LE PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS

Le PGCD de deux nombres entiers positifs
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LE PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS POSITIFS
PGCD : Plus Grand Commun Diviseur
Activité n°1 : Rappel de vocabulaire
 Compléter les phrases suivantes avec les mots diviseur, multiple, divisible.
32 est un ……………………………………. de 4 car
8432 
5 est un …………………………………… de 15 car
3515 
12 est …………………………………...... par 2 et 4 car
6212 
et
3412 
7 est un …………………………………. de 21 mais pas de 15
45 est un …………………………………. de 3 et 9, mais pas de 7
18 est ……………………………………. par 1, 2, 3, 6, 9 et 18
 Division euclidienne
Divisons le nombre 32 par 14
421432 
Activité n°2 : diviseurs d’un nombre entier positif
Chercher tous les diviseurs du nombre 12.
Nombre
Diviseur
Explication
12
12
12
12
12
12
1
………………………
………………………
………………………
………………………
………………………
12112 
………………………
………………………
………………………
………………………
………………………
2
3
4
1
2
8
2
-
4
dividende
diviseur
quotient
reste

Le PGCD de deux nombres entiers positifs
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LE PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS COURS
 Un nombre entier positif a est un multiple d’un nombre entier positif b si le reste de la
division euclidienne de a par b est zéro.
 Un nombre entier positif d est un diviseur d’un nombre entier positif c si le reste de la
division euclidienne de c par d est zéro.
 Un nombre entier positif a est divisible par d’un nombre entier positif b si le reste de la
division euclidienne de a par b est zéro.
 Division euclidienne
dividende = diviseur quotient + reste
Application de l’activité n°2
Chercher tous les diviseurs du nombre 30.
Nombre
Diviseur
Explication
30
30
30
30
30
30
30
30
1
………………………
………………………
………………………
………………………
………………………
………………………
………………………
30130 
………………………
………………………
………………………
………………………
………………………
………………………
………………………
dividende
diviseur
quotient
reste

Le PGCD de deux nombres entiers positifs
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Activité n°3 : PGCD de deux nombres entiers positifs
Les diviseurs de 12 sont (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12)
Les diviseurs de 30 sont (1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30)
Le PGCD (plus grand commun diviseur) de 12 et 30 est ……………
PGCD (12 ; 30) = ……………
Méthodes de calcul du PGCD de deux nombres entiers
 Méthodes des soustractions successives
30 – 12 = ………… donc PGCD (30 ;12) = PGCD (……… ;12)
………… – ………… = ………… donc PGCD (……… ;………) = PGCD (……… ;………)
………… – ………… = ………… donc PGCD (……… ;………) = PGCD (……… ;………)
PGCD (……… ;………) = …………
Donc PGCD (12 ; 30) = …………
 Méthode des divisions successives
..................1230 
............................12 
PGCD (12 ; 30) = …………
Activité n°4 : Rendre une fraction irréductible
 Soit la fraction 12
30, rendre cette fraction irréductible
........
........
........
........
30
12 
 Sachant que PGCD (12 ; 30) = ……………
........
........
................
................
30
12 
0
3
2
1
……
……
……
.
……
.
……
……

Le PGCD de deux nombres entiers positifs
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LE PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS COURS
 Le nombre c est un diviseur commun aux nombres entiers positifs a et b s’il divise
à la fois a et b.
 Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres entiers positifs a et b est appelé
PGCD de a et b. Il se note PGCD (a ; b).
 Recherche du PGCD de deux nombres entiers positifs par soustractions
successives :
Propriété : a et b étant deux nombres entiers positifs non nuls
 Si b est un diviseur de a, alors PGCD (a ; b) = b
 Si a>b, les diviseurs communs de a et de b sont les mêmes que ceux de
la différence a – b
La méthode de recherche du PGCD de deux nombres par soustractions
successives utilise ces deux propriétés.
 Recherche du PGCD de deux nombres entiers positifs par divisions successives :
On effectue les divisions euclidiennes successives jusqu’à trouver un reste nul.
Application :
 Calculer le PGCD des nombres 448 et 280 en indiquant la méthode utilisée :
 Rendre irréductible la fraction 280
448
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