Exercice 1 [Bac Liban 2016] : Solution page 1 Un automate peut se

Exercice 1 [Bac Liban 2016] : Solution page 1
Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit res-
ter dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe
probabiliste ci-dessous.
Pour tout entier naturel n, on note anla probabilité que l’automate se trouve dans l’état A
après nsecondes et bnla probabilité que l’automate se trouve dans l’état B après nsecondes.
Au départ, l’automate est dans l’état B.
A B
0,7
0,8
0,20,3
On considère l’algorithme suivant :
Variables : aet bsont des réels
Initialisation : aprend la valeur 0
bprend la valeur 1
Traitement : Pour kallant de 1 à 10
aprend la valeur 0,8a+ 0,3b
bprend la valeur 1 −a
Fin Pour
Sortie : Afficher a
Afficher b
Répondre par Vrai ou Faux aux deux affirmations ci-dessous :
Affirmation 1 : En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10.
Affirmation 2 : Après 4 secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état Aque
d’être dans l’état B.
Solution exercice 1:
Affirmation 1 :
L’algorithme initialise bien les variables à partir des données du problème. En effet, au dé-
part, P(B) = 1 soit b0= 1.
En revanche, l’affectation de adans la boucle pose problème. En effet, la lecture du graphe
permet d’affirmer que an+1 = 0,3an+ 0,8bnet ce qui est proposé correspond plutôt à an+1 =
0,8an+ 0,3bn.
L’affirmation est donc fausse.
Affirmation 2 : En remplaçant la ligne « aprend la valeur 0,8a+ 0,3b» par « aprend la
valeur 0,3a+ 0,8b», l’algorithme renvoie a= 0,5 et b= 0,5. L’affirmation est donc vraie.
Nous verrons plus tard une autre solution plus rapide.
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