CRPE – Mathématiques Corrigé EXERCICE 1

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Corrigé
EXERCICE 1
1. La moyenne 𝑥 de la série totale est : 𝑥=!!"!×!!!!!!!"×!,!!
!"!!"
=1,7 où mF est la moyenne
des tailles des filles de la classe.
On a donc : 35!×1,7=20𝑚!+27!
20𝑚!=59,5−27 =32,5
𝑚!=!!",!
!"
=1,625
La moyenne des tailles des filles de cette classe est donc de 1,625 m.
L’affirmation 1 est donc fausse.
2. La probabilité d’obtenir 6 est !
!, donc la somme des probabilités d’obtenir les nombres
de 1 à 5 est aussi égale à !
!, et ces probabilités sont toutes égales, elles sont donc
égales à !
!
!×!!
! soit ! !"
!.
Les nombres pairs sur le dé sont 2, 4 et 6.
Ainsi, la probabilité P(pair) d’obtenir un nombre pair est :
P(pair) = !
!" +!! !" +!! !
=!!
!"
Les nombres impairs sur le dé sont 1, 3 et 5.
Ainsi, la probabilité P(impair) d’obtenir un nombre impair est :
P(impair) = !
!" +!! !" +!! !"
=!!
!"
Or !
!"
!≠!!
!" On n’a donc pas autant de chances d’obtenir un nombre pair qu’un nombre
impair.
L’affirmation 2 est donc fausse.

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3. 𝐴=!𝑎+!!
!
!
=𝑎+2+!!
!
a est un nombre rationnel, donc !
! également.
A est la somme de trois nombres rationnels, c’est donc un rationnel.
L’affirmation 3 est donc vraie.
4. Soit A le point d’intersection de (SV) avec sa perpendiculaire en P.
h = SV – SA
SV = 1 m.
Calculons SA :
Dans le triangle SAP, rectangle en A, on peut utiliser les relations de trigonométrie :
cos 𝐴𝑆𝑃 =!!"
!"
cos 30!=!"
! donc SA = cos 30
h = 1 – cos 30 h ≈0,133975 m h ≈!13,4!cm au mm près
L’affirmation 4 est donc vraie.
5. A est l’aire du disque inscrit dans l’hexagone régulier de centre O, et de rayon OI
On a donc : A = 𝜋!×𝑂𝐼²!

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A’ est l’aire du disque circonscrit au même hexagone, ce disque est de centre O et de
rayon OB.
On a donc : A’ = 𝜋!×𝑂𝐵².
L’hexagone étant régulier, il est constitué de 6 triangles équilatéraux. OAB est donc
équilatéral.
(OI) est perpendiculaire à (AB) donc (OI) est la hauteur issue de O du triangle OAB qui est
équilatéral, donc (OI) est aussi la médiatrice de [AB].
Par conséquent, I est le milieu de [AB], BI = !
!AB = ! !OB
Dans le triangle OBI, rectangle en I, d’après la propriété de Pythagore, on a :
OB² = OI² + BI²
OB² = OI² + !
!
!OB
!
OB² = OI² + !
! OB² d’où : OI² = OB² - ! ! OB² = ! ! OB²
Le rapport entre l’aire A et l’aire A’ est :
!
!! = !!×!"² !!×!"²!=!
!
3
4
!OB²
!"²!
=!!
! ! !
!≠!5
4
L’affirmation 5 est donc fausse
EXERCICE 2
1. D’après l’énoncé, les 4 faces SAC, SAB, SBD et SCD sont des triangles équilatéraux.
donc SA = SB = SC = AB
De plus, ABCD est un carré de côté a,
donc le triangle ASC est isocèle en S avec SA = SC = a.
[AC] est une diagonale du carré ABCD, donc AC = a 2.
2.
a) La pyramide SABCD est régulière, donc sa hauteur issue de S passe par le centre de
sa base donc (SO) est la hauteur issue de S de la pyramide SABCD.
(SO) est donc perpendiculaire au plan (ABCD), (SO) est donc perpendiculaire à toutes les
droites du plan (ABCD) passant par O.

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Donc (SO) est perpendiculaire à (AO), le triangle ASO est donc rectangle en O.
b) Dans le triangle ASO, rectangle en O, d’après la propriété de Pythagore, on a :
AS² = AO² + SO²
D’après la question 1 : SA = a
[AO] est une demi-diagonale du carré ABCD, de côté a, donc AO = !
!
!AD = !
!
!𝑎!2
Ainsi, 𝑎²=!!
!
!𝑎²+𝑆𝑂² donc SO² = 𝑎²−!
!
𝑎² = !
!
𝑎²
Donc SO = 𝒂𝟐
𝟐
3. Dans le triangle ASO, rectangle en O, on a, d’après les relations de trigonométrie :
cos 𝐴𝑆𝑂 = !"
!"
=!
!!
!
!
=!!
! donc 𝑨𝑺𝑶 = 45° l’angle 𝑨𝑺𝑶 mesure 45°
(SO) est perpendiculaire à (AO) et donc aussi à (AC).
De plus, O est le centre du carré ABCD, donc le milieu de ses diagonales.
(SO) est perpendiculaire à (AC) et passe par le milieu de [AC], (SO) est donc la médiatrice
de [AC].
Le triangle ASC étant isocèle en S, la médiatrice de [AC] est aussi la bissectrice de ASC.
Donc ASC =2!ASO =90°..
L’angle 𝑨𝑺𝑪 mesure 90°.
4. Le volume VSABCD de la pyramide SABCD est : VSABCD = !
! AABCD × SO où AABCD est
l’aire du carré ABCD.
AABCD = a² et SO = !!
!
Donc VSABCD = !
! ×𝑎²×!! ! VSABCD = 𝒂𝟑!𝟐 𝟔 Le volume de SABCD est donc 𝒂𝟑!𝟐 𝟔.
5.
a) La pyramide est constituée d’un carré ABCD de côté 4 cm, et de 4 faces triangulaires
SAB, SBC, SCD et SAD, qui sont des triangles équilatéraux de côté 4 cm

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b) Pour construire un moule, l’aire A de la plaque métallique nécessaire est égale à
l’aire de toutes les faces de la pyramide. Les 4 faces triangulaires sont isométriques, elles ont
donc la même aire. Ainsi : A = AABCD + 4×ASAB
AABCD = a² = 16 et ASAB = !"!×!
! où h est la hauteur issue de S du triangle SAB.
SAB étant un triangle équilatéral de côté 4 cm, sa hauteur h vaut !!
!
=!!!
!
=23.
Ainsi ASAB = !!!×!!!
!
=4!3
D’où A = 16 + 4!× 4 3 = 16 + 16 3
L’aire de la plaque métallique nécessaire, en cm², est 16 + 16 𝟑 soit 43,71 cm au
centième près.
c) On remplit le moule de cire aux deux tiers de la hauteur de la pyramide. La partie
remplie de cire correspond à une pyramide, qui est une réduction de la pyramide SABCD de
rapport !
!. Ainsi le volume VC de cire nécessaire pour une bougie est :
VC = !
!
!
!×!𝑉
!"#$%
VC = !
!"
!×!!!!!
! = !"#!! !"