Polynésie-Juin

Polynésie-Juin-2014.
Exercice 3 5 points
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
1 . Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.
Lorsqu'il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas.
Lorsqu'il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6.
Affirmation n° 1 : « Zoé utilise la voiture un jour sur deux. »
2 . Dans l'ensemble E des issues d'une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B.
Affirmation n° 2 : « Si A et B sont indépendants, alors A et
̄
B
sont aussi indépendants. »
3 . On modélise le temps d'attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire T qui suit la loi
exponentielle de paramètre 0,7.
Affirmation n° 3 : « La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes, à ce guichet est environ 0,7. »
Affirmation n° 4 : « Le temps d'attente moyen à ce guichet est de sept minutes. »
4 . On sait que 39 % de la population française est du groupe sanguin A+. On cherche à savoir si cette
proportion est la même parmi les donneurs de sang. On interroge 183 donneurs de sang et parmi eux, 34 % sont
du groupe sanguin A+.
Affirmation n° 5 : « On ne peut pas rejeter, au seuil de 5 %, l'hypothèse selon laquelle la proportion de
personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans l'ensemble de la
population. »
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Correction :
1. AFFIRMATION n°1 : VRAIE
On note :
V l'événement « Zoé se rend en voiture à son travail. »
̄
V
l'événement « Zoé se rend à pied à son travail. »
L l'événement « Il pleut le jour considéré. »
̄
L
l'événement « Il ne pleut pas le jour considéré. »
L'énoncé donne :
. Là où habite Zoé, il pleut un jour sur quatre donc
P(L)= 1
4=0,25
Conséquence :
P(¯ L)=1−1
4=3 4=0,75
. Lorsqu'il pleut, Zoé se rend à son travail en voiture dans 80 % des cas donc
PL(V)=0,8
Conséquence :
PL(¯ V)=1−0,8=0,2
. Lorsqu'il ne pleut pas, Zoé se rend à pied à son travail avec une probabilité de 0,6 donc
P¯
L(¯
V)=0,6
Conséquence :
P¯
L(V)=1−0,6=0,4
On obtient l'arbre pondéré suivant :
En utilisant l'arbre pondéré ou la formule des probabilités totales, on obtient
P(V)=P(L∩V)+P(̄ L∩V)
P(V)=P(L)×PL(V)+P(̄ L)×P̄
L(V)
P(V)=0,25×0,8+0,75×0,4
P(V)=0,2+0,3=0,5
donc l'affirmation n°1 est vraie.
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2 . AFFIRMATION n°2 : VRAIE
A et B sont deux événements indépendants donc
P(A∩B)=P(A)×P(B)
La formule des probabilités totales nous donne
P(A)=P(A∩B)+P(A∩̄ B)
P(A)=P(A)×P(B)+P(A∩̄ B)
P(A)−P(A)×P(B)=P(A∩̄ B)
P(A)[ 1−P(B)]=P(A∩̄ B)
P(A)×P(̄ B)=P(A∩̄ B)
Les événements A et
̄
B
sont indépendants donc l'affirmation n°2 est vraie.
3 . AFFIRMATION n°3 : FAUSSE
T suit la loi exponentielle de paramètre
λ=0,7
donc pour tout nombre réel a positif ou nul :
P(T<a)=
∫
0
a
0,7 e−0,7tdt
=
−e−0,7 a
+
e0
=
−e−0,7 a
+1
Et pour tout nombre réel a positif ou nul, P(aT)=
e−0,7 a
Le client attend au moins cinq minutes si et seulement si 5T
P(5T)=
e−0,7 ×5
En utilisant la calculatrice on obtient,
P(5≤T)≃0,03
Donc l'affirmation n°3 est fausse.
AFFIRMATION n°4 : FAUSSE
Le temps moyen d'attente au guichet est E(T)
or
E(T)= 1
λ=1
0,7
≃1,43
Donc l'affirmation n°4 est fausse.
4 . AFFIRMATION n°5 : VRAIE
35 % des donneurs de sang parmi les 183 interrogés sont du groupe sanguin A+.
Donc la fréquence constatée dans l'échantillon est f =0,34.
L'intervalle de confiance au seuil de 95 % est :
I=
[
f−1
√
n;f+1
√
n
]
=
[
0,34−
√
183 ; 0,34+1
√
183
]
0,07<
1
√
183
<0,08
donc 0,26<0,34–
1
√
183
<0,27 et 0,41<0,34+
1
√
183
<0,42 et
[0,27 ;0,41 ]⊂I
L'hypothèse est la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % c'est
à dire p=0,39.
0,39∈[0,27 ; 0,41 ]⊂I
On ne rejette pas cette hypothèse au seuil de 95 %.
Donc, l'affirmation n°5 est vraie.
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