Cours 6º et 5º - Partie ALG`EBRE

Cours 6ºet 5º- Partie ALG` EBRE
Xavier MALEVILLE
10 de junio de 2010
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Indice
1. LES NOMBRES ET LES OP´ ERATIONS 3
1.1. Nombre d´ecimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Additions, soustractions et multiplications de d´ecimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Vocabulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Effectuer une addition ou une soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3. Multiplication et division par 10; 100; 1 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.4. Multiplications par 0,1, par 0,01 et par 0,001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1. Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2. Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3. Division d´ecimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.4. Valeur approch´ee et arrondie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.5. Crit`eres de divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4. R`egles de calcul - Identifier une expression - Distributivit´e . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1. R`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2. Identifier une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.3. Distributivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. LES FRACTIONS 5
2.1. Rappels -Fractions d´ecimales et ordre .......................... 5
2.1.1. ´ Ecriture fractionnaire d’un quotient ........................ 5
2.1.2. D´ecomposition standard des nombres d´ecimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3. Quotients ´egaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.4. Abscisse d’un point sur une droite gradu´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.5. Comparer - Ranger - Encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.6. Comparaison de deux nombres en ´ecriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.7. Multiplier un nombre par une faction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Addition et soustraction - Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2. Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
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3. Quotients et pourcentage 8
3.1. Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2. Pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4. Gestion de donn´ees 8
4.0.1. Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1. Repr´esentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2. Rep´erage du plan - Coordonn´ees d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3. Proportionnalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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1. LES NOMBRES ET LES OP´ ERATIONS
1.1. Nombre d´ecimal
Un nombre d´ecimal, appartenant `a l’ensemble not´e Dest la somme d’un nombre entier et d’un certain
nombre de dixi`emes, de centi`emes, de milli`emes...
Les nombres d´ecimaux s’´ecrivent avec les chiffres de 0 `a 9, s´epar´es par une virgule.
Tout nombre d´ecimaux peut s’´ecrire : partie enti`ere + d´ecimale.
Remarques :
* un dixi`eme s’´ecrit 0,1.
* un centi`eme 0,01.
Partie enti`ere Partie d´ecimale
classe des mille classes des unit´es
unit´e de mille Centaine Dizaine Unit´e dixi`eme centi`eme milli`eme
1.2. Additions, soustractions et multiplications de d´ecimaux
1.2.1. Vocabulaires
D´efinitions :
* Le r´esultat d’une addition s’appelle une somme. Pour le calcul d’une somme, l’ordre des termes n’a pas
d’importance. On peut regrouper des termes pour faciliter le calcul.
* Le r´esultat d’une soustraction s’appelle une diff´erence.
* Le r´esultat d’une multiplication s’appelle un produit de facteurs. Dans le calcul d’un produit, l’ordre
des facteurs n’a pas d’importance. On peut regrouper des facteurs pour faciliter le calcul.
1.2.2. Effectuer une addition ou une soustraction
*En colonnes : On ´ecrit les chiffres en colonnes avec les unit´es sous les unit´es.
*En lignes : On additionne d’abord les centi`emes, puis les dixi`emes, puis les unit´es et ainsi de suite en
faisant attention aux retenues.
1.2.3. Multiplication et division par 10; 100; 1 000
Pour multiplier par 10, 100, 1000, il faut d´eplacer la virgule de 1, 2, ou 3 rangs (ou rajouter des z´eros)
vers la droite.
Pour diviser par 10, 100, 1000, il faut d´eplacer la virgule de 1, 2, ou 3 rangs vers la gauche.
1.2.4. Multiplications par 0,1, par 0,01 et par 0,001
* Pour multiplier par 0,1, par 0,01 et par 0,001, il faut d´eplacer la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche.
* Multiplier par 0,1, c’est diviser par 10. Multiplier par 0,01, c’est diviser par 100. Multiplier par 0,001, c’est
diviser par 1 000.

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1.3. Division
1.3.1. Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne (ou enti`ere) d’un nombre entier, appel´e le dividende, par en nombre
entier diff´erent de z´ero, appel´e le diviseur, revient `a trouver deux nombres entiers, appel´es le quotient et
le reste v´erifiant :
Dividende = diviseur x quotient + reste
soit
D=dq +r avec 0≤r < d
1.3.2. Multiples et diviseurs
* On dit qu’un nombre entier a est un multiple d’un nombre entier b diff´erent de z´ero lorsque le reste de
la division euclidienne du nombre a par b est ´egale `a 0.
* On dit aussi que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.
1.3.3. Division d´ecimale
Lorsque l’on effectue une division d´ecimale, on obtient une valeur approch´ee du quotient tant que le reste
n’est pas nul.
Le quotient est dit exact lorsque le reste est nul.
1.3.4. Valeur approch´ee et arrondie
Ex : 14,9÷6 = 2,483
Valeur approch´ee par d´efaut (ou tronqu´ee) au dixi`eme : 2,4
Valeur approch´ee par exc`es au dixi`eme : 2,5
Valeur approch´ee arrondie au dixi`eme : 2,5.
1.3.5. Crit`eres de divisibilit´e
* Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unit´es est pair (2, 4, 6, 8) ou 0.
* Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est aussi divisible par 3.
* Un nombre est divisible par 4 si le nombre form´e des deux derniers chiffres (`a droite) est divisible par 4.
* Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unit´es est 0 ou 5.
* Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est aussi divisible par 9.
1.4. R`egles de calcul - Identifier une expression - Distributivit´e
1.4.1. R`egles de calcul
Pour calculer une expression comportant uniquement des additions ou uniquement des multiplications,
on peut effectuer les op´erations dans l’ordre que l’on veut.
Pour calculer une expression sans parenth`eses ne comportant que des multiplications et des divisions,
on effectue les calculs de gauche `a droite.
Pour calculer une expression sans parenth`eses, il faut effectuer les multiplications et les divisions avant
les additions et les soustractions.

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Pour calculer une expression avec parenth`eses, on effectue d’abord les calculs entre parenth`ese, en
commen¸cant par les parenth`eses les plus int´erieures.
1.4.2. Identifier une expression
Pour identifier une expression, on rep`ere la derni`ere op´eration `a effectuer.
Derni`ere op´eration `a
effectuer
une addition une soustraction une multiplication une division
L’expression est ... une somme une diff´erence un produit un quotient
1.4.3. Distributivit´e
Propri´et´es : k, a et b d´esignent des nombres :
k(a+b) = ka +kb = (a+b)k k(a−b) = ka −kb = (a−b)k
On dit que la multiplication est distributive par rapport `a l’addition et `a la soustraction.
2. LES FRACTIONS
2.1. Rappels -Fractions d´ecimales et ordre
2.1.1. ´ Ecriture fractionnaire d’un quotient
D´efinitions :
* Le quotient de a par b diff´erent de z´ero se note a
best une ´ecriture fractionnaire o`u a s’appelle le
num´erateur et b le d´enominateur.
* Lorsque a et b sont deux entiers naturels, b ´etant diff´erent de z´ero, l’´ecriture fractionnaire est appel´ee
fraction.
* Une fraction d´ecimale est une fraction dont le d´enominateur est ´egal `a 10, ou `a 100...
Propri´et´e :
L’´ecriture fractionnaire a
bpeut ˆetre ´egale :
* soit `a un nombre d´ecimal (entier ou non entier),
* soit un nombre qui n’est pas d´ecimal.
Remarque : Un nombre d´ecimal (ou entier) peut toujours s’´ecrire sous forme de fractions.
2.1.2. D´ecomposition standard des nombres d´ecimaux
Dans la d´ecomposition standard, la partie d´ecimale est une somme de fractions d´ecimales dont les
num´erateurs sont `a un chiffre.
Exemple : 23,251 = 23 + 2
10 +5 100 +1 1000
2.1.3. Quotients ´egaux
Le quotient de deux nombres ne change pas si l’on multiplie ou si l’on divise num´erateur et d´enominateur
par un mˆeme nombre diff´erent de z´ero.
k×a
k×b=a b(1)