Le 13-01-17 Devoir 5 Corrigé

Mathématiques classe de Tale ES – Devoir du 13 janvier 2017 . Eléments de correction
Exercice 1. (10 min)
Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ces stages ont lieu dans la même
plage horaire ; leurs thèmes sont la magie, le théâtre et la photo numérique.
150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l’un de ces stages. Parmi les 150 inscrits on relève que :
 La magie a été choisie par la moitié des enfants et 20 % des adultes ;
 27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10 % des enfants.
1)
Magie
Théâtre
Photo
TOTAL
Adultes
18
45
27
90
Enfants
30
24
6
60
TOTAL
48
69
33
150
2)
a. On cherche
60 0, 4
150
P A   . Donc la probabilité que la personne appelée soit un enfant vaut 0,4.
b. On cherche
27
0,3
90
A
P N   . Donc la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo, sachant que c’est
un adulte vaut 0,3.
C. On cherche
45
0,3
150
P A T   . Donc la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le
théâtre vaut 0,3
Exercice 2. (25 min)
On étudie le trafic sur un tronçon d’autoroute de contournement d’une grande ville.
On constate que la moitié des véhicules empruntant cette autoroute sont des camions et que 40 % sont des voitures
particulières. Les autres sont des motos.
La société exploitant cette autoroute propose des abonnements aux usagers. Parmi les conducteurs de voitures
particulières, 60 % n’ont pas souscrit d’abonnement. 20 % des conducteurs de motos et 20 % des conducteurs de
camions se sont abonnés.
Un véhicule se présente au péage. On note les événements suivants :
 M : « le véhicule est une moto »
 C : « le véhicule est un camion »
 V : « le véhicule est une voiture particulière»
 A : « le conducteur a souscrit un abonnement »
1)a)
voir ci
-
contre
b)
20 % des
conducteurs de motos se sont abonné
s
donc
(
)
0
,
2
2)a) On cherche (). Les événements C, V, M réalisent une partition de
l’univers donc
=
0,5 0,2 0, 4 0,4 0,1 0,2
0,28
P A P A C P A V P A M
Donc la probabilité que le conducteur arrivant au péage ait souscrit un
abonnement vaut 0,28
b) On cherche 
(). Par définition,
0,1 0,2 1
=0, 28 14
A
P A M
P M P A
Donc la probabilité que le véhicule soit une moto sachant que le
conducteur est un abonné
vaut
(soit environ 0,071)
3)a) La situation « un véhicule arrive au péage » correspond à une expérience de Bernoulli de paramètre p 0,28,
où un succès
est "le véhicule est celui d'un abonné" et un échec est "le véhicule n'est pas celui d'un abonné".
Les
0,5
0,4
0,1
C
V
M
A
0,8
0,2
A
0,8
0,2
A
0,6
0,4

véhicules arrivant de façon indépendante les uns des autres, l’arrivée de 4 véhicules au péage est donc un schéma
de Bernoulli de paramètres   4 et   0,28.
Autrement dit, la loi de probabilité de la variable aléatoire X correspondant au nombre de succès de ce schéma est
la loi binomiale (4 ; 0,28).
On cherche (  2) :
2 0,244 P X , donc la probabilité que deux véhicules exactement soient ceux de deux abonnés est d’environ
0,244.
b) On cherche
1 1 0 0,731    P X P X . Donc, la probabilité qu’au moins un véhicule soit celui d’un
abonné est d’environ 0,731.
4)a) 3,20  40,8 donc ce prix correspond à un camion dont le conducteur est abonné. On cherche donc
0,5 0,2 0,1   P A C . Et donc la probabilité que le conducteur paie exactement 3,20 € vaut 0,1.
b)
1,6
2
2,8
3,2
3,5
4
0,02
0,08
0,16
0,1
0,24
0,4
c) On cherche
0,02 1,6 0,08 2 0,16 2,8 0,1 3,2 0,24 3,5 0,4 4 3,4            E S . Donc la somme payée
en moyenne par véhicule quand un grand nombre de véhicules se présente au péage est de 3,4 €.
Exercice 3.
1) a. voir ci-contre.
b. On cherche
C
p C A p C p A   . Donc
0,8
4
6 4
p C A p x
x
x
2) On cherche
p A
, d’après la formule des probabilités totales,
40, 2 1
6 4
4, 2 0,8
6 4
CC
p A p C p A p C p A
xp x
x
x
x
On en déduit que
4, 2 0,8
6 4
x
q x x
3) a.  est dérivable sur son ensemble de définition en tant que fonction rationnelle. Pour tout réel
0
x
, on a
2 2
12 3
'
6 4 3 2
q x x x
donc
' 0q x  d’où q est strictement croissante sur 0;   .
b.
4, 2 0,8
0,5 0,5
6 4
4,2 0,8 0,5 6 4 (car 6 4>0)
1
x
q x x
x x x
x
Cela signifie que en-dessous de 1 semaine de publicité, la probabilité qu’une personne achète le produit est
inférieure à 0,5.