MORPHISMES ENTRE ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES ET

MHT 833 2010-2011 T.D.2: MORPHISMES ENTRE ENSEMBLES ALGÉBRIQUES
AFFINES ET APPLICATIONS RATIONNELLES
Comme toujours, k désigne un corps algébriquement clos.
Exercice 1: Soit f : V → W un morphisme d’ensembles algébriques affines. Montrer que f : V → W
induit un isomorphisme sur un sous-ensemble algébrique f (W ) ⊂ W si et seulement si le morphisme
de k-algèbres:
− ◦ f : k[W ] → k[V ]
est surjectif.
Exercice 2: Soit f, g : V → W deux morphismes d’ensembles algébriques affines. Montrer que
l’ensemble:
{x ∈ V | f (x) = g(x)}
est un sous-ensemble algébrique de V .
Exercice 3:
(1) On suppose que k est de caractéristique p > 0. Montrer que le morphisme de Frobenius
φ : A1k → A1k , t 7→ tp est un homéomorphisme mais pas un isomorphisme.
(2) Dans chacun des cas suivants, montrer que le morphisme φ : A1k → Ank a pour image un sousensemble algébrique fermé irréductible Vφ ⊂ Ank , pour lequel on déterminera I(Vφ ). Montrer
que φ : A1k → Ank induit un homéomorphisme φ : A1k → Vφ mais pas un isomorphisme. Montrer
par contre que φ : A1k → Vφ est birationnelle. Donnez l’inverse de φ : A1k → Vφ et son domaine
de définition.
(a) φ : A1k → A2k , t 7→ (t2 , t3 );
(b) (D.S. 2007-2008) φ : A1k → A3k , t 7→ (t2 , t2 (t2 − 1), t3 ).
Exercice 4:
(1) Soit V un ensemble algébrique affine. Montrer que pour tout f ∈ k[V ], l’ensemble:
D(f ) := {x ∈ V | f (x) 6= 0}
est un ensemble algébrique affine, que l’inclusion D(f ) ֒→ V est un morphisme d’ensembles
algébriques affines correspondant au morphisme de localisation:
k[V ] → K[V ]f .
GLn (k) est-il un ensemble algébrique affine?
1
M
2 HT 833 2010-2011 T.D.2: MORPHISMES ENTRE ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES ET APPLICATIONS RATIONNELLES
(2) On consière U := A2k \ {(0, 0)}. Montrer que l’anneau des fonctions f ∈ k(X, Y ) régulières sur
A2k \ {(0, 0)} est k[X, Y ] et en déduire que U ⊂ A2k n’est pas un ensemble algébrique affine.
Exercice 5:
(1) Soit A un anneau commutatif unitaire et S ⊂ A un sous-ensemble multiplicatif. Décrire les
idéaux, les idéaux premiers et les idéaux maximaux de S −1 A en fonction de ceux de A
(2) Soit V un ensemble algébrique affine.
(a) Montrer que pour tout x ∈ V (correspondant à un idéal maximal Px de k[V ]), l’anneau
K[V ]Px est intègre si et seulement si il ne passe qu’une seule composante irréductible par x.
(b) En déduire que si V est connexe et si pour tout x ∈ V , l’anneau K[V ]Px est intègre alors
V est irréductible.