Exercices : Optique

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Exercices : Optique
Optique géomètrique
OP003 : fibre optique.
On considère ici une fibre d’indices : dans la gaine n
g
= 1,45 ; dans
le cœur n
c
= 1,46.
Voici un extrait d’un article décrivant le transfert d’information
dans une fibre optique :
« Les rayons lumineux d'inclinaisons différentes n'ont pas le même
chemin à parcourir dans la fibre, donc leur temps de parcours est
variable.
Une impulsion lumineuse de courte durée envoyée dans la fibre subit un élargissement temporel lorsqu'elle
ressortira de celle-ci. Ceci limite rapidement le taux maximal de transfert d'informations à grande distance par ce
type de fibre ».
1.- Calculer l’élargissement temporel de cette fibre de longueur L.
2- Quel nombre d'informations peut transférer une telle fibre par unité de temps ?
A.N.: L = 1 m , 100m, 10 km
OP011 : Utilisation d'un viseur
Un viseur est constitué d'un oculaire et d'un objectif de distances focales respectives 1 cm et 8 cm. Une réglette
graduée au demi-millimètre est placée dans le plan focal objet de l'oculaire. La distance oculaire-objectif est e =
10 cm.
a) L’œil voit net sans accommoder l'image d'un objet situé à une distance d de l'objectif. Calculer d.
b) Quelle est la taille de l'objet si la taille de l'image, lue sur la réglette, vaut 5 mm ?
OP012 : Lunette de Galilée
Une lunette de Galilée est constituée d'une première lentille mince convergente L
1
, appelée objectif, de distance
focale f'
1
= 0,3 m et d'une seconde lentille mince divergente L
2
, appelée oculaire, de distance focale f'2 = -0,12 m.
Ces lentilles sont distantes de 0,22 m.
1- Construire l'image par ce système d'un objet situé à l'infini vu sous le diamètre apparent α (faisceau incident
parallèle, incliné par rapport à l'axe optique d'un angle α). On appellera A
1
B
1
l'image de l'objet AB par la
lentille L
1
; A'B' est alors l'image par L
2
de A
1
B
1
.
2- Retrouver par le calcul les caractéristiques de l'image A'B' par la lunette de Galilée.
3- On dit que la lunette est réglée lorsque le foyer image f'
1
de l'objectif coïncide avec le foyer objet de l'oculaire.
faire la construction optique correspondante. Quels sont, à votre avis, les avantages d'une telle situation ? Le
système est alors dit "afocal". Justifier.
OP015 : Initiation à la photographie
Dans tout le problème, on se placera dans l'approximation de Gauss.
Les lentilles, considérées minces, seront désignées par la lettre L, leurs foyers objet et image étant respectivement F et
F', leur centre optique O, leur distance focale f' et leur vergence c.
On notera A et A' respectivement, le couple de points conjugués objet et image.
Un appareil photographique est constitué d'une lentille mince de vergence c
1
=+20 δ qui donne sur la cellule CCD
une image nette de l'objet photographié.
1-1 Quelle est la distance entre l'objectif et le récepteur CCD pour photographier une montagne de 500 m de haut
située à 10 km ?
1-2 Quelle est la taille de l'image de la montagne sur le récepteur CCD ?
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2-1 Quelle est la distance entre l'objectif et le récepteur CCD pour photographier une fleur de 0,1 m de haut située à 1
m de l’objectif ?
2-2 Quelle est la taille de l'image de la fleur sur la pellicule ?
3- On appelle tirage la distance dont on a déplacé l'objectif par rapport au récepteur CCD par rapport au cas de la mise
au point sur un objet à l’infini. Calculer le tirage lors de la photographie de la fleur.
4- Dans des bonnes conditions d'éclairage, l'œil ne peut séparer deux détails que s'il les voit sous un angle supérieur à α
= 3.10
–4
rad . Quelle est la taille du plus petit détail qu'il peut discerner sur une photographie située à 25 cm de son œil
?
5- Même question en regardant la photographie à travers une lentille de vergence +50 dioptries placée à 2 cm d'elle ?
6- On suppose la mise au point faite sur l'infini.
L'objectif possède un diaphragme à iris d'ouverture réglable, placé contre la lentille. Son diamètre D s'exprime en
fonction de la distance focale f' et de l'ouverture n suivant la relation D = f’/n.
Le récepteur CCD est constitué de pixels assimilables à des carrés de côté a = 4 µm.
Déterminer l'ensemble des positions d'un objet A sur l'axe optique donnant une image aussi nette que pour un point à
l'infini. Application numérique : Calculer la distance minimale de cet objet au centre optique, l'ouverture étant n = 16.
7- On appelle limite de résolution, la distance minimale de deux objets A et B dans un plan perpendiculaire à l'axe, dont
les images A' et B’ sont distinctes sur la pellicule. Cette distance A'B' doit être supérieure au grain de la pellicule a.
Déterminer cette limite en fonction de a, f',
AF
.
Application numérique : Comment placer l'objectif par rapport à A pour que cette limite de résolution soit la plus faible
possible. La calculer.
OP017 : Introduction au microscope
Un microscope simplifié est constitué de deux lentilles minces convergentes : une lentille d'entrée L
l
(objectif) et
une lentille L
2
(oculaire). Leurs distances focales respectives sont f’
1
= 5 mm et f’
2
= 20 mm. La distance ∆
séparant le foyer image de L
1
et le foyer objet de L
2
est appelé intervalle optique.
On prendra ici ∆ =
21
FF = 17 mm.
Le microscope est réglé de manière à limiter la fatigue visuelle de l'utilisateur : l'image A'B' définitive se situe
donc à l'infini. L’œil de l'observateur est proche du foyer image de l'oculaire.
a) En utilisant les relations de conjugaison déterminer la position de l'objet à observer.
b) Faire une construction géométrique soignée pour un objet AB perpendiculaire à l'axe optique et tracer la
marche d'un faisceau lumineux issu de B.
c) Calculer le grandissement de l'objectif
d) Exprimer l'angle α' sous lequel est vue l'image définitive en fonction de A, f’
1
, f’
2
et AB.
e) L'observation à l’œil nu de l'objet à la distance minimale de vision nette d
m
= 25 cm est faite sous un angle α.
Déterminer le grossissement commercial G
e
= α’/α du microscope. En déduire la puissance intrinsèque du
microscope définie par le rapport G
e
/d
m
O
(D)
A
Cellule réceptrice

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f) Résolution de problème :
Le virus de la fièvre jaune a un diamètre de 0,02 µm.
Peut-on l’observer à l’aide du microscope ci-dessous ?
OP024 : Prisme
On considère un prisme en flint, d'indice n, d'angle au sommet A
= 60°, placé dans l'air et éclairé par un faisceau de lumière
parallèle, issu d'une lampe à vapeur de mercure (source de lumière
blanche). Un rayon incident pénétrant dans le milieu sous l'angle
i
émerge suivant l'angle
i
′
. Soit
r
et
r
′
les angles d'émergence
et d'incidence respectivement sur les faces d'entrée et de sortie du
prisme, et soit D l'angle de déviation entre rayon incident et
rayon transmis (voir figure ci-contre).
1) Donner les relations fondamentales liant les angles valables pour
cette expérience.
2) Concernant le faisceau transmis par le prisme,la longueur d'onde correspondant la couleur rouge sera-t-elle plus déviée
que celle à correspondant à la couleur verte ?
On rappelle la loi de Cauchy donnant la variation de l’indice du verre n en fonction de la longueur d’onde λ .
1
0
2
( )
n
n n λ
λ
= +
3) On suppose que la déviation passe par un minimum noté D
m
pour les angles
i
et
i
′
égaux.
Montrer que l’indice n du prisme s’écrit alors :
sin 2
sin 2
m
D A
nA
+
=
En déduire n pour une msure de D
m
= 48,20°
5) Sachant que l'incertitude de mesure de l'angle au sommet A et de l'angle
m
D
est de 1 minute d'angle, déterminer
l'incertitude sur n. (on pourra utiliser le logiciel GUM vu en TP)
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Interférences par division du front d’onde
OP111 :Interférences avec deux miroirs parallèles
On considère le montage représenté ci-dessous.
M
1
et M
2
sont des miroirs plans distants de 2l. S et S' sont des sources ponctuelles monochromatiques,
distantes de 2a , de même longueur d'onde et de même intensité.
L'écran opaque E supprime la lumière directe. Déterminer l'intensité lumineuse I(x) sur l'écran, ainsi que le
contraste des franges.
OP113 :Intensité lumineuse donnée par des fentes de YOUNG éclairées par une
source large
Une fente source de largeur b, monochromatique (longueur d'onde ) est placée à une distance l, dans le plan
médiateur de deux fentes de YOUNG F
1
et F
2
distantes de a.
L'écran est situé à la distance D de F
1
F
2
.
Données : = 589 nm ; l = 50 cm ; a = l mm ; D = 2 m.
Étudier l'éclairement de l'écran. Retrouver la longueur de cohérence spatiale l
s
du système.
Que se passe-t-il si b «l
s
; b=l
s
; b » l
s
?
OPT 119 : Résolution interférentielle d’une étoile double.
Une lunette astronomique est formée d’un objectif assimilé ici à une lentille mince convergente de distance focale
f
0
= 1 m et d’un oculaire qui permet de voir ce qui se passe dans son plan focal image. On vise une étoile dont
l’image se trouve au foyer F’. On place devant l’objectif un écran opaque pourvu de deux fentes F
1
et F
2
, parallèles
et très fines séparées par une distance réglable e = F
1
F
2
. La lumière de l’étoile est filtrée, elle est
monochromatique de longueur d’onde λ (voir figure ci-dessous).
1) Décrire ce qu’on observe dans le plan focal et calculer l’interfrange pour λ = 0, 6 µm et e = 6 mm. Que se
passe-t-il si e varie ?
2) En réalité, l’étoile est double, constituée de deux étoiles distantes angulairement de ε, supposées de même
intensité.
2-a) Où se forme l’image de la seconde étoile ? Quel système d’interférences observerait-on s’il n’y avait que la
seconde étoile?
2-b) Quel éclairement observe-t-on avec l’´etoile double et pour quelle(s) valeur(s) de e les franges disparaissent-
elles ?
2-c) Expérimentalement, la plus petite valeur est e
m
= 0, 52 mm; calculer ε.
3) En réalité pour e = e
m
, les franges ne disparaissent pas, mais leur contraste est minimal et vaut alors γ
m
= 0, 1.
Quelle hypothèse faut-il remettre en question ? Que peut-on en déduire quantitativement ?

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OPT 122 : Etude des franges du miroir de Lloyd
On réalise l’expérience du miroir de Lloy d . La source lumineuse S est située à la distance a du plan du
miroir. On réalise une observation en un point M situé sur un écran placé à grande distance D de S, repèré par
la coordonnée x.
1. La source S est monochromatique (de longueur d’onde λ) et ponctuelle. On a d m e t que la réflexion de la
lumière sur le miroir s’accompagne, dans les conditions de polarisation utilisées ici, d’un déphasage de π.
1.a) Déterminer l’éclairement et le contraste en M . Déterminer l’interfrange i et la nature de la frange en
O. Pourquoi cette frange est-elle fictive ?
1.b) Montrer qu’on peut remplacer S par une fente très fine mais assez longue sans changer la nature de
l’interférogramme. On précisera la disposition de cette fente.
2. On remplace S par une telle fente, très longue mais de largeur finie s. Déterminer l’éclairement et le
contraste en M. Commenter.
3. S est à nouveau très fine mais émet dans un spectre continu de longueurs d’onde λ ou de nombres d’onde
σ
λ
1
=
avec l’intensité lumineuse émise par unité de nombre d’onde :
σ
d
dI
= I
0
si σ
∆
+
∆
−∈ 2 ,
2
00
σ
σ
σ
σ
Et
σ
d
dI
= 0 sinon
Déterminer l’éclairement et le contraste en M.
4. Qu’observe-t-on en lumière blanche ?
OPT 132 : Détecteur interférométrique de concentration
Le faisceau émis par une source S monochromatique de longueur d'onde λ
0
= 590 nm est dédoublé par une lame
semi-réfléchissante (La) en deux faisceaux qui sont injectés dans deux fibres optiques. Les rayons lumineux guidés
par ces fibres traversent deux cuves transparentes C
1
et C
2
identiques et sortent de la fibre optique en deux points
S
1
et S
2
tels que S
1
S
2
= a.
Un écran d'observation est disposé parallèlement à l'axe S
1
S
2
à distance D >> a de celui-ci.
Le dispositif (présenté figure 1) est réglé de telle manière que les chemins optiques (SS
1
) et (SS
2
) sont
rigoureusement identiques lorsque les cuves sont vides.
Figure 1 - Dispositif interférométrique de concentration
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1) Les cuves sont remplies d'air dans les conditions standard de température et de pression ; on note n
1
l'indice
de l'air dans ces conditions supposées réalisées à l'extérieur des cuves aussi. Donner une expression de l'intensité
I(x) observée sur l'écran au voisinage de O en fonction de sa valeur moyenne I
m
, de x et d'une interfrange i que
l'on exprimera en fonction des paramètres du problème.
2) Dans la cuve C
2
on remplace progressivement tout l'air par du monoxyde carbone CO d'indice optique n
2
. On
constate que lors de ce remplacement les franges se déplacent vers le haut.
2-a)
Quel est le signe de n
2
- n
1
?
2-b) Soit n l'indice du mélange en cours de remplissage. Donner l'expression de l'intensité I(x) au cours du
remplissage en fonction de I
m
, x, n
i
, n et L (longueur intérieure des cuves).
2-c) On note que 70 ± 1 franges passent en O au cours de l'expérience. Sachant que L = 1,00 m et n
i
= 1,
0002926, calculer n
2
et évaluer l'incertitude sur le résultat.
3) C
1
et C
2
étant à nouveau remplies d'air, on introduit dans C
2
une petite quantité de CO. On admet que la
variation d'indice est proportionnelle à la fraction molaire ζ de CO dans celui-ci ; l'indice du mélange est donc : n
= n
1
+ (n
2
—n
1
) ζ
.
Calculer la plus petite fraction molaire ζ
min
de CO détectable dans l'hypothèse où le plus petit déplacement
décelable des franges est égal à i/ 10.

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Interférences par division d’amplitude
OP205 : Mesure de distance
Un interféromètre de Michelson est réglé en coin d'air, et la distance relative e entre les miroirs est initialement
nulle. L'interféromètre est éclairé par une lumière monochromatique, provenant d'un laser, de longueur d'onde λ =
632,8 nm. Pour mesurer avec précision la position d'un objet mobile en translation, on le rend solidaire d'un des
deux miroirs du Michelson.
a) Expliquer comment obtenir e = 0 avec cette source.
b)Comment observer sur un écran des franges (d'égale épaisseur) sans aucun grandissement (l'interféromètre est
réglé en coin d'air) ? Ecrire la forme de l'intensité observée sur l'écran, en appelant I
0
l'intensité obtenue sur
l'écran lorsqu'un des miroirs est occulté. On prend α = 20", que vaut l’interfrange.
c) L'un des deux miroirs est déplacé d'une distance e. Décrire ce qui se passe sur l'écran. Sachant que chaque
mesure sur l'écran est effectuée à un quart d'interfrange près, quelle est la précision de la mesure sur e ? Peut-on
à partir des aspects initial et final de l'écran, en déduire e ?
d) La source de lumière est désormais une lampe blanche. Que se passe-t-il quand l'un des deux miroirs est
translaté ? Peut-on se contenter des aspects initial et final de l'écran pour mesurer e ?
e) Vaut-il mieux, pour mesurer le déplacement du miroir, utiliser comme source un laser ou une lumière blanche ?
On rappelle que la longueur de cohérence temporelle d'une lumière blanche est très inférieure à celle d'un laser, et
en conséquence, on n'observe que quelques franges avec cette source lumineuse.
OP209 : Interféromètre de MACH
Cet interféromètre est représenté en coupe ci-dessous.
1) I
0
étant l'intensité de la source, quelle est l'intensité des deux ondes qui interfèrent ?
2) La source monochromatique (S) de longueur d’onde λ, est au foyer de la lentille L
1
, l'appareil est réglé comme
indiqué ci-dessus. Un viseur, situé en sortie de l'appareil, permet d'observer l'image du plan P. Qu'observe-t-on ?
3) On place sur le plan P une petite lame carrée d'indice n, à faces parallèles d'épaisseur e. Que voit-on sur l'écran
? Calculer le contraste défini ici par :
max
minmax
I
II −
=Γ
4) Pour déceler de très faibles variations de phase, il est préférable d'opérer sur fond noir. Pourquoi ?
La séparatrice C peut subir une translation suivant CD. Quelle valeur faut-il donner à cette translation pour que
l'écran soit noir en l'absence de lame ?
5) La lame étant enlevée, on tourne le miroir D d'un petit angle . Décrire le système de franges obtenu.
Déterminer si l'interfrange est de 0,25 mm pour = 0,5 µm . Que se passe-t-il si on introduit à nouveau la lame
à faces parallèles ?
6) Expliquer pourquoi la frange centrale (p = 0) ne peut se repérer qu'en lumière blanche. Le viseur est muni d'un
oculaire micrométique. En lumière blanche, le décrochement de la frange centrale due à la lame correspond à 89
divisions. En lumière monochromatique ( = 0,5 µm), l'interfrange est mesurée par 5 divisions. En déduire
l'épaisseur de la lame, d'indice n = 1,5.
OP214 : Diminution du contraste due à la taille finie du détecteur
Un interféromètre de Michelson est réglé en lame d'air, et éclairé par une source étendue monochromatique
de fréquence ν
0
. On place un écran au foyer image d'une lentille convergente de focale f ' .
a) Donner la forme de l
'
intensité I(i) sur l
'
écran, où i est l
'
inclinaison des rayons interférant en M . On
appelle I
0
l'intensité en M quand on occulte l'un des miroirs, et on note e la distance relative entre les
miroirs. Quel est le contraste ?
b) On place un détecteur lumineux ponctuel au foyer image de la lentille. Ce détecteur délivre une tension
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proportionnelle à l'intensité lumineuse qu'il reçoit. On fait alors varier linéairement au cours du temps la
distance entre les miroirs. Décrire l'évolution de la tension de sortie du détecteur.
c) En fait, le détecteur n'est pas ponctuel, mais a la forme d'un disque vu sous un angle 2i
0
<< 1 depuis le
centre de la lentille. Il est en fait sensible à la puissance lumineuse totale qu'il reçoit. Justifier que cette
dernière est proportionnelle à l'intégrale sur la surface du détecteur de l'intensité lumineuse.
d) Exprimer l'aire élémentaire du détecteur comprise entre r et r + dr (r est la distance à l'axe optique) et
vue depuis le centre de la lentille entre les angles i et i + di.
e) Donner alors la forme de la tension délivrée par le détecteur quand la distance entre les miroirs varie.
Quelle est la différence avec un détecteur ponctuel ?
OPT 216 : Spectre cannelé.
On éclaire un interféromètre de Michelson règlé en lame d’air d’épaisseur x avec une source à l’infini ; observe-t-on
des interférences ? La source émet de la lumière blanche et l’on disperse la lumière émergente par un prisme ou un
réseau de diffraction ; on observe un «spectre cannelé». Expliquer ce que cela veut dire. Quelles sont les
radiations visibles absentes du spectre pour x=2 µm?
OPT 218 : Mesure de l’indice de l’air.
Sur l’un des bras d’un interféromètre de Michelson monté en lame d’air, on intercale une cellule
d’épaisseur e = 0, 8 cm traversée normalement par la lumière monochromatique avec λ = 638
nm. On fait progressivement le vide dans la cellule et on enregistre l’éclairement en fonction du
temps au centre de la figure d’interférences.
On relève la courbe de la figure ci-dessous. Interpréter et en déduire l’écart n−1 entre l’indice
de l’air et celui du vide.
OPT 220 : Anneaux de Haidinger
On considère un interféromètre de Michelson règlé en lame d’air (on appellera M
1
le miroir mobile et M
2
).
Il est éclairé par la raie verte de la lampe à vapeur de mercure de longueur d’onde λ = 546,1 nm.
L’épaisseur de la lame d’air constituée est e, elle est très voisine de 1 cm.
1. Décrire un tel interféromètre.
2. En admettant qu’il y ait au centre un maximum d’intensité lumineuse, calculer les rayons des 4
premiers anneaux brillants dans le plan focal d’un objectif de focal 1 m.
3. Calculer la longueur d’onde λ’ qui provoquerait un déplacement des anneaux d’une frange vers
l’extérieur de la figure. Que pensez-vous de la valeur trouvée ?
On éclaire maintenant avec uniquement la raie verte du mercure l’interféromètre réglé au contact optique.
4. Décrire la figure d’interférences. En fait, à la suite d’une mauvaise manipulation, le miroir M
2

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présente une légère déformation au niveau de son centre. Cette déformation est modélisée par une
calotte sphérique de rayon R = 10 m.
5. Expliquer pourquoi la figure d’interférences est à nouveau constituée d’anneaux. Calculer les rayons
des 4 premiers anneaux brillants.
OPT 221 : Mesure de l’épaisseur d’une mince lame de verre
Un interféromètre de Michelson est réglé avec ses miroirs exactement perpendiculaires. Le faisceau incident
issu d’une source primaire étendue S est monochromatique (λ = 500 nm). A partir de la situation où on
est au contact optique, on déplace le miroir M
2
de 1 mm normalement à son plan.
1.
´
Etudier les phénomènes d’interférences qui apparaissent au voisinage de l’incidence normale, dans le plan
focal d’une lentille convergente. Déterminer la phase au centre et l’ordre d’interférence du 2ème anneau
sombre.
2. On place sur l’un des bras une lame mince d’épaisseur t = 7, 5 µm et d’indice n = 1,50. Trouver
la variation de l’ordre d’interférence au centre.
3. On remplace la source primaire par une source ponctuelle, placée au foyer d’une lentille mince
convergente. Initialement les deux miroirs sont perpendiculaires et au contact optique.
Qu’observe-t-on au foyer image de la seconde lentille lorsqu’on éloigne M
2
de la lame séparatrice ?
4. A quelle condition et comment peut-on mesurer l’épaisseur de la lame de verre ?
OP223 :Michelson en coin d'air
On utilise l'interféromètre de Michelson monté en coin d'air avec un angle α = 1.10
-3
rad et éclairé par une
source monochromatique de longueur d'onde λ = 683 nm
1) Faire un schéma du dispositif expérimental permettant l'observation des interférences avec un
maximum de luminosité. Décrire ce que l'on observe et établir l'expression de l'interfrange.
2) On dispose de deux lentilles de focale f' = +20 cm. A quelle distance des miroirs faut il placer l'écran
pour observer un interfrange de 3 mm sur l'écran ?
OPT 225: Etude des anneaux de Newton
On réalise un dispositif interférentiel en disposant, sur un miroir plan, une lentille de verre plan–convexe (L)
dont la face en contact avec le miroir (M) a pour rayon de courbure R = 1 m. Ce dispositif est éclairé (au
travers d’une lame semi–réfléchissante) par un faisceau parallèle, cylindrique, de rayon r = 2 cm. On observe
les interférences à l’infini. entre les rayon réfléchis sur la surface convexe de la lentille et les rayons réfléchis par le
miroir plan.
La réflexion sur un miroir entraîne une différence de marche supplémentaire de λ/2.
1 . On remarque que r « R. Quelle hypothèse simplificatrice peut–on en déduire quant à la direction des
faisceaux réfléchis sur ( M ) et sur la face inférieure de ( L ) ?
En déduire l’expression de la différence de marche, puis le nombre d’anneaux observables.
Application numérique : λ = 589 nm.
2. La source émet en fait deux radiations (raies D du Sodium) de longueurs d’onde voisines 589,0 nm et
589,6 nm. Observe-t-on un brouillage des franges ?
3. Même question si on soulève ( L ) d’une hauteur z au dessus du miroir. On calculera la première
valeur de z assurant un brouillage au centre et on étudiera l’aspect de la figure sur toute son étendue
pour cette même valeur de z.
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Les réseaux
OP408 :
OP409 :