : AP +BQ =C
1) Montrer que (D)admet une solution si et seulement si Cest divisible par le pgcd de Aet B.
2) Donner une méthode de résolution de (D).
3) On se donne des polynômes B1, B2, . . . , Bnpremiers entre eux deux à deux (mais pas nécessaire-
ment irréductibles). Montrer comment calculer une décomposition de la fraction A
B1B2. . . Bn
.
Exercice 7
On appelle fonction algébrique une fonction y(x)vérifiant une relation (∗) : Q(x, y(x)) = 0 (identique-
ment, sur un ensemble convenable) où Q∈C[X, Y ]est un polynome en deux variables.
1) Quelle est la structure de l’ensemble des polynomes Qvérifiant Q(x, y(x)) = 0. Montrer qu’il existe
un polynôme de degré minimal vérifiant cette propriété. Comment le rendre unique ? On notera Pce
polynôme minimal.
2) Montrer que y0(x)peut s’exprimer comme une fraction rationnelle en xet y; en déduire que y0(x)
s’exprime en fait comme un polynôme en x, y. Montrer que cette propriété reste vraie pour toutes les
dérivées de y(x).
3) On note nle degré de Pen la variable Y. Déduire des questions précédentes que y(x)satisfait alors
une équation différentielle linéaire d’ordre au plus n.
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