Sur la b-fonction

Séminaire Équations aux dérivées
partielles – École Polytechnique
M. K ASHIWARA
Sur la b-fonction
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (1974-1975), exp. no 25,
p. 1-4
<http://www.numdam.org/item?id=SEDP_1974-1975____A23_0>
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I’COLE
POLYTECHNIQITE
CENTRE DE
1?~
rue
75230
Descartes
Paris Cec’ex 05
SEMINAIRE
GOULAOUIC-LIONS-SCHWARTZ
1 9 7 4 - 1 9 7 5
SUR LA b-FONCTION
par M. KASHIWARA
Exposé n°
XXV
28 Mai
1975
XXV.1
§
INTRODUCTION
0.
Soient X
variété lisse et f
une
une
régulière
fonction
sur
X.
polynômes b(s) d’une variable s tel qu’il existe un
P(s) = E P.(x,D x sj satisfaisant
b(s)fs est un idéal
opérateur
p
J
de flsi. On appelle son générateur la b-fonction de f(X) et on écrit
L’ensemble des
bf ~ s) .
Sato
M.
et "c-fonction"
§-fonctions
introduit les notions de
a
quand
associées
préhomogenes.
généralisé
ce
étudié les transformées de Fourier et les
introduit
polynôme
aux
a
sa
Soient X’
une
fonction
b(s)
de
non
Sato, la b-fonction
nulle.
J.
E.
Bjork
holomorphes.
théorème
suivant :
variété lisse, F : X’ - X
centre contenu dans les zéros de f, et f’
pour
des espaces vectoriels
sur
indépendamment
fonctions
démontré le
a
"a-fonction", "b-fonction"
invariants relatifs
a
résultat
L’auteur
Théorème :
a
aux
Bernstein
et démontré que tout
a
il
=
fof.
un
éclatement de
Alors
entier N ~ 0.
un
Les racines de la b-fonction sont des nombres rationnels
Corollaire :i
négatifs.
En effet,
à
croisements
On
il existe
=
s
1"
donne pas ici
la démonstration du
on
donnera
celle du
théorème à cause du
théorème suivant qui
longue .
Théorème :
P(s)
-JI
Si
manque de temps. A la place,
est moins
éclatement F: X’ ~ X tel que f’ soit
0.
~
-
normaux.
ne
un
Il existe localement
Pi(x,Dx)si
j
x
tel
qu’on
ait
un
polynôme b(s)
non
nul
et
un
opérateur
XXV.2
§
LES RESULTATS FONDAMENTAUX DES SYSTEMES D’EQUATIONS AUX DERIVEES
1.
PARTIELLES
On donnera ici
les
propriétés
D-modules
des
cohérents
sans
démonstration.
2X
Soient
à
le faisceau d’anneaux des
coefficients holomorphes
une
variété complexe lisse X,
opérateurs différentiels
faisceau des
cohérent et
sur
germes sont
ses
un
opérateurs différentiels
d’ordre
1. ex
est
noéthérien. Soit n
anneau
cohérent. La filtration croissante
de UR est dite
le
un
un
anneau
D-module
une
bonne
filtration si
i)
les TJL
sont des
0X-modules
cohérents
Soit T X le fibre vectoriel
support
du
O *
-
de X.
On dit que le
est la variété caractéristi-
module
k-1 k
T X
que de n et
cotangent
co
,
k-1
SS(m). Elle ne dépend pas du choix des bonnes
variété caractéristique est toujours involutive.
notée
es
filtrations. Une
i)
Proposition :
codim
.
k
-
ii)
0 pour
iii)
k
codim
contient toutes les
composantes
A
irréductibles de SS(
Soit V
he
V.
est
La
une
au
au
codimension k.
point générique
point générique
multiplicité
suite
de
variété irréductible dans T X. On suppose que
une
est contente dans V
~D (g k/Dk-1 )
TR)
exacte,
est
la
de V.
La
de V est dite la
quantité additive
multiplicité de m est
une
multiplicité de
multiplicité de n
:i si 0 ~ ~’ ~ Tf! -~
une
somme
le
long
-
de celles de
~ et TJ~.
D-module cohérent. Posons
a) rJ
Alors. est un D-module
Soit m
J]1_
r
"
En effet,
un
.
on
peut construire m r cohomologiquement,
cohérent.
0
XXV.3
dimensions des variétés
x est
caractéristiques
sont
égales à
celles de
les
X),
espace vectoriel de dimension finie sur C pour tout
un
de X.
point
x
§
L’EXISTEN CE DE b-FONCTIONS
2.
D-modules holonomes (c’est-à-dire
Si m, n sont des
Proposition :
Soient X
holomorphe
sur
X.
variété lisse de dimension n,
une
f
une
fonction
On suppose que
i)
...
af/àxn =
=
0)
est contenu dans l’ensemble des
’
zéros de f.
ii)
Il existe
de vecteurs
champ
un
Xo
tel
qu’on
ait Xof = f.
,v
!J1 est
engendré
par
fs (par
variété
La
ne
Soit M’
un
fs
n - lj .
en
un
dont le
entier
m
est sous-holonome.
l’homomorphisme
t,
et
est
en
une
dérivée
dehors des zéros de f.
un ~-module
Dlel correspondant à fs E
dire que
on
support est
tel que
obtient la
fm.f s
=
0,
a
une
proposition :
suite exacte
Parce que
qui équivaut à
isomorphes par
ce
est holonome.
On
sous-
contenu dans les
et 91 sont
Proposition
Démonstration :
là où
dehors des zéros de f.
l’élément de
il existe
sa
1).
est sous-holonome
O-module cohérent
zéros de f,
n +
est évidente
proposition
égale
Soit
est
est de dimension
codim
holonome et
(c’est-à-dire
&ous-holonome
s’annule-pas.
=
P(s)fs -+
de M défini par
un
caractéristique
Démonstration :
de f
est
: R
Proposition
.3 -module cohérent,
propriété ii)).
la
l’endomorphisme
Soit t
un
XXV.4
chaque composante irréductible de la variété caractéristique de 91, la
multiplicité de M est zéro, alors la variété caractéristique de M ne contint
A
de celle de N donc est de
composante
aucune
n+1, c’ est-a-dire
dimension
n.
Théorème :
b(s)
non
Pour toute fonction
nul tel
holomorphe f,
il existe
un
polynôme
ait
on
qu’
qu’on
Démonstration
A)
Dans le
Parce
cas
s’annule
s
#f(t,x)
possède
un
propriété ii)
la
a
la
:
est holonome, End
point
x.
Donc, il existe
un
polynome b(s)
cas
non
nul
qui
général :
holomorphe sur t x X définie par tf(x) . f (t,x)
propriété (ii). Donc, il existe un polynôme b(s) non nul et
la fonction
opérateur différentiel
P(t,x,D ,D )
tel ue
b(s)r
la
de
de dimension
2
E
Dans le
Soit
f
q ue
finie pour tout
B)
où
degré -1
par
rapport à
t.
Alors,
on
=
partie
homogène
a
Q.E.D.
de P