TD 3- Variables aléatoires - Moodle Paris Diderot

L2 MIASHS PR4 Université Paris Diderot
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TD 3- Variables aléatoires
Exercice 1. : Soit A,B,Ctrois événements tels que
P(A)=1
2,P(B)=P(C)=5 12 ,
P(A∩B)=P(B∩C)=4
12 ,P(A∩C)=3 12 et P(A∩B∩C)=3 12 .
Chercher la loi de X=1A+1B+1C.
Exercice 2. : Soit Aet Bdeux événements indépendants vérifiant P(A)=P(B)=p.
Déterminer les lois des variables aléatoires Y=1A−1Bet Z=1A1B.
Exercice 3. : Soit Xune loi binomiale B(8,3/4). Calculer P(X≥4). Calculer et tracer la fonction de répartition de la loi
de X
Exercice 4. : Le nombre Xde livres achetés par un client éventuel qui entre dans une librairie dépend du hasard. On
aP({0 ≤X≤1}) =8
12 ,P({1 ≤X≤2}) =7 12 ,P({0 ≤X<3}) =10 12 et
P({X=3}) =P({X≥4}). Calculer P({X=i}) pour i=0,1,2,3.
Exercice 5. : Soit Xde loi géométrique de paramètre p. Chercher la loi de X2et de X+3.
Exercice 6. : Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On fait deux tirages avec remise. Si Xreprésente le
plus grand numéro obtenu sur les deux boules tirées, chercher la loi de X.
On refait l’expérience, les deux tirages étant maintenant sans replacement. Quelle est la loi de X?
Exercice 7. : Soit Xde loi géométrique sur N∗de paramètre pet Mune constante de N. Calculer la loi de Y=inf{X,M}.
Exercice 8. : Calculer les espérances et les variances des lois classiques données dans le cours.
— Loi uniforme sur {1,...,N}, N∈Nfixé.
— Loi B(n,p).
— Loi de Poisson P(λ).
Exercice 9. : Soit Xune v.a. à valeurs dans N. Montrer que E[X]=P+∞
n=1P({X≥n}).
Application : Calculer E[X] lorsque Xest une loi géométrique.
Exercice 10. : Un jeu consiste à lancer une pièce (ayant une probabilité p∈]0,1[ de tomber sur Pile) jusqu’à obtenir
Pile, soit kle nombre de lancers nécessaires, et ensuite à lancer kfois un dé équilibré. La partie est gagnante si exac-
tement un six a été obtenu. Quelle est la probabilité de gagner ? Comment truquer la pièce pour avoir le maximum de
chances de gagner ?
Indication : on pourra introduire les variables aléatoires Xi,Yj, Snet T telles que
Xi=" résultat du ième lancer de pièce" à valeur dans {0,1};
Yj="résultat du jème lancer de dé" à valeur dans {1,. . .,6},
Sn="nombre de 6 obtenus après nlancers de dé",
T=inf{n∈N∗,Xn=1}.
Exercice 11. : On joue à pile ou face avec une pièce ayant une probabilité pde tomber sur pile et 1 −pde tomber sur
face. On effectue des tirages indépendants. Soit Xla variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires
pour obtenir rpile. Quelle est la loi de X? Cette loi s’appelle la loi Binomiale négative de paramètre (r,p).
Soit Yune v.a. de loi binomiale de paramètre (n,p). A l’aide de l’interprétation probabiliste des lois de ces deux v.a.,
montrer que
∞
X
i=n+1
(i−1
r−1)pr(1 −p)i−r=
r−1
X
i=0
(n
i)pi(1 −p)n−i
1

Exercice 12. : Un trousseau de aclés contient une seule clé pouvant ouvrir une porte donnée. Une personne tente
d’ouvrir cette porte en essayant tour à tour les diverses clés du trousseau jusqu’à ce qu’elle tombe sur la bonne. On
note Xle nombre d’essais nécessaires pour ouvrir la porte. Déterminer la loi de Xdans les cas suivants :
1) La personne n’essaie jamais d’ouvrir avec une clé qu’elle a déjà essayée en vain.
2) La personne n’a pas de mémoire et ne tient jamais compte des essais précédents.
3) La personne n’a qu’une mémoire limitée et fait chaque essai avec n’importe quelle clé autre que celle qu’elle vient
d’essayer immédiatement en vain.
Exercice 13. : On effectue des essais indépendants de probabilité de succés constante égale à p, 0 <p<1 jusqu’à
obtenir un nombre mfixé à l’avance de succés. Soit Xle nombre d’essais nécessaires.
1) Chercher la loi de probabilité de X.
2) Montrer que E·m−1
X−1¸=pet Ehm Xi6= p(on suppose m>1). On pourra introduire la v.a. m
X−m−1 X−1et étudier
P(X−m
X(X−1) >0) pour montrer que E(X−m X(X−1) >0.
Exercice 14. : Soit Xde loi de poisson de paramètre λ.
1) Z=X! ; calculer E[Z].
2) Z=1
1+X; calculer E[Z].
Exercice 15. : Règle succession de Laplace :
Une boite contient k+1 pièces numérotées de 0 à k. Lorsque la ième pièce est lancée, la probabilité qu’elle a de
donner Pile est de i/k,i=0,.. . ,k. On tire au hasard une pièce dans l’urne pour la jetter ensuite un grand nombre de
fois et on suppose alors que le choix de la pièce à lancer étant fait, les jets sont indépendants.
On pourra définir les évenements Ai="on a tiré la pièce numéro i", pour tout i∈{0, . ..,k}. 1) Quelle est la probabilité
conditionnelle, pk,nque le (n+1)ème jet donne Pile sachant que les npremiers l’ont fait ? Quelle est la limite de pk,n
quand ktend vers l’infini ?
2) Sachant que les npremiers jets ont donné Pile„ montrer que la probabilité conditionnelle que les msuivants donne
également Pile a pour limite quand ktend vers l’infini n+1
n+m+1
3) On suppose que les npremiers jets ont donné rPile et n−rFace. Montrer que la limite quand ktend vers l’infini
de la probabilité que le (n+1)-ième jet donne pile est r+1
n+2.
Indication : on pourra utiliser l’identité
Z1
0
yn(1 −y)md y =n!m!
(n+m+1)!
dont la démonstration se fait par récurrence sur m en partant de l’égalité R1
0ynd y =1
n+1.
4) Quelle est la probabilité que la i−ème pièce ait été tirée si les npremiers jets ont donné Pile ?
5) Peut on dire que les résultats des jets sont indépendants ?
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