PHQ601 Physique Quantique 2

PHQ601 Physique Quantique 2
23 décembre 2008
Autiwa
2
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1
Résumé de Mécanique Ondulatoire
1.1
1.2
1.3
1.4
2
Densité de probabilité de Présence
Paquet D'onde . . . . . . . . . . .
Équation de Schrödinger . . . . . .
Théorème D'Erhenfest . . . . . . .
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L'Espace des États
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
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Opérateurs linéaires
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
5
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4
3.1 Bra et Ket . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Kets . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Bras . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Relation entre bra et ket .
3.2 Bases Orthonormées Discrètes . .
3.3 Bases Orthonormées Continues .
4
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Bases
2.1 Bases Orthonormées Discrètes .
2.2 Bases Orthonormées Continues
2.2.1 La distribution de Dirac
2.2.2 Ondes Planes . . . . . .
2.2.3 Les fonctions delta . . .
3
4
Dénition . . . . . . . . . . . . . .
Action d'un opérateur sur un bra .
Valeurs propres et vecteurs propres
Opérateur adjoint . . . . . . . . . .
Hermiticité . . . . . . . . . . . . .
Commutateurs . . . . . . . . . . .
Opérateur position . . . . . . . . .
Opérateur Impulsion . . . . . . . .
5
5
6
6
6
6
7
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Postulats de la mécanique quantique
5.1 Postulats de représentation . . . . . . . . . . .
5.1.1 1e postulat . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 2e postulat . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Postulats de mesure . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 3e postulat . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 4e postulat . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 5e postulat . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Postulat d'évolution . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Valeur Moyenne d'une observable . . . .
5.3.2 6e postulat . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Cas des systèmes conservatifs . . . . . .
5.3.4 Résolution de l'équation de schrödinger
5.3.5 Méthode de résolution . . . . . . . . . .
5.4 Règles de quantication . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
8
8
8
9
9
9
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9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
11
11
11
TABLE DES MATIÈRES
3
6
L'Oscillateur Harmonique
12
7
Moment Cinétique
12
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
8
Moment Cinétique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Détermination du spectre du moment cinétique total et de
Harmoniques Sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spin de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transition entre deux états . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
sa projection sur z
. . . . . . . . . . .
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Méthode des perturbations
8.1 Correction d'ordre 1 pour un niveau non dégénéré
8.1.1 Correction de l'énergie . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Correction de l'état propre . . . . . . . . .
8.2 Correction à l'ordre 2 pour un niveau non dégénéré
8.2.1 Correction de l'énergie . . . . . . . . . . . .
12
13
13
14
15
15
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16
16
16
16
16
4
1
Résumé de Mécanique Ondulatoire
1.1 Densité de probabilité de Présence
→
→
−
− 2
ψ( r , t) = ρ( r , t)
˚
→
−
→
− →
−
(ψ, ϕ) =
ψ ∗ ( r )ϕ(t r ) d r
(1.1)
(1.2)
1.2 Paquet D'onde
à t xé
→
−
1
ψ( r ) = √
3
2π~
˚
→
−
”p”
→
−
− →
−
→
− i→
p.r
/~ 3
ψ̃( p )e
d r
(1.3)
→
−
où ψ̃( p ) est la transformée de Fourier inverse de ψ( r ) :
→
−
1
ψ̃( p ) = √
3
2π~
˚
→
− →
−
→
−
ip.r
/~ 3
ψ( r )e−
d r
espace
1.3 Équation de Schrödinger


→
−
→
−  →
−
 ~
∆ + V ( r ) ψ( r , t) = i~ ∂ ψ(∂tr ,t)
−
| 2m {z
}
2
(1.4)
H
1.4 Théorème D'Erhenfest
dhAi
dt
2
=
1
h[A, H]i + ∂∂tA
i~
(1.5)
Bases
2.1 Bases Orthonormées Discrètes
ψ=
X
αi ui
(2.1a)
i
(ui , uj ) = δij
αi = (ui , ψ)
(2.1b)
(2.1c)
3 L'ESPACE DES ÉTATS
5
2.2 Bases Orthonormées Continues
2.2.1
La distribution de Dirac
δ(x) =
1
2π
ˆ
+∞
(2.2)
eipx dp
−∞
Propriétées :
ˆ
+∞
(2.3a)
f (x)δ(x − x0 ) dx = f (x0 )
−∞
δ(ax) =
2.2.2
1
δ(x)
|a|
(2.3b)
Ondes Planes
→
−
ψ( r ) =
˚
→
−
”p”
→
−
→
− 3
−( r )d r
ψ̃( p )v→
p
(2.4)
→
−
−,ψ
ψ̃( p ) = v→
p
→
− →
−
− , v→
−0
v→
= δ( p − p0 )
p
p
2.2.3
(2.5)
(2.6)
Les fonctions delta
→
−
ψ( r ) =
˚
espace
→
− →
− →
−
ψ( r0 )δ( r − r0 ) d3 r
(2.7)
On pose :
→
−
→
− →
−
→ ( r ) = δ( r − r0 )
W−
r0
→
−
→, ψ
ψ( r0 ) = W−
r0
→
− →
−
→ , W−
→
W−
= δ( r0 − r00 )
r0
r0
(2.8)
(2.9)
0
3
L'Espace des États
3.1 Bra et Ket
On appelle E l'espace des états .
3.1.1
Kets
Tout élément de E est appelé vecteur-ket ou plus simplement ket. On le note |i en mettant à l'intérieur
un signe distinctif permettant d'identier ce que caractérise l'état.
→
−
On dénit l'espace Er , des états d'une particule en associant à toute fonction de carré sommable ψ( r )
un vecteur-ket |ψi de Er
→
−
Insistons sur le fait qu'il n'apparaît plus dans |ψi de dépendance par rapport à r , mais seulement
→
−
la lettre ψ qui rappelle à quelle fonction il est associé : ψ( r ) sera interprété comme l'ensemble des
→
−
composantes du ket |ψi sur une base particulière, r jouant le rôle d'un indice.
6
3.2 Bases Orthonormées Discrètes
3.1.2
Bras
Une fonctionnelle linéaire χ est une opération linéaire qui, à tout ket |ψi ∈ E associe un nombre
complexe :
|ψi ∈ E −→ nombre χ(|ψi)
(3.1)
χ
L'ensemble des fonctionnelles linéaires dénies sur les kets |ψi ∈ E constitue un espace vectoriel que
l'on appelle espace dual de E et que l'on note E ∗
Un élément de E ∗ est appelé vecteur-bra ou plus simplement bra. On le note h|
On utilise la notation hχ|ψi pour désigner le nombre obtenu en faisant agir la fonctionnelle hχ| ∈ E ∗
sur le ket |ψi ∈ E :
(3.2)
χ(|ψi) = hχ|ψi
3.1.3
Relation entre bra et ket
hψ|ϕi = (|ψi , |ϕi)
∗
λ1 |ϕ1 i + λ2 |ϕ2 i =⇒
∗
λ1 hϕ1 | + λ2 hϕ2 |
(3.3a)
(3.3b)
3.2 Bases Orthonormées Discrètes
(3.4)
hui |uj i = δij
X
|ui i hui | = 1
Relation de Fermeture
(3.5)
i
3.3 Bases Orthonormées Continues
ˆ
|xi hx| dx = 1
D→
− →
−E
→
− →
−
p p0 = δ( p − p0 )
Relation de Fermeture
(3.6)
(3.7)
Pour projeter un ket sur une base, on part du ket et on insère la relation de fermeture (3.6) :
ˆ
|ψi =
|xi hx| dx |ψi
ˆ
=
hx|ψi |xi dx
Ainsi, pour calculer la norme d'un ket :
ˆ
hψ|ψi = hψ| hx|ψi |xi dx
ˆ
= hψ|xi hx|ψi dx
| {z } | {z }
ψ ∗ (x)
ψ(x)
(3.8)
4 OPÉRATEURS LINÉAIRES
4
7
Opérateurs linéaires
4.1 Dénition
Soit un opérateur linéaire A. Pour une question de commodité de calculs, on cherche à trouver la
matrice de l'opérateur.
Pour ce faire, on exprime en colonne, les images des vecteurs de la base par cet opérateur. Par exemple,
dans un espace à 3 dimensions de base {|u1 i , |u2 i , |u3 i} et pour un opérateur A qui agit de la manière
suivante sur les vecteurs de base :
A |u1 i = a1 |u1 i + a2 |u2 i + a3 |u3 i
A |u2 i = b1 |u1 i + b2 |u2 i + b3 |u3 i
A |u3 i = c1 |u1 i + c2 |u2 i + c3 |u3 i

a1
a2
a3
b1
b2
b3

c1
c2 
c3
4.2 Action d'un opérateur sur un bra
hϕ|
A
−→A|ψi−→
|ψi −−−−−−−→
hϕ| (A |ψi) = hϕ| A |ψi
hϕ|A
A
hϕ| −→
hϕ| A
4.3 Valeurs propres et vecteurs propres
Soit A un opérateur. Soit λ une
On a la relation suivante :
valeur propre ,
et |λi le (ou l'un des)
vecteur(s) propre(s)
A |λi = λ |λi

a11
Soit une matrice A = a21
a31
On calcule det A − λI = 0.
a12
a22
a32
(4.1)

a13
a23 
a33
a11 − λ
a21
a31
Les racines sont les valeurs
associés.
propres
a12
a22 − λ
a32
a13 a23 = 0
a33 − λ
(4.2)
de la matrice A.
 
x
Pour chaque valeur propre λi on pose la matrice A − λi I et soit un vecteur V = y  , et on cherche
z
à résoudre (A − λi I) V = 0 :

a11 − λi
 a21
a31
a12
a22 − λi
a32
   
a13
x
0
a23  y  = 0
a33 − λi
z
0
(4.3)
Ceci nous donne un système de 3 équations à 3 inconnues. Ce système peut (doit ?) être lié, et cette
incapacité à déterminer exactement les inconnues nous incite à en exprimer une ou plusieurs en fonction
des autres. Ces relations, que l'on exprimera commodément en exprimant y et z en fonction de x 1 nous
1. Quand celà est simple c'est souvent le plus pratique
8
4.4 Opérateur adjoint
permettent de trouver des vecteurs qui seront les
vecteurs propres
associé à la valeur propre λi .
4.4 Opérateur adjoint
A+ est l'opérateur
adjoint
de A si
déf
(A+ |ψ2 i , |ψ1 i)
(|ψ1 i , A |ψ2 i) =
+
hψ1 | A |ψ2 i = hψ2 | A |ψ1 i
+
(AB) = B + A+
Pour calculer l'adjoint d'un opérateur, il sut de prendre la transposée 2 de la matrice. Puis de prendre
le conjugué 3 de celle-ci.
A+ = (t A)
(4.4)
∗
4.5 Hermiticité
Un
opérateur
A est dit
hermitique
si A = A+ . On dit aussi que c'est un opérateur
auto-adjoint
Pour qu'un opérateur soit hermitique il faut que les valeurs diagonales de sa matrice soient réelles
et que les autres valeurs soient respectivement les conjugués de leur valeur symétrique par rapport à la
diagonale.
Par exemple :

r11
c21
c31
c12
r22
c32

c13
c23 
r33
(4.5)
avec ∀i ∈ [[1, 3]], rii ∈ R et ∀(i, j) ∈ [[1, 3]]2 , i 6= j , cij ∈ C
Propriétés :
Les valeurs propres d'un opérateur hermitique sont réelles.
Deux vecteurs propres associés à des valeurs propres diérentes sont orthogonaux.
4.6 Commutateurs
On appelle commutateur de A et B l'opérateur noté [A, B] dénit de la façon suivante :
[A, B] = AB − BA
[A, BC] = [A, B] C + B [A, C]
(4.6)
(4.7)
Quelques commutateurs usuels :
∀i ∈ {x, y, z}, [P 2 , Pi ] = 0
[X, Px ] = i~
2. La transposée d'une matrice
(Aij )
est la matrice
tA
= (Aji ).
(4.8)
(4.9)
On inverse dont simplement les lignes et les colonnes.
3. On prend le conjugué complexe de chaque élément de la matrice. un élément de la matrice
z = a+ib devient z ∗ = a−ib
5 POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
9
4.7 Opérateur position X
|xi vecteur propre de X avec pour valeur propre x représente l'état quantique d'une particule exactement localisée en x
X̂ |xi = x |xi
ψ(x) = hx|ψi
ˆ
+∞
|xi hx| dx = 1
(4.10a)
(4.10b)
(4.10c)
−∞
4.8 Opérateur Impulsion P
→
−
→
−
(r)
pf ( r ) = −i~ ∂ f∂r
(4.11)
|px i vecteur propre de P̂x avec pour valeur propre px représente l'état quantique d'une particule de
quantité de mouvement suivant Ox parfaitement dénie
ˆ
+∞
P̂ |pi = p |pi
(4.12a)
ψ̃(p) = hp|ψi
(4.12b)
|pi hp| dp = 1
(4.12c)
−∞
5
Postulats de la mécanique quantique
5.1 Postulats de représentation
5.1.1
er
1
postulat
À un instant t xé, l'état d'un système physique est représenté par un ket |ψ(t)i appartenant à l'espace
des états E . L'espace E est un espace de Hilbert.
5.1.2
e
2 postulat
Toute grandeur physique mesurable A est représentée par un opérateur A agissant dans l'espace des
états E . L'opérateur A est une observable .
5.2 Postulats de mesure
5.2.1
e
3 postulat
la mesure de la grandeur physique A ne peut donner comme résultat que l'une des valeurs propres
de l'observable A correspondante.
10
5.3 Postulat d'évolution
5.2.2
e
4 postulat
cas d'un spectre discret : Lors de la mesure d'une grandeur physique A sur un système dans
l'état |ψi normé, la probabilité d'obtenir comme résultat la valeur propre an de l'observable A
correspondante est :
gn
X
i 2
un ψ P(an ) =
(5.1)
i=1
où les {|uin i}i∈[[1,gn ]] constituent une base orthonormée du sous-espace propre de A associé à la valeur
propre
an
cas d'un spectre continu : Lors de la mesure d'une grandeur physique A sur un système dans l'état
|ψi normé, la probabilité d'obtenir un résultat compris entre α et α + dα vaut :
2
dP(α) = |hα|ψi| dα
5.2.3
(5.2)
e
5 postulat
(cas d'un spectre discret) Si la mesure d'une grandeur physique A sur un système dans l'état |ψi
normé a donné le résultat an , l'état du système immédiatement après la mesure est la projection normée
de |ψi sur le sous-espace propre de A associé à an :
gn
X
i i un un ψ
!1/2
(5.3)
hAi|Ψi = hψ| A |ψi
(5.4)
i=1
gn
X
i 2
un ψ i=1
5.3 Postulat d'évolution
5.3.1
Valeur Moyenne d'une observable
Valeur moyenne d'une observable A dans l'état |ψi :
À noter que |ψi doit être normé.
5.3.2
e
6 postulat
L'équation décrivant l'évolution dans le temps de l'état |ψ(t)i d'un système physique est l'équation
:
de Schrödinger
H |ψ(t)i = i~
5.3.3
d |ψ(t)i
dt
(5.5)
Cas des systèmes conservatifs
Lorsque l'hamiltonien d'un système ne dépend pas explicitement du temps, on dit que ce système
est conservatif . (En mécanique classique, la conséquence la plus importante d'une telle situation est la
conservation de l'énergie au cours du temps.)
5 POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
5.3.4
11
Résolution de l'équation de schrödinger
Considérons tout d'abord l'équation aux valeurs propres de H :
(5.6)
H |ϕn,τ i = En |ϕn,τ i
τ est un indice qui désigne tout les vecteurs propres associés à la valeur propre En (pour des états
dégénérés)
La connaissances des En et des |ϕn,τ i permet de résoudre simplement l'équation de schrödinger.
Les |ϕn,τ i forment une base (H est une observable ), on peut toujours, pour chaque valeur de t,
développer un état |ψ(t)i quelconque du système sur les |ϕn,τ i :
|ψ(t)i =
X
(5.7)
cn,τ (t) |ϕn,τ i
n,τ
avec cn,τ (t) = hϕn,τ |ψ(t)i qui correspond à la projection de ψ sur la nouvelle base.
Comme les |ϕn,τ i ne dépendent pas de t, toute la dépendance temporelle de |ψ(t)i est contenue dans
les cn,τ (t).
Pour calculer les cn,τ (t), projetons l'équation de Schrödinger sur chacun des états |ϕn,τ i.
Il vient :
(5.8)
d
i~ dt
hϕn,τ |ψ(t)i = hϕn,τ | H |ψ(t)i
H étant hermitique, on peut déduire de l'équation 5.6 :
(5.9)
hϕn,τ | H = En hϕn,τ |
On peut donc écrire 5.8 sous la forme :
(5.10)
d
i~ dt
cn,τ (t) = En cn,τ (t)
Cette équation s'intègre facilement pour donner :
cn,τ (t) = cn,τ (t0 )e−iEn
5.3.5
(t−t0 )
~
(5.11)
Méthode de résolution
Pour trouver |ψ(t)i, connaissant |ψ(t0 )i, on procède donc comme suit :
1. On développe |ψ(t0 )i sur la base des états propres de H
|ψ(t0 )i =
XX
n
cn,τ (t0 ) |ϕn,τ i
(5.12)
τ
avec
cn,τ (t0 ) = hϕn,τ |ψ(t0 )i
2. On obtient alors |ψ(t)i, pour t quelconque en multipliant chaque coecient cn,τ (t0 ) du développeiEn (t−t0 )
ment 5.12 par e− ~ , En étant la valeur propre de H associée à l'état |ϕn,τ i :
|ψ(t)i =
XX
n
cn,τ (t0 )e−iEn
(t−t0 )
~
|ϕn,τ i
(5.13)
τ
5.4 Règles de quantication
L'observable A correspondant à la grandeur physique A dénie classiquement s'obtient en remplaçant,
→
−
→
−
dans l'expression convenablement symétrisée de A , les variables dynamiques r et p par les observables
→
−
→
−
R et P . Les observables ne correspondant pas à des grandeurs physiques classiques seront remplacées
directement.
12
6
L'Oscillateur Harmonique
H=
P2
1
+ mω 2 X 2
2m 2
(6.1)
On pose deux nouveaux opérateurs sans dimension :
r
mω
X
~
1
P̂ = √
P
~mω
h
i
X̂, P̂ = i1
X̂ =
(6.2a)
(6.2b)
On pose :
1 a = √ X̂ + iP̂
2
1
a+ = √ X̂ − iP̂
2
(6.3a)
(6.3b)
On a les relations :
[a, a+ ] = 1
√
a |ni = n |n − 1i
√
a+ |ni = n + 1 |n + 1i
(6.4a)
(6.4b)
(6.4c)
On pose :
N = a+ a
1
Ĥ = N + 1
2
1
H |ni = ~(n + ) |ni
2
7
(6.5)
(6.6)
(6.7)
Moment Cinétique
7.1 Moment Cinétique orbital
→
−
L Observable correspondantes à un moment cinétique orbital, c'est à dire un moment cinétique ayant
un équivalent classique.
→
−
S Moment cinétique de spin c'est à dire moment cinétique intrinsèque d'une particule élémentaire.
→
−
J Moment cinétique total.
→
−
→
− →
−
J = L+S
(7.1)
: Les relations et opérateurs pour L sont les mêmes pour S et J , il sut de remplacer L
par les lettres correspondantes.
Remarque
7 MOMENT CINÉTIQUE
13
h
→
− i
H0 , L 2 = 0
h
→
−i
H0 , L = 0
(7.2)
(7.3)
→
−
H commute avec toute composante du moment cinétique. H , L 2 et par exemple Lz forment un
→
−
ensemble d'observables qui commutent. De ces relations découle le fait que L est une constante du
mouvement.
→
−
→
− →
−
L =R∧P
[Lx , Ly ] = i~Lz
Lz |l mi = m~ |l mi
L2 |l mi = l(l + 1)~2 |l mi
L+ = Lx + iLy
L− = Lx − iLy
1
Lx = (L+ + L− )
2
1
(L+ − L− )
Ly =
2ip
L+ |l mi = ~ l(l + 1) − m(m + 1) |l m + 1i
p
L− |l mi = ~ l(l + 1) − m(m − 1) |l m − 1i
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
(7.8)
(7.9)
(7.10)
(7.11)
(7.12)
(7.13)
7.2 Détermination du spectre de J 2 et Jz
Les seules valeurs possibles pour j sont les nombres entiers ou demi-entiers positifs. C'est à dire :
0;1/2 ; 1;3/2 ; 2 . . .
Soit j = j1 + j2 avec j1 et j2 des moments cinétiques. On a la relation :
|j1 − j2 | 6 j 6 |j1 + j2 |
(7.14)
L'ordre n'a pas d'importance car pour une valeur absolue on a |j1 − j2 | = |j2 − j1 |
Remarque
→
−
→
−
→
−
: Pour J = L + S , étant donné que s =1 /2 on a simplement j = l ±1/2
Pour une valeur xée de j , les seules valeurs possibles pour m sont les 2j + 1 nombres tels que :
−j 6 m 6 j
7.3 Harmoniques Sphériques
On appelle harmoniques sphériques , les fonction propres Ylm (θ, ϕ) communes à L2 et Lz avec les
valeurs propres respectives ~2 l(l + 1) et ~m.
Elles sont dénies de manière unique par les contraintes suivantes :
orthonormalisation
ˆ
ˆ
π
0
2π
0
dϕYlm ∗ (θ, ϕ)Ylm
0 (θ, ϕ) = δll0 δmm0
sin θ dθ
0
(7.15)
14
7.4 Spin de particules
: Lorsqu'on calcule un élément de matrice d'un opérateur, il peut s'avérer utile de travailler
avec les harmoniques sphériques et d'utiliser cette orthonormalisation pour prouver que cet élement de
matrice est nul. En eet, Si l 6= l0 alors le produit des deux donne 0 (orthogonalité). Idem si m 6= m0 .
Si l = l0 ET m = m0 alors le produit vaut 1 (normalisation).
Remarque
relation de phase entre les harmoniques sphériques :
L+ Ylm (θ, ϕ) = ~
m
l
L− Y (θ, ϕ) = ~
p
p
(7.16a)
l(l + 1) − m(m + 1)Ylm+1 (θ, ϕ)
m−1
l
l(l + 1) − m(m − 1)Y
(7.16b)
(θ, ϕ)
phase absolue (condition arbitraire)
(7.17)
Yl0 (0, 0) ∈ R+
Si l est pair, l'harmonique sphérique est paire aussi. Si l est impair, l'harmonique sphérique est impair.
la fonction d'onde d'un état |n l mi s'écrit :
(7.18)
ψ(r, θ, φ) = Rnl (r) × Ylm (θ, φ)
Remarque
: À noter que Rnl (r) est aussi normalisé, c'est à dire que
´∞
0
|Rnl (r)| r2 dr = 1.
2
Le comportement de Rnl (r) au voisinage de r = 0 est en rl . Par conséquent, seuls les états appartenant
aux sous-couches s (l = 0) donnent une probabilité de présence non-nulle à l'origine. Plus l est grand,
plus est étendue la région entourant le proton dans laquelle la probabilité de présence de l'électron est
négligeable. Ce fait a un certain nombre de conséquences physiques, notamment dans le phénomène de
capture des électrons par certains noyaux, et dans la structure hyperne des raies. (source : cohen tome
1)
s
(2l + 1) (l − m)! m
P (cos θ)eimϕ
4π (l + m)! l
s
l+m
dl+m
(−1)
(2l + 1) (l − m)! imϕ
m
2l
e (sin θ)
=
(sin θ)
l
2 l!
4π (l + m)!
dcos θl+m
Ylm (θ, ϕ) =
où Plm (cos θ) est le
(7.19)
(7.20)
polynôme de Legendre .
Il est intéressant de retenir la forme des deux harmoniques sphériques suivantes :
1
Y00 = √
4π
Y10 ∝ cos θ
(7.21)
(7.22)
En eet, l'opérateur Z vaut r cos θ. Ainsi, lors du calcul d'une intégrale faisant intervenir Z , on peut
le remplacer par Y10 . Ceci donne une condition très importante sur les autres harmoniques sphériques.
En eet, par orthogonalité des harmoniques sphériques, on doit ainsi avoir l = 1 et m = 0 pour les autres
harmoniques.
7.4 Spin de particules
Plongé dans un champ magnétique, un électron est soumis à une énergie potentielle d'interaction qui
vaut :
−
→→
−
Ep = −M . B
(7.23)
8 MÉTHODE DES PERTURBATIONS
15
Plongé dans un champ électrique, un électron est soumis à une énergie potentielle qui vaut :
→
− →
−
Ep = − D . E
(7.24)
→
−
Champ magnétique créé par une charge q se déplaçant à la vitesse v :
→
− →
−
→
−
µ0 q v ∧ r
B =
4π
r3
→
−
µ0 q − l
=
4π m r3
(7.25)
(7.26)
→
−
Un électron a un spin S , donc un moment magnétique :
−
→
→
−
M = γs S
(7.27)
→
− →
−
−2 →
−
→
− 1 →
L.S =
J − L2 − S 2
2
(7.28)
On a de plus :
Remarque
→
−
→
−
→
−
→
−
: Pour retrouver cette relation, il sut de développer J 2 en sachant que J = L + S .
→
−
Toute composante orbitale commute avec toute composante de S :
h→
− →
−i
R, S = 0
h→
− →
−i
P, S =0
h→
− →
−i
L, S = 0
(7.29a)
(7.29b)
(7.29c)
7.5 Transition entre deux états
Pour faire une transition entre un état |l mi d'énergie El et un état |l0 m0 i d'énergie El0 , il faut que h
aie un élément de matrice non nul entre hl0 m0 | et |l mi. Il faut donc trouver la condition pour que :
hl0 m0 | H |l mi =
6
0
(7.30)
On trouve que la transition n'est possible que si :
∆m = 0
∆l = ±1
8
(7.31a)
(7.31b)
Méthode des perturbations
Soit H = H0 + W le hamiltonien total du système, avec H0 le hamiltonien non perturbé, et W la
perturbation que l'on applique au système.
16
8.1 Correction d'ordre 1 pour un niveau non dégénéré
Une perturbation, comme son nom l'indique, perturbe le système, son amplitude doit être
faible comparée à celle du hamiltonien non perturbé. Dit autrement, la correction en énergie
qu'apporte la perturbation doit être faible.
: On peut voir la méthode des perturbations comme une sorte de développement limité ;
les deux ne restent valablent que si les corrections apportées sont petites.
Remarque
8.1 Correction d'ordre 1 pour un niveau non dégénéré
8.1.1
Correction de l'énergie
E = En0 + hϕn | W |ϕn i
(8.1)
où W est la correction apportée au hamiltonien (H = H0 + W )
Ici, inutile de chercher à apprendre cette formule. En eet, En0 = hϕn | H0 |ϕn i, donc pour calculer
l'énergie des niveaux, on fait simplement hϕn | H |ϕn i, c'est à dire comme on le fait normalement pour
calculer l'énergie des niveaux, sauf que l'on a rajouté le terme perturbatif W .
8.1.2
Correction de l'état propre
|ψi = |ϕn i +
X hϕp | W |ϕn i
|ϕp i
En0 − Ep0
p6=n
(8.2)
8.2 Correction à l'ordre 2 pour un niveau non dégénéré
8.2.1
Correction de l'énergie
E = En0 + hϕn | W |ϕn i +
X |hϕp | W |ϕn i|2
En0 − Ep0
p6=n
(8.3)
Index
B
R
base orthonormée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 relation
de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
S
C
commutateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 sous-espace propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
conjugué d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 8 spectre continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 spectre discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
D
T
densité de probabilité de présence . . . . . . . . . . . . . . .4 théorème
distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
D'Erhenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
transposée d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
E
V
équation
de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4, 10, 11 valeur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 10
espace
vecteur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 8
de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
dual de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
H
harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
K
ket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
M
moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
méthode des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
O
observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911
ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
hermitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
impulsion P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
position X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
P
paquet d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
polynôme de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
17