Electromagnétisme et relativité restreinte

Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité
restreinte »
0. Rappels de relativité restreinte
1.  Electromagnétisme et relativité restreinte
2.  Formalisme quadridimensionnel
3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme
4.  Electrodynamique des particules rapides
5.  Applications
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Electromagnétisme et relativité
restreinte
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 
 
Ceci est plus un cours introductif « avec les mains » qu’un cours
détaillé
Ne pas vous imaginer que cela remplace un bon cours de M2…
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Electromagnétisme et relativité
restreinte
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Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité
restreinte »
0. Rappels de relativité restreinte
1.  Electromagnétisme et relativité restreinte
2.  Formalisme quadridimensionnel
3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme
1.  Le tenseur électromagnétique
2.  Les équations de Maxwell
3.  Transformation des champs
4.  Invariants du champ électromagnétique
4.  Electrodynamique des particules rapides
5.  Applications
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Electromagnétisme et relativité
restreinte
60
 
⎛ 0
E x /c E y /c Ez /c ⎞
Dans le cours de mécanique, vous avez
⎜
⎟
−
E
/c
0
−
B
B
x
z
y ⎟
vu le tenseur électromagnétique :
(Fµν ) = ⎜
⎜− E y /c
Bz
0
− Bx ⎟
  Ceci se montre à l’aide du principe
⎜
⎟
Bx
0 ⎠
de moindre action, du lagrangien
⎝ − Ez /c − By
d’une particule libre et du
lagrangien d’une particule chargée dans un champ
€
 
C’est un tenseur antisymétrique caractérisé par 6 composantes non
nulles
Fµν = − Fνµ
 
Les composantes de E et B ne sont pas des vecteurs de l’espace€ les composantes du tenseur EM. C’est la
temps, mais simplement
raison pour laquelle E et B « se mélangent » dans une TL
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Qu’est-ce qu’un tenseur antisymétrique ?
 
Un tenseur du 2e ordre contravariant est un objet mathématique à
16 composantes Tµν (µ et ν variant de 0 à 3) qui dans un changement
de référentiel se comporte comme :
T ʹ′µν = Λµα Λνβ T αβ
 
 
Il sera symétrique si Tµν = Tνµ et antisymétrique si Tµν = - Tνµ
  Tout tenseur peut être décomposé en la somme d’un tenseur
€
symétrique et d’un tenseur antisymétrique
  Les caractères de symétrie (ou d’anti) sont invariants par TL
Les tenseurs antisymétriques jouent un rôle particulier en EM. Les
4 composantes sur la diagonale principale sont nulles et les 12
autres sont égales 2 à 2 : il faut 6 composantes indépendantes pour
caractériser un tenseur antisymétrique
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⎛ 0
E x /c E y /c Ez /c ⎞
⎜
⎟
−
E
/c
0
−
B
B
x
z
y
⎟
(Fµν ) = ⎜
⎜− E y /c
Bz
0
− Bx ⎟
⎜
⎟
−
E
/c
−
B
B
0
y
x
⎝ z
⎠
 
Les composantes spatiales de (Fµν) sont liées à B, ses composantes
temporelles sont liées à E
€
 
On peut donner une forme contravariante au tenseur EM :
Fµν = gµρ F ργ gγν
 
⎛ 0
− E x /c − E y /c − Ez /c ⎞
⎜
⎟
E
/c
0
−
B
B
x
z
y
⎟
⇒ (F µν ) = ⎜
⎜ E y /c
Bz
0
− Bx ⎟
⎜
⎟
E
/c
−
B
B
0
y
x
⎝ z
⎠
Les deux tenseurs (Fµν) et (Fµν) sont antisymétriques
€
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 
Le tenseur EM a été construit avec :
Fµν =
 
∂Aµ ∂Aν
−
ν
∂x
∂x µ
où Aµ représente les coordonnées covariantes du QV potentiel
€
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0. Rappels de relativité restreinte
1.  Electromagnétisme et relativité restreinte
2.  Formalisme quadridimensionnel
3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme
1.  Le tenseur électromagnétique
2.  Les équations de Maxwell
3.  Transformation des champs
4.  Invariants du champ électromagnétique
4.  Electrodynamique des particules rapides
5.  Applications
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La recette
∂Aµ ∂Aν
Fµν =
−
ν
∂x
∂x µ
 
On montre (assez) facilement que pour 3 indices i, k et l :
€
 
⇒
∂Fik ∂Fkl ∂Fli
+
+
=0
l
i
k
∂x
∂x ∂x
Le 1er membre de cette équation est un tenseur d’ordre 3,
antisymétrique€dans l’échange de ses indices
  Il est donc évident (!) que ses seules composantes non nulles
sont obtenues pour 3 indices i, k et l différents à prendre parmi
0, 1, 2 et 3
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Les équations de Maxwell
(1/3)
 
⎛ 0
E x /c E y /c Ez /c ⎞
⎜
⎟
−
E
/c
0
−
B
B
x
z
y
⎟
(Fµν ) = ⎜
⎜− E y /c
Bz
0
− Bx ⎟
⎜
⎟
−
E
/c
−
B
B
0
y
x
⎝ z
⎠
En prenant les 3 indices (1, 2, 3), on obtient :
∂F12 ∂F€23 ∂F31
+
+
=0
3
1
2
∂x
∂x
∂x
 
∂(− Bz ) ∂ (− Bx ) ∂(− By )
⇒
+
+
= 0 ⇒ ∇.B= 0
€ ∂z
∂x
∂y
 
On retrouve (MΦ)
€
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Les équations de Maxwell
(2/3)
 
⎛ 0
E x /c E y /c Ez /c ⎞
⎜
⎟
−
E
/c
0
−
B
B
x
z
y
⎟
(Fµν ) = ⎜
⎜− E y /c
Bz
0
− Bx ⎟
⎜
⎟
−
E
/c
−
B
B
0
y
x
⎝ z
⎠
En prenant les 3 indices (0, 1, 2), on obtient :
€
∂F01 ∂F12 ∂F20
∂(E x /c) ∂ (− Bz ) ∂(− E y /c)
+
+
=0 ⇒
+
+
=0
2
0
1
∂y
∂ (c t)
∂x
∂x
∂x
∂x
€
 
⇒
∂E y ∂E x
∂B
−
=− z
∂x
∂y
∂t
Projection de (MF)
sur Oz
On obtient les autres
projections de (MF) avec (0, 1, 3) et (0, 2, 3)
€
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Les équations de Maxwell
(3/3)
 
⎛ 0
E x /c E y /c Ez /c ⎞
⎜
⎟
−
E
/c
0
−
B
B
x
z
y
⎟
(Fµν ) = ⎜
⎜− E y /c
Bz
0
− Bx ⎟
⎜
⎟
−
E
/c
−
B
B
0
y
x
⎝ z
⎠
On montre (MA) et (MG) à l’aide de calculs un peu plus ardus
€
 
On retrouve les équations de Maxwell à partir des propriétés du
tenseur EM, lui même obtenu à partir du lagrangien d’une particule
dans un champ
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restreinte »
0. Rappels de relativité restreinte
1.  Electromagnétisme et relativité restreinte
2.  Formalisme quadridimensionnel
3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme
1.  Le tenseur électromagnétique
2.  Les équations de Maxwell
3.  Transformation des champs
4.  Invariants du champ électromagnétique
4.  Electrodynamique des particules rapides
5.  Applications
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 
On considère (R’) en mru wrt (R). En utilisant les lois de
transformation du QV potentiel à l’aide du tenseur EM, on montre
après des calculs fastidieux que :
⎧ Bʹ′ = B
⎧Eʹ′ = E
x
x
x
⎪ x
⎪
1
⎨ Eʹ′y = γ u ( E y − u Bz ) et ⎨ Bʹ′y = γ u (By + u Ez /c2 ) avec γ u =
2 /c 2
⎪
⎪
1−
u
2
⎩ Eʹ′z = γ u ( Ez + u By )
⎩ Bʹ′z = γ u (Bz − u E y /c )
 
€
 
ou de manière équivalente :




⎧ B//ʹ′ = B//
⎧ E//ʹ′ = E//
et ⎨ 

⎨ 

 
 
ʹ′ = γ u ( E⊥ + u × B⊥ )
ʹ′ = γ u ( B⊥ − u × E⊥ /c2 )
⎩E⊥
⎩B⊥
Contrairement aux transformations des coordonnées, la
composante
orthogonale du champ est affectée par la TL
€
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 
 
Ces formules montrent à nouveau que les champs E et B sont des
grandeurs physiques relatives au référentiel dans lequel elles sont
mesurées
Notamment, l’un des deux peut ne pas exister dans un référentiel
et exister dans un autre
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Transformation relativiste des champs
 
Le champ électrique transverse
d’une particule en mouvement
subit une amplification d’un
facteur γ dans le référentiel du
laboratoire
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Limite non relativiste
 
On montre facilement qu’au 1er ordre en u/c, on a :

  
Eʹ′ ≈ E + u × B et
 
et que :
€
 

  u × Eʹ′
Bʹ′ ≈ B − 2
c
 

µ 0 q u × uPM
B(M ) ≈
4π
r2
Pour une distribution continue :
€ 

J (P) = ρ (P) u et



µ0
J (P) × uPM
B(M ) ≈
dV
∫∫∫ Distribution
2
4π
r
On retombe sur « Biot et Savart » ! C’est la conséquence de
er
€ l’approximation au 1 ordre de la transformation relativiste des
champs
 
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restreinte »
0. Rappels de relativité restreinte
1.  Electromagnétisme et relativité restreinte
2.  Formalisme quadridimensionnel
3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme
1.  Le tenseur électromagnétique
2.  Les équations de Maxwell
3.  Transformation des champs
4.  Invariants du champ électromagnétique
4.  Electrodynamique des particules rapides
5.  Applications
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 
 
Des propriétés physiques sont représentées par la disposition des
éléments dans le tenseur électromagnétique
Par exemple, on peut former 2 invariants par TL à partir de (Fµν) :
  La trace du carré (vrai scalaire) :
Fµν F µν
2
 
2
=B −
E2
c2
ijkl
 
Fij Fkl = E . B
La contraction (pseudo-scalaire) : ε
  où εijkl est €
le tenseur unité de rang 4 antisymétrique (seules
ses composantes dont les 4 indices diffèrent sont ≠ 0) :
toutes les valeurs se déduisent
par un nombre pair (+1) ou
€
impair (-1) de transpositions depuis ε1234 = 1
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 
On a donc montré que lors du passage de (R) à (R’) :
   
E . B = Eʹ′ . Bʹ′ et E 2 − B2 c2 = Eʹ′2 − Bʹ′2 c2
 
Conséquences :
  Si E > Bc (ou E < Bc) dans (R), il en sera de même dans tout
€
référentiel (R’)
  Si E et B sont orthogonaux dans (R)
  Soit ils sont également orthogonaux dans (R’)
  Soit l’un des deux est nul dans (R’) : E’=0 (si E2-B2c2>0) ou
B’=0 (si E2-B2c2>0) 
2
2 2
  Si dans (R) à la fois E . B = 0 et E − B c = 0
alors E et B sont
orthogonaux dans tout référentiel et vérifient E = Bc
  Si dans (R), E = Bc, alors il en est de même dans tout référentiel
(R’)
€
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Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité
restreinte »
0.
1. 
2. 
3. 
Rappels de relativité restreinte
Electromagnétisme et relativité restreinte
Formalisme quadridimensionnel
Formulation covariante de l’électromagnétisme
4.  Electrodynamique des particules rapides
1.  Relativité appliquée à des particules ultra relativistes
2.  Cas d’un champ électromagnétique
3.  Cas d’un champ électrique constant
4.  Cas d’un champ magnétique constant
5.  Applications
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Electromagnétisme et relativité
restreinte
78
Hautes énergies et relativité restreinte
 
 
Les particules considérées en
physique des hautes énergies sont
ultra relativistes
  Relativité restreinte
  Le référentiel en mouvement est
celui de la particule
  Le référentiel immobile est celui
du laboratoire
Energie et impulsion vérifient
E = m γ c2
v pc
β= =
c E
et
Facteur de Lorentz
p= mγ β c≈ mγ c
1
1− β 2
γp =
3500
≈ 3730
0,938
ou des électrons de 50 GeV :
γe =
50000
≈ 98000
0,511
γ=
€
  Par exemple, pour des protons de 3,5 TeV
€
€ de Physique
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€ et relativité
Electromagnétisme
restreinte
79
Quelques ordres de grandeur
 
 
A notre échelle l’énergie d’une particule est très faible :
  Exemple du LHC : 3.5 TeV
  ⇒ ELHC = 7 1012 eV
  Exemple d’une abeille « lancée » à pleine vitesse (1 g = 5,8 1032
eV/c2 et v = 1 m/s)
  ⇒ EAbeille = 10-3 J = 6,25 1015 eV
Mais l’énergie totale stockée peut être très élevée :
  Exemple du LHC : 1014 protons
  ⇒ EBeam = 1014 x 7 1012 ≈ 108 J
  Ceci correspond à l’énergie d’un camion de 100 t lancé à 120
km/h
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Electromagnétisme et relativité
restreinte
80
Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité
restreinte »
0.
1. 
2. 
3. 
Rappels de relativité restreinte
Electromagnétisme et relativité restreinte
Formalisme quadridimensionnel
Formulation covariante de l’électromagnétisme
4.  Electrodynamique des particules rapides
1.  Relativité appliquée à des particules ultra relativistes
2.  Cas d’un champ électromagnétique
3.  Cas d’un champ électrique constant
4.  Cas d’un champ magnétique constant
5.  Applications
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Electromagnétisme et relativité
restreinte
81
 
 
 
Quel est le mouvement d’une particule chargée rapide dans une
zone où règnent des champs E et B ?
On suppose qu’une charge q se déplace rapidement à une vitesse v =
βc (// Ox) dans une zone où règnent des champs E et B
Dans le référentiel (R’) se déplaçant à la vitesse βc, la particule est
momentanément au repos
  C’est un problème de physique classique !
  On ne considère que 2 directions : Ox et Oy (Oz se déduira
facilement de Oy)
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Electromagnétisme et relativité
restreinte
82
 
 
 
Pendant le temps (très court) entre t’ = 0 et t’ = Δt’, la particule
accélère d’une impulsion p’ = 0 à p’x = Δp’x = q E’x Δt’ et p’y = Δp’y = q
E’y Δt’
On pourrait montrer que l’énergie cinétique de la particule (très
faible si Δt’ est petit) n’est que du 2e ordre et que l’énergie à t’ =
Δt’ reste mc2 au 2e ordre également
  De la même façon, on néglige l’influence de B
On utilise une TL pour obtenir les expressions de l’impulsion à t = 0
et t = Δt
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Electromagnétisme et relativité
restreinte
83
 
A t = 0, on obtient :
c px = γ (c pʹ′x + β m c2 ) = γ β m c2
 
Après l’accélération, à t = Δt, on obtient :
c px = γ (c q Eʹ′x Δtʹ′ + β m c2 ) et c py = c q Eʹ′y Δtʹ′
€
 
La variation de l’impulsion entre t = 0 et t = Δt est donc :
€
 
et c py = c pʹ′y = 0
Δpx = γ q Eʹ′x Δtʹ′ et Δpy = q Eʹ′y Δtʹ′
La particule est presque au repos dans (R’), donc on peut assimiler
€
Δt’ à un temps
propre :
Δt = γ Δtʹ′
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€
Electromagnétisme et relativité
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84
Δpx = γ q Eʹ′x Δtʹ′ et Δpy = q Eʹ′y Δtʹ′
 
Il reste finalement :
€
 
Δpx
= q Eʹ′x
Δt
et
€
Δpy
Δt
=
q
Eʹ′y
γ
Soit en utilisant la transformation relativiste des champs :
€
 
Δt = γ Δtʹ′
Δpx
= q Ex
Δt
et
Δpy
Δt
= q ( E y − β c Bz )
Δpz
= q ( E z + β c By )
Δt
On montrerait de la même manière que
€
 
En définissant la force relativiste par le taux de variation de
l’impulsion relativiste, il reste : €
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 dp
  
Force de Lorentz
F=
= q E +v ×B
dt Electromagnétisme et relativité
85
(
)
restreinte
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0.
1. 
2. 
3. 
Rappels de relativité restreinte
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Formalisme quadridimensionnel
Formulation covariante de l’électromagnétisme
4.  Electrodynamique des particules rapides
1.  Relativité appliquée à des particules ultra relativistes
2.  Cas d’un champ électromagnétique
3.  Cas d’un champ électrique constant
4.  Cas d’un champ magnétique constant
5.  Applications
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