PGCD ET ECRITURE FRACTIONNAIRE I) Définitions : 1) Multiple et diviseur : Soit a et b deux nombres entiers naturels non nuls tel que ୟ a=b × k ou ୠ =k où k est un nombre entier naturel On dit que a est un multiple de b b est un diviseur de a Remarque : L’entier naturel k est aussi un diviseur de a , et a est aussi un multiple de k . Exemple : 143 est-il un multiple de 11 ? 143 : 11 = 13 Donc 143 est un multiple de 11 ( et aussi de 13). 11 et 13 sont des diviseurs de 143. 362 est-il divisible par 16 ? 362 : 16 = 22,625 22,625 n’est pas un nombre entier donc 16 n’est pas un diviseur de 362. 362 n’est pas un multiple de 16. Rappel : Critères de divisibilité Nombre divisible par 2 : Nombre divisible par 3 : Nombre divisible par 5 : Nombre divisible par 9 : 1 Remarque : 0 est un multiple de tout nombre entier naturel b car 0 = b × 0 . Tout nombre entier naturel a une infinité de multiples. Multiples de 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 …….. 2) Division euclidienne : Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver deux nombres entiers naturels q et r tels que a = b × q + r avec r < b. q est le quotient et r est le reste de la division euclidienne. a b r q Exemple : diviseur 217 1 Donc 3 72 reste 217 = 3 × 72 + 1 dividende quotient Remarque : Si r = 0, b est un diviseur de a. II) PGCD : 1) Définition: Le PGCD de deux entiers naturels est leur Plus Grand Commun Diviseur. Exemple : Recherchons les diviseurs de 42 et 150 Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21,42 Diviseurs de 150 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150 Les diviseurs communs à 42 et 150 sont : 1, 2, 3, 6 Le PGCD de 42 et 150 est donc 6. Remarque : Soit a et b deux nombres entiers naturels, si b divise a alors PGCD (a ; b) = b. PGCD (143;13) = 13 car 143 = 13 × 11 2 2) Méthodes de calcul du PGCD: A) Méthode des soustractions successives : Soient a et b deux nombres entiers naturels tel que a ≥ b , PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b) Déterminons le PGCD de 255 et 153 255 > 153 donc PGCD (255 ; 153) = PGCD (153 ; 255 –153) PGCD (255 ; 153) = PGCD (153 ; 102) Recommençons le procédé 153 > 102 donc PGCD (153 ; 102) = PGCD (102 ; 153 –102) PGCD (153 ; 102) = PGCD (102 ; 51) Or PGCD (102 ; 51) = 51 car 51 est un diviseur de 102 (102 = 51 × 2 ). Donc PGCD (255 ; 153) = 51. Exemple : Calculer le PGCD de 240 et de 112 par la méthode des soustractions successives. 3 B) Méthode des divisions successives : Soient a et b deux nombres entiers naturels tels que a ≥ b , PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b . Déterminons le PGCD de 735 et 84 735 > 84 , effectuons donc la division euclidienne de 735 par 84 735 63 84 8 Donc 735 = 84 × 8 + 63 donc PGCD (735 ; 84) = PGCD (84 ; 63) Recommençons le procédé 84 21 63 1 Donc 84 = 63 × 1 + 21 donc PGCD (84 ; 63) = PGCD (63 ; 21) Or PGCD (63 ; 21) = 21 car 21 est un diviseur de 63 Donc PGCD (735 ; 84) = 21. ( 63 = 21 × 3 ). Exemple : Calculer le PGCD de 144 et de 756 par la méthode des divisions successives. C) Comparaison des deux méthodes : Activité 4 III) Nombres premiers entre eux : Définition: Deux nombres entiers naturels sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Exemples: a) Les nombres 212 et 63 sont-ils premiers entre eux ? b) Les nombres 266 et 112 sont-ils premiers entre eux ? IV) Fraction irréductible : 1) Définition: Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Exemples: Les fractions suivantes sont-elles irréductibles ? si non, les rendre irréductibles. a) 14 9 b) 35 15 2) Méthodes pour rendre une fraction irréductible: a) Première méthode : 42 irréductible. 54 On recherche un diviseur commun de 42 et 54 : 2 42 21 × 2 21 = = 54 27 × 2 27 On recherche un diviseur commun de 21 et 27 : 3 21 7 × 3 7 = = 27 9 × 3 9 Rendons la fraction Donc 42 7 = . 54 9 5 b) Deuxième méthode : Rendons la fraction 270 irréductible. 126 On recherche le PGCD de 270 et 126. On obtient 18. 270 18 × 15 15 = = 126 18 × 7 7 Exemples: Rendre les fractions suivantes irréductibles. a) 240 72 b) 108 207 c) 6 92 27