Formules d`inversion de Möbius

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
F RANÇOISE BADIOU
Formules d’inversion de Möbius
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 2 (1960-1961), exp. no 1,
p. 1-7
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Séminaire DELANGE-PISOT
(Théorie
année, 1960/61,
2e
1-01
nombres)
des
7 novembre 1960
n° 1
FORMULES D’INVERSION DE MÖBIUS
par Mme
BADIOU
Françoise
Pré liminaires .
1.
Soient
l’ensemble des fonctions
FK
le sous-ensemble de
M~
(m , n)
tell es que
=
1° On supposera que
s’il existe
n >
,
dans
K ; sinon
EXEMPLES :
f
K=C ~
et
G
f
pour tout
P
non
1
f ~ a.U
des nombres
premiers,
dans la suite. En
puisque f(n)
est inversible
ou
N . On
produit
p
par-
a
définie par
~s(~)
~~ (
I(n)
s
pour tout
=1
étant
un
nombre
n .
complexe donné)
FK .
étant deux éléments de
FK ’
on
désigne
par
F * G
l’ élément de
dé f ini par
Ce
effet,
où
1’ensemble
a
K,
identiquement nulles.
de
=
corps
f ~
est déterminé par les éléments
M
2. Produit de convolution dans
F
1
et
un
U
1
Si
f~1~=
f (m~ .f ~n) ,
f ~n~ ~ o ,
f~l~ ~ a ~ a ~ 0 ~ et
2° Tout élément
court l’ensemble
f(mn)
--~
tel que
1
à valeurs dans
formé des fonctions multiplicatives
FK
1 ~
arithmétiques
est évidemment
commutatif ;
il est
associatif,
en
effet :
FK
U
est
un
élément unité
a
Enfin, si
par
F(1) ~ 0 ,
F
est inversible. En
système d’équations linéaires qui
un
PROPRIÉTÉ
1. -
muni du
M~
produit
est
un
effet,
on
système
peut définir
de Cramer
de convolution est un
Vérifions la propriété de fermeture. Soient
f
et
F*(n)
groupe multiplicatif.
deux éléments de
g
et
K.
(m , n)==l
Si
f~‘
f e
MK , f* E MK .
les
sur
puissances
Or f *
En
effet,
des nombres
suite
soit
f*
l’ élément de
qui coïncide
avec
premiers
(V
f
n ),
donc
f*;f.
Première formule d’inversion.
MK
suite,
peut être considéré
si
F
et
G
conne un
sont deux
deux formules suivantes sont
groupe d’homothéties inversibles de
éléments de
F
et
f
un
les
équivalentes :
APPLICATION.
Fonction de Möbius. - On
FK . Par
élément de
.
désigne
par p
l’élément
I*
de
fi .
l
est donc la fonction
et
(1),
la formule
D’après
des
nombres "quadratfrei".
si
réciproquement.
Soit par
l1 ~n~
exemple A
=
0
~ ~ ~pa~ ~
on a
si
n
FR
n’ est pas
puissance d’un hombre premier
une
log P 1
suite
L’inverse d’une fonction
Soit
défini par
l’ élément de
visiblement :
e t p ar
de
caractéristique
03C3
s
n :
(n) =
I * f
c’est donc
s
(n) .
une
complètement multiplicative ~
o
s
(n)
fonction
est la
somme
multiplicative.
est
des puissances
Or
~,.~ ;
(s)
en
des diviseurs
Donc
on
obtient les deux formules
(par inversion)
Indicateur de Gauss ~ .
1
1 ~ (p
~ ~p (n)
et par
On
est
=
élément de
pour tout
n ~
~0(p) = p =
or
1 ~
est
une
Par suite
Donc
inversion,
a vu
lement
n
un
sa
=
que
(~(n))~
fonction
multiplicative. On
obtient faci-
valeur
k(n) désignant
le nombre de facteurs
preniers
de
n .
3. Autres produits,
Nous all ons dans la suite considérer
MK
comme un
groupe d’homothéties inver-
sibles pour d’autres ensembles de fonctions.
A. Produit
JL .
Soit 3 l’ensemble des fonctions définies
valeurs dans
K : à
un
élément
f
de
sur
et à
la demi-droite réelle
un
élément
F
de
associe
l’élément
défini par le produit
de F
G
PROPRIÉTÉ 2 . - Si
En
f
et
de
sont deux
g
I~ ,
effet,
Donc
en
la formule
particulier,
G
f
=
T
F
s’inverse et l’on obt&ent
(deuxième
(9)
(en effet,
U T F
pour tout
F = I
T
G ~
on
d’ inversion) ,
= F ).
Considérons par exemple la fonction
Comme
formule
1= équivalence
F(x)
=
vérifie facilement que
~x~ ~ x ? 1 ~ ~
G(x) =
1
et soient
~ x >~ ~ ~~
donc
B. Produit ~ .
Soit 8
l’ensemble des fonctions à valeurs complexes muni de
dont le domaine
d’opérateurs
est
MC ,
l’opération
exter-
définie de la façon suivante : si
F E
F
=
G
a un sens
converge pour tout
En
supposant
lorsque
la série
x .
que toutes les
opérations qui
suivent ont
un
sens,
on
obtient
encore
effet,
en
pour tout
et
de 9 .
F
Donc si chacune des séries
formules
qui
suivent sont
4~ Application
aux
figurent
équivalentes :
qui
y
associée à
On
unique
en
au
voisinage
d’un
en
les deux
et si le
produit
une
fonction
arithmétique
où elle converge.
et
Série de Dirichlet associée à
Si
point
déduit que si
une
n~
1
est
convergente,
séries de Dirichlet.
On sait que la série
F
est absolument
fonction
convergent
arithmétique multiplicative.
infini de séries est
convergent
particulier
5. Distribution des valeurs de la fonction de Möbius.
1-07
On démontre que
à
~~X~
N X
théorème
ce
équivaut
au
théorème des nombres premiers, c’est-à-dire
(n) ) .
ù
n .$x
démontré que
2° LITTLEWOOD
a
3° On obtient
une
TITCHMASH :
l’hypothèse
borne inférieure de
de Riemann
~(x)
avec
équivaut
à
l’inégalité démontrée
par