TD 3- Variables aléatoires - Moodle Paris Diderot

L2 MIASHS PR4
Probabilités Statistiques
Université Paris Diderot
2016 - 2017
M. Brunaud : [email protected]
I. Giulini : [email protected]
G. Viennet :
[email protected]
TD 3- Variables aléatoires
Exercice 1. : Soit A, B , C trois événements tels que
5
1
,
P (A) = , P (B ) = P (C ) =
2
12
P (A ∩ B ) = P (B ∩C ) =
4
3
3
, P (A ∩C ) =
et P (A ∩ B ∩C ) =
.
12
12
12
Chercher la loi de X = 1 A + 1B + 1C .
Exercice 2. : Soit A et B deux événements indépendants vérifiant P (A) = P (B ) = p.
Déterminer les lois des variables aléatoires Y = 1 A − 1B et Z = 1 A 1B .
Exercice 3. : Soit X une loi binomiale B (8, 3/4). Calculer P (X ≥ 4). Calculer et tracer la fonction de répartition de la loi
de X
Exercice 4. : Le nombre X de livres achetés par un client éventuel qui entre dans une librairie dépend du hasard. On
7
10
8
, P ({1 ≤ X ≤ 2}) =
, P ({0 ≤ X < 3}) =
et
a P ({0 ≤ X ≤ 1}) =
12
12
12
P ({X = 3}) = P ({X ≥ 4}). Calculer P ({X = i }) pour i = 0, 1, 2, 3.
Exercice 5. : Soit X de loi géométrique de paramètre p. Chercher la loi de X 2 et de X + 3.
Exercice 6. : Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On fait deux tirages avec remise. Si X représente le
plus grand numéro obtenu sur les deux boules tirées, chercher la loi de X .
On refait l’expérience, les deux tirages étant maintenant sans replacement. Quelle est la loi de X ?
Exercice 7. : Soit X de loi géométrique sur N∗ de paramètre p et M une constante de N. Calculer la loi de Y = inf{X , M }.
Exercice 8. : Calculer les espérances et les variances des lois classiques données dans le cours.
— Loi uniforme sur {1, . . . , N }, N ∈ N fixé.
— Loi B(n, p).
— Loi de Poisson P (λ).
Exercice 9. : Soit X une v.a. à valeurs dans N. Montrer que E [X ] =
Application : Calculer E [X ] lorsque X est une loi géométrique.
P+∞
n=1 P ({X
≥ n}).
Exercice 10. : Un jeu consiste à lancer une pièce (ayant une probabilité p ∈]0, 1[ de tomber sur Pile) jusqu’à obtenir
Pile, soit k le nombre de lancers nécessaires, et ensuite à lancer k fois un dé équilibré. La partie est gagnante si exactement un six a été obtenu. Quelle est la probabilité de gagner ? Comment truquer la pièce pour avoir le maximum de
chances de gagner ?
Indication : on pourra introduire les variables aléatoires X i ,Y j , S n et T telles que
X i = " résultat du i ème lancer de pièce" à valeur dans {0, 1};
Y j = "résultat du j ème lancer de dé" à valeur dans {1, . . . , 6},
S n = "nombre de 6 obtenus après n lancers de dé",
T = inf{n ∈ N∗ , X n = 1}.
Exercice 11. : On joue à pile ou face avec une pièce ayant une probabilité p de tomber sur pile et 1 − p de tomber sur
face. On effectue des tirages indépendants. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires
pour obtenir r pile. Quelle est la loi de X ? Cette loi s’appelle la loi Binomiale négative de paramètre (r, p).
Soit Y une v.a. de loi binomiale de paramètre (n, p). A l’aide de l’interprétation probabiliste des lois de ces deux v.a.,
montrer que
∞
rX
−1
X
r
i −r
(ir−1
=
(ni )p i (1 − p)n−i
−1 )p (1 − p)
i =n+1
i =0
1
Exercice 12. : Un trousseau de a clés contient une seule clé pouvant ouvrir une porte donnée. Une personne tente
d’ouvrir cette porte en essayant tour à tour les diverses clés du trousseau jusqu’à ce qu’elle tombe sur la bonne. On
note X le nombre d’essais nécessaires pour ouvrir la porte. Déterminer la loi de X dans les cas suivants :
1) La personne n’essaie jamais d’ouvrir avec une clé qu’elle a déjà essayée en vain.
2) La personne n’a pas de mémoire et ne tient jamais compte des essais précédents.
3) La personne n’a qu’une mémoire limitée et fait chaque essai avec n’importe quelle clé autre que celle qu’elle vient
d’essayer immédiatement en vain.
Exercice 13. : On effectue des essais indépendants de probabilité de succés constante égale à p, 0 < p < 1 jusqu’à
obtenir un nombre m fixé à l’avance de succés. Soit X le nombre d’essais nécessaires.
1) Chercher la loi de probabilité de X .
¸
·
hm i
m −1
m−1
= p et E
6= p (on suppose m > 1). On pourra introduire la v.a. m
2) Montrer que E
X − X −1 et étudier
X −1
X
X −m
P ( XX(X−m
−1) > 0) pour montrer que E ( X (X −1) > 0.
Exercice 14. : Soit X de loi de poisson de paramètre λ.
1) Z = X ! ; calculer E [Z ].
1
; calculer E [Z ].
2) Z =
1+ X
Exercice 15. : Règle succession de Laplace :
Une boite contient k + 1 pièces numérotées de 0 à k. Lorsque la i ème pièce est lancée, la probabilité qu’elle a de
donner Pile est de i /k, i = 0, . . . , k. On tire au hasard une pièce dans l’urne pour la jetter ensuite un grand nombre de
fois et on suppose alors que le choix de la pièce à lancer étant fait, les jets sont indépendants.
On pourra définir les évenements A i ="on a tiré la pièce numéro i ", pour tout i ∈ {0, . . . , k}. 1) Quelle est la probabilité
conditionnelle, p k,n que le (n + 1)ème jet donne Pile sachant que les n premiers l’ont fait ? Quelle est la limite de p k,n
quand k tend vers l’infini ?
2) Sachant que les n premiers jets ont donné Pile„ montrer que la probabilité conditionnelle que les m suivants donne
n+1
également Pile a pour limite quand k tend vers l’infini n+m+1
3) On suppose que les n premiers jets ont donné r Pile et n − r Face. Montrer que la limite quand k tend vers l’infini
r +1
de la probabilité que le (n + 1)-ième jet donne pile est n+2
.
Indication : on pourra utiliser l’identité
1
Z
0
y n (1 − y)m d y =
n!m!
(n + m + 1)!
R1
1
dont la démonstration se fait par récurrence sur m en partant de l’égalité 0 y n d y = n+1
.
4) Quelle est la probabilité que la i −ème pièce ait été tirée si les n premiers jets ont donné Pile ?
5) Peut on dire que les résultats des jets sont indépendants ?
2