Primitives des fonctions élémentaires

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
DANIEL L AZARD
Primitives des fonctions élémentaires
Séminaire N. Bourbaki, 1983-1984, exp. no 630, p. 295-308
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Séminaire BOURBAKI
36e
aimée, 1983-84, n°
630
Juin 1984
PRIMITIVES DES FONCTIONS
(d’après
Risch et
ÉLÉMENTAIRES
Davenport)
par Daniel LAZARD
INTRODUCTION
Le calcul
intégrales
intégral
"définies"
ou
se
divise
en
deux
parties complémentaires :
calcul des aires et celui des
intégrales
le calcul des
"indéfinies"
ou
calcul des
primitives. Que le premier soit susceptible de traitement par ordinateur
est maintenant une évidence ; c’est
beaucoup moins connu pour le second bien que
de très importants progrès dans la théorie du calcul des
primitives ont eu lieu
depuis 1969, en liaison très intime avec la programmation effective.
La dérivation est
Les seuls
une
opération
problèmes, qui
très
simple qui peut
se
programmer ai.nsi :
sortent du cadre de cet
exposé, résident dans la
et la programmation des tests entre
représentation
guillemets ainsi que dans
la simplification du résultat.
Au contraire, l’opération inverse qu’est le calcul de la
primitive pose de
nombreux problèmes : s’il est vrai que toute fonction continue admet une
primitive,
de
cet
sent
ensemble
non
f
dénombrable de fonctions
être représentés
en
est
trop grand pour que
machine.. Il faut donc
limiter à
ses
éléments puis-
ensemble plus resprendrons les fonctions élémentaires, c’est-à-dire les fonctions qui
peuvent s’écrire à partir des éléments de 2 et de x en itérant les 4
opérations
rationnelles ainsi que la prise de logarithmes,
d’exponentielles ou l’extraction de
treint :
un
nous
racines de
encore
se
polynômes.
Ce corps n’est pas stable pour
ouvert, doit donc être reformulé ainsi ;
Etant donnée
une
fonction élémentaire, calculer
l’intégration,
sa
primitive
ou
et le
problème,
démontrer
n’est pas élémentaire.
Un deuxième problème réside dans la
représentation multiple des logarithmes
complexes et des racines. La solution employée consiste en une formulation
purement
algébrique qui ramène le choix des déterminations des logarithmes ou des racines au
295
choix
d’isomorphismes vers les fonctions continues. Il est nécessaire de préciser
algébrique avant de pouvoir énoncer les principaux théorèmes.
cette formulation
1. FONCTIONS
ELEMENTAIRES.ETAT
THÉORIE.
DE LA
Un corps différentiel est un corps K muni d’une fonction D de K dans K,
la dérivation telle que D(f+g) = D(f)+D(g) et D(fg) = fD(g)+gD(f). La dérivation
de f sera noté f’. Le corps Q(x) sera toujours considéré comme muni de l’unique
dérivation telle que x’
1. On appelle constante un élément de dérivée nulle.
=
Si
f’=fg’
f. On note
f
=
on
dit que
eg
et g
=
f
est
extension différentielle où
simple K(f)
f
est soit
logarithme d’un élément
de
et
g
un
logarithme
d’un corps différentiel
une
constante, soit
K
de
est une
algébrique
K, soit l’exponentielle d’un élément de
Une extension élémentaire
soit
g
logf.
Une extension élémentaire
soit le
une exponentielle de
de
K
K,
sur
K.
est une extention telle que
extension élémentaire
simple de K(f1,...,fi-1) pour tout i.
algébrique (resp. purement transcendante) si chaque
non constant est algébrique (resp. transcendant sur
fi
K(f1,...,f.~*1)) ; ainsi
Q(x,f,e f/2 ) avec f=log(x) n’est pas purement transcendante.
Enfin on appelle fonction élémentaire, fonction élémentaire purement transcendante, fonction algébrique un élément d’une extension correspondante de Q(x).
une
Une extension élémentaire est
théoriques est résumé par les trois théorèmes
l’énoncé desquels "integrer" signifie "calculer une primitive dans
élémentaire ou démontrer qu’il n’y a pas de telle primitive".
L’état actuel des connaissances
suivants dans
une
extension
THÉORÈME 1 (Risch,
1969). Il existe
un
algorithme
intégrer
pour
les
fonctions
élé-
mentaire purement transcendantes.
THÉORÈME 2 (Davenport, 1979).
algébriques.
THÉORÈME 3 (Davenport,
IZ existe
un
algorithme
pour
1983). Il existe
un
algorithme
pour
élémentaires purement transcendantes
sur une
extension
intégrer
les
fonctions
intégrer les fonctions
algébrique de Q(x).
programmation est le suivant : l’algorithme de Risch
disponible dans MACSYMA. L’algorithme de Davenport
programmé
-1979 a été programmé par lui-même et est disponible sous REDUCE (MULTICS de
Grenoble). Il est toutefois limité aux fonctions où les seules racines qui apparaissent sont des racines carrées, éventuellement imbriquées. La raison de cette restriction est que le maniement des nombres algébriques est actuellement très mal maitrisé : on ne sait pas contourner les problèmes posés par la taille exponentielle
du groupe de Galois ni contrôler la taille des entiers qui interviennent. Il s’agit
d’un domaine de recherche presqu’inexploré. Enfin, la programmation de l’algorithme
L’état d’avancement de la
a
été
par Moses et est
de
Davenport-1983 n’a pas
Tous ces algorithmes
de la
primitive ;
encore
théorème suivant qui prédit la forme
théorème remonte à Liouville (1833), mais la forme précise
ce
ment
4. Soit
de
f
avec
vi
v
E
K
un
admet
K
peut être mise
(1969).
differentiel de corps des eonstantes
primitive dans une extension élémentaire
de
K,
un
é2é-
elle
forme
aLgébriques
K,
E
Si
ô.
corps
une
la
sous
entreprise.
sont basés sur le
ci-dessous. est due à Risch
THÉORÈME
été
pour
sur
ô,
Zinéaipement
indépendants sur ~
et
i > 1.
Démonstration : On écrit
où les
v.
sont dans une extension
élémentaire
L
=
K(t1,...,t )
d’une
clôture
al-
gébrique K de K (au départ, les ci sont nuls) ; on veut montrer que les vi peuvent être pris dans K ; une récurrence sur n permet de se ramener au cas où n = 1 ;
décompose vo
ples permet alors
en
on
éléments
simples
relativement à la variable
et les
tl
vi
vi peuvent être pris dans K. La complétude
de la théorie des corps algébriquement clos permet de choisir les
ci algébriques
sur
K et un argument de théorie de Galois permet de conclure..
de montrer que les
là, la théorie va consister à préciser la forme des vi en fonction
Ainsi, si f est une fraction rationnelle, il en est de même des
vi, et on peut préciser leur forme de manière à ramener l’intégration à la résolution d’un système d’équation linéaires (méthode de Horowitz). C’est essentiellement
ce qui va être fait pour l’intégration des fonctions algébriques.
A
partir
de celle de
2. LE
de
v.
THEOREME
DE RISCH.
Supposant démontré le théorème 2,
théorème 1 et 3.
Etant donné
un
nous
allons
esquisser
corps différentiel K, rappelons qu’intégrer un élément de K
primitive dans une extension élémentaire de K ou démontrer
signifie
qu’il n’en existe pas. De même, nous allons considérer
appellerons problème de Risch pour K.
calculer
une
Etant donnés des éléments f,g1,...,gn
des constantes de
la démonstration des
K) de
l’espace
de
vectoriel W
le
problème
K, trouver
une
suivant que
base
des solutions dans
sur
K
de
ô
nous
(corps
où
V
est
tion,
Résoudre
les éléments de la base de
V
dans
naturelle de
W
dans
y
fy
+
desquels
abréviation
=
revient alors à
gl
de
V.
g1.
est un corps différentiel et la locution "on sait" est une
K
u E K
Si l’on sait
LEMME 2. Soient
l’application
calculer l’image réciproque
l’équa-
résultent immédiatement des résultats suivant dans les
pour "il existe
LEMME I. Soient
log u).
g2.
qu’en substituant
Les théorèmes 1 et 3
énoncés
par les
engendré
trouve facilement la matrice de
Il faut remarquer
on
vectoriel
le Ko-espace
u E
et
un
t
algorithme pour".
intégrer dans K,
K
et
t = exp u). Si l’on sait
t
vérifiant ut’
sait intégrer dans K(t).
transcendant
on
transcendant
intégrer
sur
K
sur
K
et résoudre le
=
u’ (i.e. t
véri fiant t’ tu (i. e.
prob lème de Risch dans K,
=
=
on
intégrer dans K(t).
sait
LEMME 3. Soient
u
E K
et
t
transcendant
sur
vérifiant t’ tu’ ou ut’=u’.
problème de Risch dans K, on sait
est un logarithme, les seules
K
=
intégrer dans K(t) et résoudre le
résoudre le problème de Risch dans K(t). (Si t
intégrations sont des intégrations d’éléments de K).
Si l’on sait
intégrer et résoudre
extension algébrique de ~(x).
LEMME 4. On sait
une
Les lemmes 1 et 2
théorème de Liouville
se
f
le
problème
manière suivante :
démontrent de la
= v’
+ ~
c.
égalité et
de Riseh dans
on
décompose
en
Q(x)
on
éléments
ou
dans
applique le
simples dans
les identifie.
Quand t est un
cette identification conduit à tester si les primitives de certaines
fonctions de K sont élémentaires et d’une forme particulière ; dans le cas où
t est une exponentielle, on est ramené à des équations différentielles de la forme
y’ + fy g qu’il faut résoudre dans K, la différence provenant de ce que la
dérivation n’abaisse pas le degré d’un polynôme en exp(u). Remarquons que la méthode s’applique également au cas de Q(x).
Démonstration du lemme 3 : Si g E V, il s’agit de résoudre y’ + fy
g, les
connait
on
ne
éléments f,y et g étant des fractions rationnelles en t ;
pas g,
les deux membres de cette
K(t)
logarithme,
on
=
=
mais
un
on
dénominateur : le ppcm des dénominateurs des gi. Si p est
irréductible, on écrit le début des développements p-adiques de y,f
connait
polynôme
son
et g :
Il
en
résulte que
a ? max(c+1, c-b)
ou
que
b
=
-1 et
a
=
-F/p’ modp.
Ceci permet
de déterminer
un
du dénominateur de
multiple
y.
(Si
a ~ max(c,c-b) ou
la dernière expression signifie que la primitive de
bien particulière et permet de calculer a). On peut
teurs, ce qui conduit à une équation
p
=
plp’
t, alors
et on trouve
b
F
exponentielle
est une
t
=
o
Y’/Y
et
+
au’+ F
=
et
0 ;
est élémentaire d’une forme
maintenant chasser les dénomina-
R z’ + Sz = T
polynomiale
se ramener
t. L’identification des coefficients des
en
à
un
qui nécessite
problème de Risch sur K,
intégration dans K.
dès que l’on
puissances
de
borné le
degré
a
t
permet de
de z,
ce
une
Q(x), la démontration est identique, mais plus
logarithmique, et bien connue pour l’intégration. L’intégrasimple
tion dans le cas algébrique sera traitée au paragraphe suivant. Enfin, soient K
K ne prolongeant pas la
une valuation de
un corps de fonctions algébriques, v
valuation à l’infini de ~(x) et p une uniformisante locale ; l’équation
dy/dx + fy g se réécrit
Pour
Démonstration du lemme 4 :
que dans le
cas
=
et
de la démonstration du lemme 3
l’argument
en v.
Ceci détermine donc
un
diviseur
D
permet de minorer la valuation de y
(voir plus bas) permet de déterminer une base
inégalité et la solution du problème de
cette
(y) > D. L’algorithme de Coates
de l’espace des fonctions satisfaisant
Risch n’est plus que de l’algèbre
tel que
linéaire.
3. FONCTIONS
ALGÉBRIQUES
algébriques posent des problèmes de représentation ;
Davenport
représenterons une fonction algébrique f sous la forme
où g et h sont des polynômes et où les variables sont reliées
0
par des équations polynomiales
Ainsi (x+ x -1)/
0,
est
~%
x~+ 1 0 et
x
représenté par
0. Autrement
(x+y 1) lx avec
dit une fonction algébrique f est une fonction rationnelle g/h sur la courbe C
définie par les équations
Fi 0, ce qui n’est qu’une formulation géométrique pour
dire que f appartient au corps L
(F1,...Fn).
Afin d’éviter les problèmes d’indécidabilité, le corps K des constantes
doi’t être explicitement défini à partir de ~ par une succession d’extensions simples transcendantes ou algébriques de polynôme minimal connu (Si c’est une constante dont l’égalité à 0 est indécidable, et f une fonction dont
l’intégrale n’est
pas élémentaire, l’intégration de cf(x) est un problème indécidable). Avec ces
notations, on peut préciser le théorème de Liouville.
Dès l’abord, les fonctions
suivant
nous
=
,...
y~
y~ -
y-
=
=
=
°
=
THÉORÈME
Ze
5. Soient
engendré
Za
fonction algébraique et r1,..., rk,
résidus de Za forme différentielle fdx.
f
par Zes
une
soit
Ze
fdx a résiduaLorsa2Pri ;
forme
primitive élémentaire,
8
une
avec
v0
vi
On écrit le théorème de
Démonstration:
logarithmique,
indépendants,
stratégie d’intégration
pôles
les
2)
En déterminer
3)
Déterminer j i
Calculer
Les
étapes
j. di
Aux
certaines
ou
f
a
sont sans
étapes 3 et
propriétés.
5
jouant
où les
(v.)
les
sur
propriéQ-linéaire-
sont
d’algèbre linéaire permet
alors de
re-
résidus,
sans
oublier les places à l’infini.
di.
vi.
impossible.
va.
montrer
problèmes posés
et en
au cas
soit le diviseur d’une fonction
montrer que c’est
calculer
va
2 et 4
Si
est alors la suivante :
base et calculer les
Calculer le diviseur des
calculer
p aiP . P.
résultat. ’
de fdx et leurs
tel que
ou
vi
4) Dériver pour
5)
une
Un peu
ci.
au
Liouville,
ramène
on se
ainsi que les
grouper les termes pour aboutir
1) Déterminer
chaque place P,
If (r~, ... , rk) et (vi) = ji di
(v2J le diviseur de v2J.
tés de la dérivée
La
A
base du t modu-
E
(On désigne par
ment
di
"
EK,
Ze diviseur
une
pôles de va; en déduire
une impossibilité.
par les différentes
étapes
celui des
pôles
de
va
et
sont fort différents : les
problèmes.
il faut déterminer
Cela
fait
une
fonction dont le diviseur
possède
deux temps : on calcule d’abord l’espace
vectoriel des fonction v tel que (v)>- D où D est un diviseur positif (celui
des pôles) ; à ce moment, les autres contraintes que doivent satisfaire D sont
linéaires et il est facile de calculer, s’il en existe, une fonction les satisfaise
en
sant.
Les
A)
Donner
mes
problèmes
une
sont donc :
définition
explicite
des notions de
pôle
et de
résidu et des algorit-
permettant de les calculer.
B) Déterminer
un
ensemble fini J
aussi
petit
que
possible
tel que
si ji
existe
il
appartienne
à
J ; il suffit toutefois de
C)
Etant donné
un
diviseur
v
telles que
(v) ~-
base de
une
l’espace
des fonctions
D.
DÉVELOPPEMENT
4. PLACES -
positif D,
majorer j.
calculer
Pour résoudre le
DE PUISEUX
problème A,
il faut
plus algorithmique de
une vue
la situa-
les données étaient des fractions rationnelles dont la
tion :
jusqu’à présent,
présentation est simple
re-
algorithmes pouvaient être copiés sur les démonstrations, à condition d’avoir des nrogrammes efficaces pour la décomposition en élément simole, le calcul du pgcd, la factorisation de polynômes,...Ici, la situation
est différente : les notions de places, résidus,... ne sont pas habituellement
nrésentées d’une manière constructive. Voici la représentation de Davenport des
places d’unP courbe F(x y) =0 :
C’est
une
et les
liste de
paires indiquant
des substitutions ; la
substitution nécéssaire pour
avoir substitué la nouvelle valeur de x
est la
ou
la
ramener
place
première(x,x-a)
au
dessus de
0.
F, on calcule les débuts
Après
des développements de Puiseux des solutions de F(x,y)
0, ce qui donne les places
et leur ramification. Pour une place de ramification e, on ajoute la paire (x, xe)
qui transforme la série de Puiseux en série de Laurent, puis l’indication de la
racine de F(x,y) = 0 considérée ; on continue d’une manière analogue s’il y a
d’autres équations
F2(x,y,y2) - 0,... (Dans le programme de Davenport, les poly+
nômes
Fi sont de la forme
fi (x,y ,..., y-i), ce qui évite de nombreuses
dans
=
y2
complications).
A
partir
de
là,
le calcul des
formes différentielles devient
au
pôles et
théoriquement
dessus des zéros du dénominateurs et de
indiquées et on calcule
(en fait de Laurent) de
s’obtient
en
le terme de
degre
la fonction
ou
calculant le
degré
des résidus des fonctions
assez
simple:
l’infini ;
on
-1 du
de la
on
dx, qui
calcule les
des
places
effectue les substitutions
développeront
forme. De même,
du diviseur de
ou
en
série de Puiseux
le genre de la courbe
est concentré aux
places
ramifiées et à l’infini.
Bien que la solution
ni facile
polygônes
nombres
théorique
limite pas
quand
de Newton qui n’est guère
on ne se
soit claire la
aux
programmation n’est ni réalisée
racines Carrées : outre le maniement des
compliqué,
il faut
distinguer
les différents
effectuer de nombreuses manipulaalgébriques conjugués qui apparaissent
(factorisation de polynômes notamment) pour lesquelles on ne connait pas
d’algorithmes suffisamment rapides.
tions
et
D’UN DIVISEUR
5. TORSION
La résolution du
revient à
B
majorer la torsion du diviseur di
dans le groupe des classes de diviseur ou jacobienne. Ayant ainsi obtenu une majoration de
ji il n’y a plus qu’un nombre fini de valeurs possibles oour ce nombre ;
on est donc ramené à résoudre un nombre fini. de: fois le problème C._ Cette majora-
problème
tion de la torsion dépend de la nature du
6:1.
Corps des
algébrique,
constantes
Ce cas est
essentiel,
car
les
corps
des constantes.
genre 1.
genre ~ 2 sont très rares. Si le
diviseur est Q, on connait une majoration
exemples
corps de définition de la fonction et du
en
absolue de la torsion :
(Mazur) L’ordre d’un diviseur de torsion d’une courbe de genre
PROPOSITION 1. -
définie sur lé
est
Malheureusement
de toute
façon
12.
plus
au
on ne
connaît pas de borne
telle borne
une
générale
le diviseur n’est pas de torsion. Aussi
ALGORITHME 1. Entrées:
une
1
courbe
analogue pour les corps de nombres;
rend les calculs très coûteux, surtout si
Davenport
elliptique
et
un
a
proposé l’algorithme
suivant :
diviseur.
Sortie : l’ordre du diviseur.
a -
Changer
de
coordonnées. pour
mettre la courbe
sous
forme canonique de
Weierstrass
et
â
.avee
b
entiers
algébriques.
b - A l’aide de la loi de groupe
point
c -
Si
Y~J
PD
est entier
calculer
.
.
(i.e.
P~, P2, ...
sur
la
courbe,identifier
le diviseur à
a
avec
des coordonnées entiers
PZ
=
2
~jusqu’à
ce
algébriques),
que
bien le dénominateur de la
première coordonnée de P2
entier ; alors Po n’est pas de torsion.
ou bien, il existe ji
avec
PZ + Pj ; dans ce cas
m2j avec m. diviseur de 2i-j± 1.
ou
un
de Za courbe.
=
ne
PO
soit pas
est d’ordre
,
.
ou
bien
P2
est le
point
à
l’infini ;
alors l’ordre de
n’est pas entier, soit p
pas premier, Pp n’est pas de torsion ; si
d ~ Si
Po
PO
le dénominateur de
p
est
premier,
est
si
p
22.
n’est
calculer
pP0’ P2 nateur
ne
Cet
algorithme
de
points
y2 X3
+
=
X
(X, Y~
est
un
point
un
classiques
suivants :
qu’un nombre fini de points entiers
n’a
b
+
dont Ze dénominateur divise
PROPOSITION 3. Si
ou
est basé sur les deux résultats
PROPOSITION 2. La courbe
ou
p
p ; l’ordre est alors
divisant pas
ou un dénomipoint à
l’infini, respeetivement.
.
entier donné.
précédente (avec
X est un entier algébrique, ou bien
pX est un entier algébrique.
d’ordre
a,b entiers algébriques), alors, ou bien
n
est puissance du nombre premier p et
la courbe
sur
n
Ayant. ces résultats, le seul point difficile est l’étape a. Pour celà,
P et deux fonction X et Y ayant des pôles d’ordre 2 et
on choisit un point
3 en P et pas d’autres pôles ; ceci se fait à l’aide de l’algorithme de Coates,
ci-dessous ; il existe une relation linéaire entre x3, y2,
y et 1 qui
donne la forme cherchée après un changement de variables faciles.
5:2.
Corps des
constantes
algébriques,
genre
quelconque.
Dans ce cas, la méthode utilisée utilise
algébrique :
réduire le
problème
modulo
un
une
nombre
stratégie fréquente en calcul
premier p. La notion de bonne
réduction que nous décrivons est essentiellement celle de Serre
forme directement utilisable pour notre objectif.
DEFINITION 1. Une courbe
nombre
premier
p
si
d’équation F(x,y)
C
F
n’y
a
0
a
bonne réduction modul
est absolument irrdductible modulo
pas par réduction modulo
PROPOSITION 4. Il
=
g
définie
premier
à
seurs
d’ordre
F
q
a
et si le genre
ne
qu’un nombre fini de nombres premiers de mauvaise réduction.
sur
PROPOSITION’6. S’iZ y
p
un
p.
PROPOSITION ~: L’ordre du groupe des classes de diviseurs
de genre
et Tate mise sous
est
ma~joré
par
(~ +
bonne réduction modulo
p
{jacobienne} d’une courbe
p, l’ensemble des classes de divi-
s’injecte dans la jacobinne modulo
p.
jacobienne modulo p pour deux
nombres prem iers. de bonne réduction donne un multiple de l’ordre de tout diviseur
COROLLAIRE. La connaissance de l’ordre de la
de torsion.
Si
on
connait des algorithmes efficaces pour calculer le corps résiduel d’un
corps de nombres, tester l’irréductibilité absolue modulo p d’un polynôme et calculer l’ordre de la jacobienne et le genre d’une courbe définie sur
on en déduit
aisément
Fa,
multiple
un
de l’ordre de tout diviseur d’une courbe définie
de nombres : il suffit d’utiliser
Si
au
sait pas calculer exactement l’ordre de la
cependant un majorant de l’ordre du diviseur.
caractéristique
série de
la
plupart
des
corps
moins deux nombres
on ne
Actuellement,
implantés : il faut
sur un
premiers de bonne réduction.
jacobienne modulo p, on obtient
algorithmes nécéssaires
n’ont pas
encore
été
d’abord programmer, en tenant compte des particularités de la
algorithmes de calcul des places et des développements en
p, les
"Puiseux",
ainsi que
l’analogue
de
l’algorithme
de Coates. Le genre est
facile à calculer : il suffit de réduire modulo p les différentielles de première
espèce et de vérifier qu’elles restent de première espèce et linéairement indépendantes. Pour l’irréductibilité
absolue, Dicreszenzo et Duval viennent de décrire
encore ni programmé ni généralisé à la caractérisalgorithme polynomial qui
tiquè p. Enfin, pour l’ordre de la jacobienne, rien d’autre ne semble connu que la
stratégie évidente qui est très inefficace.
n’est
un
5:3.
Corps des
Dans
constantes transcendant
cas, le calcul de la torsion d’un diviseur se fait à l’aide des opéraqui utilise la différentiation par rapport à une constante
ce
teur de Gauss-Manin
transcendante,
qui peut surprendre si cette constante est e ou n. Il faut aussi
noter que,si e et n apparaissent simultanément un résultat de non intégrabilité
ne pourra être que de la forme "Si
e
et n sont algébriquement indépendant,...".
Dans
ce
paragraphe, les équations de
paramètre transcendant u ;
ce
la courbe considérée sont
nomiales
en un
tée
alors que la dérivation par rapport à
D,
L’algorithme
Algorithme
Sortie :
a.-
est
et
un
est no-
notée ’.
infini
algébrique
ou un
diviseur
entier divisant l’ordre du diviseur.
calculer
de
b. - Pour
une base
B de l’espace des différentielles de première espèce
Coates) ; g; card(B) est le genre de la courbe.
chaque oxlr dans B faire
=
bl.- Calculer Zes constantes
R =
x
u
est le suivant :
2. - Entrées : Une courbe
(algorithme
supposées poly-
la dérivation par rapport à
R (x, yl, ... )
telles que
et Za
fraction
(une fois chassés les dénominateurs, c’est de l’algèbre linéaire)
b2.- Pour
chaque
Pj
~fi ’~ ~
~~
de
première
coordonnée
Xj
~’°°°’~g
~
évalué
u
~
c.-
point P.,
~
Choisir
un
entier
5:2) ; substituer partout
(cf.
Si
après
c’est
une
dérivation
teZ
qu’il
partielle ;
on a
done
B.i ).
+
=
o
au
uo
uo à
y ait bonne réduction modulo
u-uo
u.
cette substitution l’ordre du diviseur obtenu est
infini, sortir
infini ; sinon sortir l’ordre du diviseur obtenu.
L’algorithme procède donc récursivement en réduisant le degré de transcendance du corps des constantes.
sont
L’opération b1 est possible car les
+
1
différentielles de deuxième espèce (sans résidu) et sont donc linéairement
2g
dépendantes. Le reste de l’algorithme est justifié par le résultat suivant de
Manin ; si u est une différentielle de première espèce, on lui associé l’opérateur
différentiel L = E
D~ où les
sont définis en b1, et on pose
où
0
est un
point
PROPOSITION 7.- Un
fixe arbitraire
point
P de la
J si et seulement s’il existe
de lq
trace de
A
un
(opérateur
jacobiènne
entier
n
A
de
Picard-Fuchs)
est annulé par tous les
tel que
nP
aur k (le corps des eonstantes étant
soit
au
opérateurs
point
dessus d’un
k(u)).
Un diviseur est donc de torsion si et seulement s’il est annulé par tous les
opérateurs J et est de torsion après réduction modulo u-uo, la réduction ne pouvant que
diviser l’ordre du diviseur.
REMARQUE.- La programmation de cet algorithme présente une difficulté technique
qui peut surprendre un mathématicien : il faut distinguer dans une même expression
la dérivation totale et la dérivation partielle
par rapport à U. Les systèmes actuels de calcul formel ne le peuvent pas facilement (sauf New SCRATCHPAD
qui n’est
pas encore disponible).
6.- ALGORITHME DE COATES.
La
plupart des algorithmes présentés jusqu’ici nécessitent de savoir calculer
une base de l’espace
L(D) des fonctions dont le diviseur est supérieur à -D. On
peut supposer D ~ 0, car les conditions introduites par la partie négative de D
sont des contraintes linéaires qui peuvent être résolues après coup.
un corps de fonctions algébriques défini par les polySoit L
nomes
n
on appelle
le degré de L sur K(x) ; l’algorithme
I-(x,y-,...,y_) ;
=
va
travailler localement
sur
les valuations de
K[x].
ALGORITHME 3.- Entrée : Za courbe algébrique définie par les équations
un
diviseur
=
0 et
positif
D
Sortie : Une base
diviseur ~ -
F2
de
K
sur
l’espace L.(D)
des
fonctions de
L
de
D
Choisir
fonetions linéairement indépendantes sur
n’ayant pas
de pôles à distanee finie ; on peut prendre les monômes en
où
z2 est le proz2
duit de
le
de
haut
de
dans
coefficient
plus
degré
yi par
Fi ; soit V
y2
~fZ,...,fn~ le vecteur de Ln dont Zes composantes sont ces fonctions. On va modifier V de manière qu’à la fin de l’algorithme ses composantes soient une base du
fonctions telles que (f~ > -D au dessus des places à distance
finies de
a.-
n
=
b.- calculer les racines du discriminant de la base
sur
K(x)
des
n
fonc-
tions choisies.
Pour
chaque
racine
trouvée et pour
chaque valuation x-a à distance
finie de K[ X] au dessous d’une composante de D remplacer V par °MV où M
est une matrice inversible sur
et ° une matrice diagonale dont les coefficients sont des puissances négatives de x-a (le calcul de M et ° sera exposé
plus bas ; ceci modifie Ze localisé au dessus de x-a du module engendré par Zes
composantes de y mais ne modifie pas Zes autres localisés).
de
d. - Remplacer v par MV où M estunematrieeinversiblesur
c.-
manière que
a
L(D) ait pour base
ceux
dess,us de Za place à. l’infini de
Le calcul des matrices
valuation discrète la forme
anneaux
M
des
dont le diviseur est > -D
au
K[ X] .
et 6
explicite
nécessite
d’adapter
au cas
des
anneaux
du théorème de structure des modules
sur
de
les
principaux :
LEMME 5.- Etant donnée
une
matriee
A
sur un anneau
de valuation discrète
R
d’uniformisante t , il existe une matrice de permutation S et une succession
d’opérations élémentaires sur les colonnes, de matrice E , telles que SAE soit
matrice triangulaire inférieure dont les coefficients vérifient
En tronquant les séries
qui interviennent,
on
obtient :
une
COROLLAIRE.- Si
définie
Ces
K
est
inversible
et
un sous
corps de
mais
sur
représentants
n’est plus
SAE
résultats, parfaitement explicites, s’appliquent
Soient
P1,...,Pk
P
les
éléments (z 1
matrice des
=
x-a
places
ou %
une
de la courbe
,...,z ) n de Lk
fi sur la base
place
au
de
R
K(x),
dessus de
P
tels que
de
A,
on
peut supposer
nécessairement
E
triangulaire.
de la manière suivante :
l’anneau de
et
S
sa
valuation,
le R-module libre des
On
prend pour A la
canonique de S. Les matrices M de l’algorithme sont les
de
la
matrice
E
du corollaire ; la matrice 6 correspond à la division
transposées
des éléments de la nouvelle base par la plus grande puissance de x-a qui les laissent dans S. En pratique, les coefficients de A sont représentés
par les premiers
termes de leur developpement de Puiseux.
REMARQUE.-
Bien que cette
> v Pi .(-D).
présentation
de
l’algorithme de Coates diffère de celle
donnée habituellement, elle correspond essentiellement aux mêmes calculs,
qui
mais assure que la modification faite en une place ne modifie pas les localisés aux
autres places. Par ailleurs un des problèmes dans l’utilisation de
l’algorithme de
Coates est la croissance de la taille des expressions intermédiaire ; l’adaptation
de l’algorithme de Kannan et Bachem, de complexité
polynomiale, devrait permettre
de contrôler cette croissance et de donner une version polynomiale de l’algorithme
est
de Coates.
CONCLUSION.
Nous n’avons pu donner ici que les grandes
entendu de nombreuses variantes. Nous n’avons pu
lignes de la méthode. Il y a bien
signaler que les principaux problèmes posés par la programmation ; au delà de
l’implantation et de l’optimisation des
algorithmes il vont jusqu’à la conception même des systèmes de calcul formel.
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Note.- Cette
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bibliographie
articles récents. Pour
est volontairement limitée aux résultats fondamentaux et
une
bibliographie détaillée,
se
reporter
au
livre de
Davenport.
Daniel LAZARD
Institut de Programmation
Université Pierre et Marie Curie
F-75230 PARIS CEDEX 05
LITP et GRECO de Calcul
308
Formel,
CNRS.