Exercice 1 [Bac Liban 2016] : Solution page 1 Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. Pour tout entier naturel n, on note an la probabilité que l’automate se trouve dans l’état A après n secondes et bn la probabilité que l’automate se trouve dans l’état B après n secondes. Au départ, l’automate est dans l’état B. 0, 7 0, 3 A B 0, 2 0, 8 On considère l’algorithme suivant : Variables : Initialisation : Traitement : Sortie : a et b sont des réels a prend la valeur 0 b prend la valeur 1 Pour k allant de 1 à 10 a prend la valeur 0, 8a + 0, 3b b prend la valeur 1 − a Fin Pour Afficher a Afficher b Répondre par Vrai ou Faux aux deux affirmations ci-dessous : Affirmation 1 : En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10 . Affirmation 2 : Après 4 secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état A que d’être dans l’état B. Solution exercice 1 : Affirmation 1 : L’algorithme initialise bien les variables à partir des données du problème. En effet, au départ, P(B) = 1 soit b0 = 1. En revanche, l’affectation de a dans la boucle pose problème. En effet, la lecture du graphe permet d’affirmer que an+1 = 0, 3an + 0, 8bn et ce qui est proposé correspond plutôt à an+1 = 0, 8an + 0, 3bn . L’affirmation est donc fausse. Affirmation 2 : En remplaçant la ligne « a prend la valeur 0, 8a + 0, 3b » par « a prend la valeur 0, 3a + 0, 8b », l’algorithme renvoie a = 0, 5 et b = 0, 5. L’affirmation est donc vraie. Nous verrons plus tard une autre solution plus rapide. 1