Cours 6º et 5º - Partie ALG`EBRE

Cours 6º et 5º - Partie ALGÈBRE
Xavier MALEVILLE
10 de junio de 2010
Índice
1. LES NOMBRES ET LES OPÉRATIONS
1.1. Nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Additions, soustractions et multiplications de décimaux . .
1.2.1. Vocabulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Effectuer une addition ou une soustraction . . . . .
1.2.3. Multiplication et division par 10; 100; 1 000 . . . .
1.2.4. Multiplications par 0,1, par 0,01 et par 0,001 . . . .
1.3. Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Division décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4. Valeur approchée et arrondie . . . . . . . . . . . . .
1.3.5. Critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Règles de calcul - Identifier une expression - Distributivité
1.4.1. Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Identifier une expression . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. LES FRACTIONS
2.1. Rappels -Fractions décimales et ordre . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Écriture fractionnaire d’un quotient . . . . . . . . . . .
2.1.2. Décomposition standard des nombres décimaux . . . .
2.1.3. Quotients égaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4. Abscisse d’un point sur une droite graduée . . . . . . .
2.1.5. Comparer - Ranger - Encadrement . . . . . . . . . . .
2.1.6. Comparaison de deux nombres en écriture fractionnaire
2.1.7. Multiplier un nombre par une faction . . . . . . . . . .
2.2. Addition et soustraction - Multiplication . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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3
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7
Sixième-Cinquième 2010
Dr Xavier MALEVILLE
2
3. Quotients et pourcentage
3.1. Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
4. Gestion de données
4.0.1. Statistiques . . . . . . .
4.1. Représentations graphiques . .
4.2. Repérage du plan - Coordonnées
4.3. Proportionnalité . . . . . . . . .
8
8
8
8
9
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d’un
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point
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1.
Dr Xavier MALEVILLE
3
LES NOMBRES ET LES OPÉRATIONS
1.1.
Nombre décimal
Un nombre décimal, appartenant à l’ensemble noté D est la somme d’un nombre entier et d’un certain
nombre de dixièmes, de centièmes, de millièmes...
Les nombres décimaux s’écrivent avec les chiffres de 0 à 9, séparés par une virgule.
Tout nombre décimaux peut s’écrire : partie entière + décimale.
Remarques :
* un dixième s’écrit 0,1.
* un centième 0,01.
classe des mille
unité de mille
1.2.
Partie entière
classes des unités
Centaine Dizaine Unité
Partie décimale
dixième
centième
millième
Additions, soustractions et multiplications de décimaux
1.2.1.
Vocabulaires
Définitions :
* Le résultat d’une addition s’appelle une somme. Pour le calcul d’une somme, l’ordre des termes n’a pas
d’importance. On peut regrouper des termes pour faciliter le calcul.
* Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence.
* Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit de facteurs. Dans le calcul d’un produit, l’ordre
des facteurs n’a pas d’importance. On peut regrouper des facteurs pour faciliter le calcul.
1.2.2.
Effectuer une addition ou une soustraction
* En colonnes : On écrit les chiffres en colonnes avec les unités sous les unités.
* En lignes : On additionne d’abord les centièmes, puis les dixièmes, puis les unités et ainsi de suite en
faisant attention aux retenues.
1.2.3.
Multiplication et division par 10; 100; 1 000
Pour multiplier par 10, 100, 1000, il faut déplacer la virgule de 1, 2, ou 3 rangs (ou rajouter des zéros)
vers la droite.
Pour diviser par 10, 100, 1000, il faut déplacer la virgule de 1, 2, ou 3 rangs vers la gauche.
1.2.4.
Multiplications par 0,1, par 0,01 et par 0,001
* Pour multiplier par 0,1, par 0,01 et par 0,001, il faut déplacer la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche.
* Multiplier par 0,1, c’est diviser par 10. Multiplier par 0,01, c’est diviser par 100. Multiplier par 0,001, c’est
diviser par 1 000.
Sixième-Cinquième 2010
1.3.
Dr Xavier MALEVILLE
4
Division
1.3.1.
Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne (ou entière) d’un nombre entier, appelé le dividende, par en nombre
entier différent de zéro, appelé le diviseur, revient à trouver deux nombres entiers, appelés le quotient et
le reste vérifiant :
Dividende = diviseur x quotient + reste
soit
D = dq + r
avec
0≤r<d
1.3.2.
Multiples et diviseurs
* On dit qu’un nombre entier a est un multiple d’un nombre entier b différent de zéro lorsque le reste de
la division euclidienne du nombre a par b est égale à 0.
* On dit aussi que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.
1.3.3.
Division décimale
Lorsque l’on effectue une division décimale, on obtient une valeur approchée du quotient tant que le reste
n’est pas nul.
Le quotient est dit exact lorsque le reste est nul.
1.3.4.
Valeur approchée et arrondie
Ex : 14, 9 ÷ 6 = 2, 483
Valeur approchée par défaut (ou tronquée) au dixième : 2,4
Valeur approchée par excès au dixième : 2,5
Valeur approchée arrondie au dixième : 2,5.
1.3.5.
*
*
*
*
*
Un
Un
Un
Un
Un
Critères de divisibilité
nombre
nombre
nombre
nombre
nombre
1.4.
est
est
est
est
est
divisible
divisible
divisible
divisible
divisible
par
par
par
par
par
2
3
4
5
9
si
si
si
si
si
son chiffre des unités est pair (2, 4, 6, 8) ou 0.
la somme de ses chiffres est aussi divisible par 3.
le nombre formé des deux derniers chiffres (à droite) est divisible par 4.
son chiffre des unités est 0 ou 5.
la somme de ses chiffres est aussi divisible par 9.
Règles de calcul - Identifier une expression - Distributivité
1.4.1.
Règles de calcul
Pour calculer une expression comportant uniquement des additions ou uniquement des multiplications,
on peut effectuer les opérations dans l’ordre que l’on veut.
Pour calculer une expression sans parenthèses ne comportant que des multiplications et des divisions,
on effectue les calculs de gauche à droite.
Pour calculer une expression sans parenthèses, il faut effectuer les multiplications et les divisions avant
les additions et les soustractions.
Sixième-Cinquième 2010
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5
Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèse, en
commençant par les parenthèses les plus intérieures.
1.4.2.
Identifier une expression
Pour identifier une expression, on repère la dernière opération à effectuer.
Dernière opération à
effectuer
L’expression est ...
1.4.3.
une addition
une soustraction
une multiplication
une division
une somme
une différence
un produit
un quotient
Distributivité
Propriétés : k, a et b désignent des nombres :
k(a + b) = ka + kb = (a + b)k
k(a − b) = ka − kb = (a − b)k
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.
2.
LES FRACTIONS
2.1.
Rappels -Fractions décimales et ordre
2.1.1.
Écriture fractionnaire d’un quotient
Définitions :
a
est une écriture fractionnaire où a s’appelle le
* Le quotient de a par b différent de zéro se note
b
numérateur et b le dénominateur.
* Lorsque a et b sont deux entiers naturels, b étant différent de zéro, l’écriture fractionnaire est appelée
fraction.
* Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à 10, ou à 100...
Propriété :
a
peut être égale :
b
* soit à un nombre décimal (entier ou non entier),
* soit un nombre qui n’est pas décimal.
L’écriture fractionnaire
Remarque : Un nombre décimal (ou entier) peut toujours s’écrire sous forme de fractions.
2.1.2.
Décomposition standard des nombres décimaux
Dans la décomposition standard, la partie décimale est une somme de fractions décimales dont les
numérateurs sont à un chiffre.
Exemple : 23, 251 = 23 +
2.1.3.
5
1
2
+
+
10 100 1000
Quotients égaux
Le quotient de deux nombres ne change pas si l’on multiplie ou si l’on divise numérateur et dénominateur
par un même nombre différent de zéro.
k×a
a
(1)
=
k×b
b
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6
Exemple :
12
3×4
3
=
=
20
4×5
5
(2)
Simplifier une fraction signifie trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont
plus petits.
Lorsqu’une fraction ne peut pas être simplifiée, on dit qu’elle est irréductible.
Une proportion est représentée par une égalité entre deux quotients.
2.1.4.
Abscisse d’un point sur une droite graduée
Sur une droite graduée, chaque point peut être repéré par un nombre appelé l’abscisse de ce point. L’axe
des abscisses est l’axe horizontal.
2.1.5.
Comparer - Ranger - Encadrement
* Comparer deux nombres, c’est montrer qu’ils sont égaux, ou que l’un d’eux est plus grand que l’autre.
* Ranger des nombres dans l’ordre croissant, c’est les ranger du plus petit au plus grand.
* Ranger des nombres dans l’ordre décroissant, c’est les ranger du plus grand au plus petit.
* Encadrer un nombre, c’est donner à ce nombre une valeur inférieure et une valeur supérieure.
Exemple : 23,251
* à l’unité près : 23 < 23, 251 < 24
* au dixième près : 23, 2 < 23, 251 < 23, 3
* au centième près :23, 25 < 23, 251 < 23, 26
2.1.6.
Comparaison de deux nombres en écriture fractionnaire
Lorsque deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur, le plus petit est celui qui a le
plus petit numérateur.
Lorsque deux nombres en écriture fractionnaire ont le même numérateur, le plus petit est celui qui a le
plus grand dénominateur.
La fraction est strictement supérieure à 1 si le numérateur est strictement supérieur au dénominateur et elle
est strictement inférieure à 1 si le numérateur est strictement inférieur au dénominateur
2.1.7.
Multiplier un nombre par une faction
Pour multiplier une fraction
a
par un nombre k donné différent de zéro, on peut :
b
soit multiplier ce nombre k par a puis diviser le résultat par b :
k×a
b
soit diviser ce nombre k par b puis multiplier le résultat par a :
k
×a
b
soit effectuer la division de a par b puis le résultat sera multiplié par k (la moins utilisée)
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2.2.
2.2.1.
Dr Xavier MALEVILLE
7
Addition et soustraction - Multiplication
Addition et soustraction
a, b, c et d sont des nombres relatifs avec b et d différents de zéro.
* Les dénominateurs sont les mêmes :
Pour calculer la somme ou la différence de deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :
- on additionne ou soustrait les numérateurs,
- on garde le même dénominateur.
c
a+c
a
+ =
b b
b
et
a
c
a−c
− =
b b
b
avec
b 6= 0
(3)
Exemple :
2+1
3
2 7
2−7
−5
2 1
+ =
=
et
− =
=
(4)
5 5
5
5
3 3
3
3
* Les dénominateurs sont différents :
On réduit les quotients au même dénominateur (dénominateur commun) puis on applique les règles précédentes.
Exemple :
1 1
+
9 6
Méthode 1 : Dénominateur commun : Pour pouvoir effectuer 9 il faut un 3 et un 3 , et pour 6 un
3 et un 2. De ce faı̂t, le dénominateur commun noté D.C est 3 × 3 × 2 = 18
2
3
5
1 1
+ =
+
=
9 6
18 18
18
Méthode 2 : Décomposition en facteurs premiers : Pour cette méthode, on utilise la liste des nombres premiers et les critères de divisibilité
9
3
1
Donc : 6 = 2 × 3
et
3
3
1
6
3
1
2
3
9=3×3
Méthode 3 : Multiples des dénominateurs : Pour cette technique, il faut écrire la liste des multiples
de chaque nombre :
Multiples de 6 : 6, 12, 18 , 24, ...
Multiples de 9 : 9, 18 , 27, 36, ...
Le dénominateur commun est donc 18.
Remarque : On donnera toujours le résultat sous la forme la plus simplifiée (fraction irréductible).
2.2.2.
Multiplication
Pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux
et les dénominateurs entre eux.
c
ac
a
× =
b d
bd
avec
b 6= 0 et d 6= 0
(5)
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Remarques :
* Avant de multiplier, on pensera toujours à simplifier.
* Prendre une fraction de fraction, c’est multiplier ces deux fractions entre elles.
Ex :
3
5
3×5
1
× =
=
25 9
5×5×3×3
15
3.
3.1.
Quotients et pourcentage
Quotients
n
On considère deux nombres n et d. Le quotient de n par d est un nombre noté . Si on le multiplie par d
d
n
on trouve n : d × = n.
d
3.2.
Pourcentage
On considère un nombre a :
a% =
a
= a ÷ 100
100
Un pourcentage est une situation de proportionnalité.
* Exemple : Prendre 20 % d’un nombre revient à multiplier ce nombre par
4.
4.0.1.
20
= 0, 2.
100
Gestion de données
Statistiques
Une étude statistique consiste à rassembler des données sur différents phénomènes. On présente les résultats
sous forme de graphiques ou de tableaux.
4.1.
Représentations graphiques
* Les diagrammes en bâtons, ou en barres (ou en rectangles) :
On peut représenter les réponses par des segments dont la longueur est proportionnelle au nombre d’élèves
(effectif) de chaque catégorie.
* Les diagrammes circulaires ou semi-circulaires :
On peut représenter les réponses par catégorie, l’angle au centre est proportionnel au nombre d’élèves
correspondants.
* Les graphiques cartésiens :
Chaque couple de valeurs est représenté par un point. Les points peuvent être reliés par des segments.
4.2.
Repérage du plan - Coordonnées d’un point
* Deux droites graduées perpendiculaires (droites qui forment un angle droit (90°)) de même origine O
constituent un repère du plan. L’axe horizontal est l’axe des abscisses, l’axe vertical est l’axe des
ordonnées.
* Chaque point du plan peut être repéré par deux nombres appelés les coordonnées du point. Les coordonnées d’un point s’écrivent entre parenthèses. La première coordonnée, lue sur l’axe horizontal, s’appelle
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l’abscisse du point; le seconde, lue sur l’axe vertical, s’appelle l’ordonnée du point. On met toujours
l’abscisse avant l’ordonnée.
4.3.
Proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut calculer l’une en multipliant (ou en divisant) l’autre par
un nombre, toujours le même, appelé coefficient de proportionnalité.