version pdf - Centre de mathématiques Laurent Schwartz

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Topologie diérentielle
Patrick Massot
2016

Table des matières
1. Variétés différentiables 9
1.1. Variétés et sous-variétés ............................ 9
1.2. Applications différentiables .......................... 11
1.3. Quotients et recollements ........................... 12
1.3.1. Quotient par une action propre et libre ............... 12
1.3.2. Recollements .............................. 14
1.4. Exercices .................................... 14
2. Fibrés 17
2.1. Espaces fibrés .................................. 17
2.2. Foncteur tangent ................................ 19
2.3. Opérations sur les fibrés vectoriels ...................... 22
2.4. Orientations ................................... 23
2.5. Exercices .................................... 23
3. Sous-variétés et plongements 25
3.1. Partitions de l’unité et plongements ..................... 25
3.2. Voisinages tubulaires .............................. 27
3.3. Variétés à bord ................................. 29
3.4. Exercices .................................... 31
4. Transversalité 33
4.1. Transversalité et images réciproques ..................... 33
4.2. Théorème de Sard ............................... 35
4.3. Théorème de transversalité de Thom ..................... 37
4.4. Théorie de l’intersection ............................ 41
4.5. Exercices .................................... 43
5. Théorie de Morse 45
5.1. Hessienne .................................... 45
5.2. Fonctions de Morse ............................... 47
5.3. Pseudo-gradients ................................ 50
5.3.1. Lemme de descente des valeurs critique ............... 52
5.3.2. Lemme de modification des nappes .................. 54
5.4. Fonctions de Morse ordonnées et scindements de Heegaard ......... 54
6. Formes différentielles et intégration 57
6.1. Applications multilinéaires ........................... 59
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Table des matières
6.2. Formes différentielles .............................. 60
6.2.1. Définition ................................ 60
6.2.2. Image réciproque ............................ 61
6.2.3. Formes différentielles à support compact ............... 62
6.3. Intégration ................................... 62
6.4. Dérivée extérieure et formule de Stokes .................... 65
6.4.1. Dérivée extérieure sur un espace ane ................ 65
6.4.2. Théorème des accroissements finis et formule de Stokes ....... 72
6.4.3. Dérivée extérieure sur une variété ................... 74
6.5. Exercices .................................... 76
7. Cohomologie de de Rham 79
7.1. Rudiments d’algèbre homologique ....................... 80
7.2. Cohomologie de de Rham ........................... 81
7.3. Cohomologie à support compact ....................... 85
7.4. Exercices .................................... 85
8. Suites exactes longues en cohomologie 89
8.1. Suites exactes courtes et longues ....................... 90
8.2. Suite exacte de Mayer-Vietoris ........................ 95
8.3. Suite exacte des paires de variétés ...................... 97
8.4. Exercices .................................... 99
9. Finitude, dualité et produits 101
9.1. Le lemme des cinq ...............................101
9.2. Variétés de type fini ..............................103
9.3. Dualité de Poincaré ...............................105
9.4. Théorème de Künneth .............................108
10.Intersection en cohomologie de de Rham 111
10.1. Intersection et dualité de Poincaré ......................111
10.2. Formule de décomposition de la diagonale ..................116
10.3. Théorème de Lefschetz .............................118
A. Rappels de topologie 119
B. Rappels de géométrie et calcul différentiel 121
B.1. Actions de groupe ...............................121
B.2. Formes quadratiques ..............................122
B.3. Applications différentiables entre espaces anes ...............122
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La topologie différentielle est l’étude des propriétés globales d’espaces localement mo-
delés sur 𝑛en s’appuyant sur le calcul différentiel. Parmi les premiers résultats de cette
théorie, le plus célèbre est probablement le théorème de la boule chevelue de Brouwer :
il est est impossible de peigner continûment une sphère de dimension deux sans faire
d’épi.
La sphère de dimension deux est localement constituée de morceaux de plans 2
déformés. Depuis Riemann, on dit qu’il s’agit d’une variété. Il est bien sûr possible de
peigner un plan sans épi donc le théorème de la boule chevelue n’est pas un résultat
local. De plus il n’a rien à voir avec la géométrie de la sphère, on peut déformer la sphère
sans changer la conclusion : un ballon de rugby n’est pas plus peignable qu’un ballon de
football. Par contre il est facile de peigner une bouée. Pour achever de se convaincre de
la subtilité de ce théorème, il est instructif de chercher à peigner une boule en ne faisant
qu’un seul épi et non deux comme lors de la plupart des premières tentatives.
Bernhard Riemann Luitzen Brouwer
En termes un peu plus précis, le théorème arme qu’il n’y a pas de champ de vecteurs
(continu) sur la sphère 2partout tangent à la sphère et qui ne s’annule pas. Une façon
de démontrer ce théorème consiste à considérer un chemin 𝑡de champs de vecteurs
entre un modèle 0qui s’annule aux pôles et un hypothétique champ 1ne s’annulant
nulle part. Le point crucial est que, quitte à perturber très légèrement ce chemin, on
peut supposer que l’ensemble des paires  dans 2 telles que 𝑡  est
une courbe compacte orientée qui rentre dans 2le long de 2aux pôles.
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