Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte » 0. Rappels de relativité restreinte 1. Electromagnétisme et relativité restreinte 2. Formalisme quadridimensionnel 3. Formulation covariante de l’électromagnétisme 4. Electrodynamique des particules rapides 5. Applications Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 58 Ceci est plus un cours introductif « avec les mains » qu’un cours détaillé Ne pas vous imaginer que cela remplace un bon cours de M2… Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 59 Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte » 0. Rappels de relativité restreinte 1. Electromagnétisme et relativité restreinte 2. Formalisme quadridimensionnel 3. Formulation covariante de l’électromagnétisme 1. Le tenseur électromagnétique 2. Les équations de Maxwell 3. Transformation des champs 4. Invariants du champ électromagnétique 4. Electrodynamique des particules rapides 5. Applications Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 60 ⎛ 0 E x /c E y /c Ez /c ⎞ Dans le cours de mécanique, vous avez ⎜ ⎟ − E /c 0 − B B x z y ⎟ vu le tenseur électromagnétique : (Fµν ) = ⎜ ⎜− E y /c Bz 0 − Bx ⎟ Ceci se montre à l’aide du principe ⎜ ⎟ Bx 0 ⎠ de moindre action, du lagrangien ⎝ − Ez /c − By d’une particule libre et du lagrangien d’une particule chargée dans un champ € C’est un tenseur antisymétrique caractérisé par 6 composantes non nulles Fµν = − Fνµ Les composantes de E et B ne sont pas des vecteurs de l’espace€ les composantes du tenseur EM. C’est la temps, mais simplement raison pour laquelle E et B « se mélangent » dans une TL Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 61 Qu’est-ce qu’un tenseur antisymétrique ? Un tenseur du 2e ordre contravariant est un objet mathématique à 16 composantes Tµν (µ et ν variant de 0 à 3) qui dans un changement de référentiel se comporte comme : T ʹ′µν = Λµα Λνβ T αβ Il sera symétrique si Tµν = Tνµ et antisymétrique si Tµν = - Tνµ Tout tenseur peut être décomposé en la somme d’un tenseur € symétrique et d’un tenseur antisymétrique Les caractères de symétrie (ou d’anti) sont invariants par TL Les tenseurs antisymétriques jouent un rôle particulier en EM. Les 4 composantes sur la diagonale principale sont nulles et les 12 autres sont égales 2 à 2 : il faut 6 composantes indépendantes pour caractériser un tenseur antisymétrique Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 62 ⎛ 0 E x /c E y /c Ez /c ⎞ ⎜ ⎟ − E /c 0 − B B x z y ⎟ (Fµν ) = ⎜ ⎜− E y /c Bz 0 − Bx ⎟ ⎜ ⎟ − E /c − B B 0 y x ⎝ z ⎠ Les composantes spatiales de (Fµν) sont liées à B, ses composantes temporelles sont liées à E € On peut donner une forme contravariante au tenseur EM : Fµν = gµρ F ργ gγν ⎛ 0 − E x /c − E y /c − Ez /c ⎞ ⎜ ⎟ E /c 0 − B B x z y ⎟ ⇒ (F µν ) = ⎜ ⎜ E y /c Bz 0 − Bx ⎟ ⎜ ⎟ E /c − B B 0 y x ⎝ z ⎠ Les deux tenseurs (Fµν) et (Fµν) sont antisymétriques € Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 63 Le tenseur EM a été construit avec : Fµν = ∂Aµ ∂Aν − ν ∂x ∂x µ où Aµ représente les coordonnées covariantes du QV potentiel € Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 64 Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte » 0. Rappels de relativité restreinte 1. Electromagnétisme et relativité restreinte 2. Formalisme quadridimensionnel 3. Formulation covariante de l’électromagnétisme 1. Le tenseur électromagnétique 2. Les équations de Maxwell 3. Transformation des champs 4. Invariants du champ électromagnétique 4. Electrodynamique des particules rapides 5. Applications Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 65 La recette ∂Aµ ∂Aν Fµν = − ν ∂x ∂x µ On montre (assez) facilement que pour 3 indices i, k et l : € ⇒ ∂Fik ∂Fkl ∂Fli + + =0 l i k ∂x ∂x ∂x Le 1er membre de cette équation est un tenseur d’ordre 3, antisymétrique€dans l’échange de ses indices Il est donc évident (!) que ses seules composantes non nulles sont obtenues pour 3 indices i, k et l différents à prendre parmi 0, 1, 2 et 3 Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 66 Les équations de Maxwell (1/3) ⎛ 0 E x /c E y /c Ez /c ⎞ ⎜ ⎟ − E /c 0 − B B x z y ⎟ (Fµν ) = ⎜ ⎜− E y /c Bz 0 − Bx ⎟ ⎜ ⎟ − E /c − B B 0 y x ⎝ z ⎠ En prenant les 3 indices (1, 2, 3), on obtient : ∂F12 ∂F€23 ∂F31 + + =0 3 1 2 ∂x ∂x ∂x ∂(− Bz ) ∂ (− Bx ) ∂(− By ) ⇒ + + = 0 ⇒ ∇.B= 0 € ∂z ∂x ∂y On retrouve (MΦ) € Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 67 Les équations de Maxwell (2/3) ⎛ 0 E x /c E y /c Ez /c ⎞ ⎜ ⎟ − E /c 0 − B B x z y ⎟ (Fµν ) = ⎜ ⎜− E y /c Bz 0 − Bx ⎟ ⎜ ⎟ − E /c − B B 0 y x ⎝ z ⎠ En prenant les 3 indices (0, 1, 2), on obtient : € ∂F01 ∂F12 ∂F20 ∂(E x /c) ∂ (− Bz ) ∂(− E y /c) + + =0 ⇒ + + =0 2 0 1 ∂y ∂ (c t) ∂x ∂x ∂x ∂x € ⇒ ∂E y ∂E x ∂B − =− z ∂x ∂y ∂t Projection de (MF) sur Oz On obtient les autres projections de (MF) avec (0, 1, 3) et (0, 2, 3) € Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 68 Les équations de Maxwell (3/3) ⎛ 0 E x /c E y /c Ez /c ⎞ ⎜ ⎟ − E /c 0 − B B x z y ⎟ (Fµν ) = ⎜ ⎜− E y /c Bz 0 − Bx ⎟ ⎜ ⎟ − E /c − B B 0 y x ⎝ z ⎠ On montre (MA) et (MG) à l’aide de calculs un peu plus ardus € On retrouve les équations de Maxwell à partir des propriétés du tenseur EM, lui même obtenu à partir du lagrangien d’une particule dans un champ Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 69 Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte » 0. Rappels de relativité restreinte 1. Electromagnétisme et relativité restreinte 2. Formalisme quadridimensionnel 3. Formulation covariante de l’électromagnétisme 1. Le tenseur électromagnétique 2. Les équations de Maxwell 3. Transformation des champs 4. Invariants du champ électromagnétique 4. Electrodynamique des particules rapides 5. Applications Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 70 On considère (R’) en mru wrt (R). En utilisant les lois de transformation du QV potentiel à l’aide du tenseur EM, on montre après des calculs fastidieux que : ⎧ Bʹ′ = B ⎧Eʹ′ = E x x x ⎪ x ⎪ 1 ⎨ Eʹ′y = γ u ( E y − u Bz ) et ⎨ Bʹ′y = γ u (By + u Ez /c2 ) avec γ u = 2 /c 2 ⎪ ⎪ 1− u 2 ⎩ Eʹ′z = γ u ( Ez + u By ) ⎩ Bʹ′z = γ u (Bz − u E y /c ) € ou de manière équivalente : ⎧ B//ʹ′ = B// ⎧ E//ʹ′ = E// et ⎨ ⎨ ʹ′ = γ u ( E⊥ + u × B⊥ ) ʹ′ = γ u ( B⊥ − u × E⊥ /c2 ) ⎩E⊥ ⎩B⊥ Contrairement aux transformations des coordonnées, la composante orthogonale du champ est affectée par la TL € Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 71 Ces formules montrent à nouveau que les champs E et B sont des grandeurs physiques relatives au référentiel dans lequel elles sont mesurées Notamment, l’un des deux peut ne pas exister dans un référentiel et exister dans un autre Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 72 Transformation relativiste des champs Le champ électrique transverse d’une particule en mouvement subit une amplification d’un facteur γ dans le référentiel du laboratoire Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 73 Limite non relativiste On montre facilement qu’au 1er ordre en u/c, on a : Eʹ′ ≈ E + u × B et et que : € u × Eʹ′ Bʹ′ ≈ B − 2 c µ 0 q u × uPM B(M ) ≈ 4π r2 Pour une distribution continue : € J (P) = ρ (P) u et µ0 J (P) × uPM B(M ) ≈ dV ∫∫∫ Distribution 2 4π r On retombe sur « Biot et Savart » ! C’est la conséquence de er € l’approximation au 1 ordre de la transformation relativiste des champs Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 74 Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte » 0. Rappels de relativité restreinte 1. Electromagnétisme et relativité restreinte 2. Formalisme quadridimensionnel 3. Formulation covariante de l’électromagnétisme 1. Le tenseur électromagnétique 2. Les équations de Maxwell 3. Transformation des champs 4. Invariants du champ électromagnétique 4. Electrodynamique des particules rapides 5. Applications Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 75 Des propriétés physiques sont représentées par la disposition des éléments dans le tenseur électromagnétique Par exemple, on peut former 2 invariants par TL à partir de (Fµν) : La trace du carré (vrai scalaire) : Fµν F µν 2 2 =B − E2 c2 ijkl Fij Fkl = E . B La contraction (pseudo-scalaire) : ε où εijkl est € le tenseur unité de rang 4 antisymétrique (seules ses composantes dont les 4 indices diffèrent sont ≠ 0) : toutes les valeurs se déduisent par un nombre pair (+1) ou € impair (-1) de transpositions depuis ε1234 = 1 Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 76 On a donc montré que lors du passage de (R) à (R’) : E . B = Eʹ′ . Bʹ′ et E 2 − B2 c2 = Eʹ′2 − Bʹ′2 c2 Conséquences : Si E > Bc (ou E < Bc) dans (R), il en sera de même dans tout € référentiel (R’) Si E et B sont orthogonaux dans (R) Soit ils sont également orthogonaux dans (R’) Soit l’un des deux est nul dans (R’) : E’=0 (si E2-B2c2>0) ou B’=0 (si E2-B2c2>0) 2 2 2 Si dans (R) à la fois E . B = 0 et E − B c = 0 alors E et B sont orthogonaux dans tout référentiel et vérifient E = Bc Si dans (R), E = Bc, alors il en est de même dans tout référentiel (R’) € Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 77 Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte » 0. 1. 2. 3. Rappels de relativité restreinte Electromagnétisme et relativité restreinte Formalisme quadridimensionnel Formulation covariante de l’électromagnétisme 4. Electrodynamique des particules rapides 1. Relativité appliquée à des particules ultra relativistes 2. Cas d’un champ électromagnétique 3. Cas d’un champ électrique constant 4. Cas d’un champ magnétique constant 5. Applications Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 78 Hautes énergies et relativité restreinte Les particules considérées en physique des hautes énergies sont ultra relativistes Relativité restreinte Le référentiel en mouvement est celui de la particule Le référentiel immobile est celui du laboratoire Energie et impulsion vérifient E = m γ c2 v pc β= = c E et Facteur de Lorentz p= mγ β c≈ mγ c 1 1− β 2 γp = 3500 ≈ 3730 0,938 ou des électrons de 50 GeV : γe = 50000 ≈ 98000 0,511 γ= € Par exemple, pour des protons de 3,5 TeV € € de Physique Licence 3 et Magistère Fondamentale (2010-2011) € et relativité Electromagnétisme restreinte 79 Quelques ordres de grandeur A notre échelle l’énergie d’une particule est très faible : Exemple du LHC : 3.5 TeV ⇒ ELHC = 7 1012 eV Exemple d’une abeille « lancée » à pleine vitesse (1 g = 5,8 1032 eV/c2 et v = 1 m/s) ⇒ EAbeille = 10-3 J = 6,25 1015 eV Mais l’énergie totale stockée peut être très élevée : Exemple du LHC : 1014 protons ⇒ EBeam = 1014 x 7 1012 ≈ 108 J Ceci correspond à l’énergie d’un camion de 100 t lancé à 120 km/h Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 80 Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte » 0. 1. 2. 3. Rappels de relativité restreinte Electromagnétisme et relativité restreinte Formalisme quadridimensionnel Formulation covariante de l’électromagnétisme 4. Electrodynamique des particules rapides 1. Relativité appliquée à des particules ultra relativistes 2. Cas d’un champ électromagnétique 3. Cas d’un champ électrique constant 4. Cas d’un champ magnétique constant 5. Applications Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 81 Quel est le mouvement d’une particule chargée rapide dans une zone où règnent des champs E et B ? On suppose qu’une charge q se déplace rapidement à une vitesse v = βc (// Ox) dans une zone où règnent des champs E et B Dans le référentiel (R’) se déplaçant à la vitesse βc, la particule est momentanément au repos C’est un problème de physique classique ! On ne considère que 2 directions : Ox et Oy (Oz se déduira facilement de Oy) Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 82 Pendant le temps (très court) entre t’ = 0 et t’ = Δt’, la particule accélère d’une impulsion p’ = 0 à p’x = Δp’x = q E’x Δt’ et p’y = Δp’y = q E’y Δt’ On pourrait montrer que l’énergie cinétique de la particule (très faible si Δt’ est petit) n’est que du 2e ordre et que l’énergie à t’ = Δt’ reste mc2 au 2e ordre également De la même façon, on néglige l’influence de B On utilise une TL pour obtenir les expressions de l’impulsion à t = 0 et t = Δt Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 83 A t = 0, on obtient : c px = γ (c pʹ′x + β m c2 ) = γ β m c2 Après l’accélération, à t = Δt, on obtient : c px = γ (c q Eʹ′x Δtʹ′ + β m c2 ) et c py = c q Eʹ′y Δtʹ′ € La variation de l’impulsion entre t = 0 et t = Δt est donc : € et c py = c pʹ′y = 0 Δpx = γ q Eʹ′x Δtʹ′ et Δpy = q Eʹ′y Δtʹ′ La particule est presque au repos dans (R’), donc on peut assimiler € Δt’ à un temps propre : Δt = γ Δtʹ′ Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) € Electromagnétisme et relativité restreinte 84 Δpx = γ q Eʹ′x Δtʹ′ et Δpy = q Eʹ′y Δtʹ′ Il reste finalement : € Δpx = q Eʹ′x Δt et € Δpy Δt = q Eʹ′y γ Soit en utilisant la transformation relativiste des champs : € Δt = γ Δtʹ′ Δpx = q Ex Δt et Δpy Δt = q ( E y − β c Bz ) Δpz = q ( E z + β c By ) Δt On montrerait de la même manière que € En définissant la force relativiste par le taux de variation de l’impulsion relativiste, il reste : € Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) dp Force de Lorentz F= = q E +v ×B dt Electromagnétisme et relativité 85 ( ) restreinte Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte » 0. 1. 2. 3. Rappels de relativité restreinte Electromagnétisme et relativité restreinte Formalisme quadridimensionnel Formulation covariante de l’électromagnétisme 4. Electrodynamique des particules rapides 1. Relativité appliquée à des particules ultra relativistes 2. Cas d’un champ électromagnétique 3. Cas d’un champ électrique constant 4. Cas d’un champ magnétique constant 5. Applications Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 86