Algèbre d`espace-temps non

Remerciements
Mes remerciements vont tout premièrement à Dieu tout puissant pour la volonté, la
patience qu'il m'a donné pour terminer ce mémoire.
Je tiens à remercier mon encadreur M. Mohamed Tayeb MEFTAH, professeur à
l'université de Ouargla, pour m'avoir confié ce sujet et pour son aide, sa disponibilité
et le temps qu'il a bien voulu me consacrer.
Mes remerciements vont ensuite au Jury de ma thèse, M. Elhabib Guedda,
Maitre Conférence à l'université d' Eloued, pour l'honneur qu'il m'a fait en acceptant
de présider le jury, et les examinateurs : M. Merad Mahmoud, Professeur à
l'université de Oum-Bouaghi, M. Boudjedaa Tahar, Professeur à l'université de Jijel,
Mm. Benzair Hadjira, Dr Assistant à l'université de Ouargla qui ont bien voulu
accepté de juger ce travail.
Je remercie également tous les enseignants de la post-graduation de physique
(Matière et rayonnement) 2009/2010 ainsi que mes collègues étudiants de la
promotion.
Enfin, j'adresse mes plus sincères remerciements à ma famille, en particulier à ma
mère, à mon père, à ma femme, à mes frère, à mes sœur, à mes enfants, et tous mes
proches et amis qui m'ont toujours soutenu et encouragé au cours de la réalisation de
ce mémoire.

Table des matières
Introduction générale
1. Non Commutativité en Physique
1.1 La géométrie non commutative………………………………………………………… 04
1.2 La non commutativité en physique et son importance…………………………………. 04
1.3 Un bref rappel historique sur son apparition en physique……………………………….. 06
1.4 Algèbre d'espace-temps non-commutative ……………………………………………… 08
1.5 Non commutativité positionnelle ……………………………………………………….. 09
2. Outils essentiels et application
2.1 Le produit de Weyl- Moyal (Produit star) ……………………………………………….. 11
2.2 L’équation de Schrödinger sur un espace N C …………………………………………. 12
2.3 Le décalage "Bopp shift":……………………………………………………………………….. 14
2.4 Application: Oscillateur harmonique à deux dimensions sur un espace non commutatif …………
2.4.1 Hamiltonien non commutatif d'un oscillateur harmonique à D=2………………………… 17
2.4.2 La solution algébrique ……………………………………………………………………… 20
2.4.3 La solution analytique ………………………………………………………………………. 23
3. Etude de l'atome d'hydrogène sur un espace N C
3.1 Hamiltonien non commutatif……………………………………………………………………. 28
3.2 Corrections des énergies de Bohr ………………………………………………………………….. 31
3.3 Corrections des énergies de structure fine………………………………………………………….. 36
3.4 Calcul des éléments de matrice dipolaire…………………………………………………………….44
4. Conclusion générale
5. Bibliographie

Introduction
Au début du XXème siècle, la physique fondamentale a subi deux révolutions
majeures qui ont changé les concepts et la vision de la mécanique classique ce sont :
la théorie de la relativité générale et la théorie quantique. Si la première est l’œuvre
d’Albert Einstein, la deuxième a connu son essor grâce aux travaux de Planck, Bohr,
Schrödinger, Heisenberg et bon nombre d’autres. Ces deux théories ont
profondément changé notre manière d’appréhender le monde qui nous entoure.
La relativité générale est la théorie qui décrit l’infiniment grand (les planètes, les
galaxies,…….). Elle a réussi à expliquer les phénomènes physiques gravitationnels en
termes de notions purement géométriques.
D'autre part la mécanique quantique est la théorie qui décrit les systèmes
microscopiques, les constituants les plus infimes de la matière (les atomes, les
électrons, les quarks, ……). Elle utilise la théorie des algèbres d’opérateurs agissant
sur un espace de Hilbert (Les algèbres de Von Neumann).
Les physiciens théoriciens aspirent vers une théorie unifiée, qui pourra traiter les
systèmes physiques microscopiques et macroscopiques sur le même pied d’égalité.
Certains d’entre eux pensent que la réconciliation de la relativité générale et la
mécanique quantique demande un changement radical des concepts mathématiques
de la relativité générale, et par suite changer les concepts habituels de la géométrie
classique.
En effet, la conclusion habituelle est que la structure de l’espace-temps est modifiée
à très courte échelle. Et la combinaison de la relativité générale et la mécanique
quantique suggère que l’espace à petite échelle perd sa continuité. Donc à l`échelle de
Planck (très petites distances ou très hautes énergies), il faut abandonner la notion

d`un espace-temps ayant une structure lisse, et de la remplacer par une notion plus
générale et plus adéquate pour la description des phénomènes physiques aussi bien à
l`échelle macroscopique qu`à l`échelle microscopique de Planck. Cet argument est
souvent utilisé pour justifier une éventuelle non commutativité de l’espace-temps à
courte échelle. Ceci se traduit par des relations d’incertitude sur les coordonnées de
l’espace-temps. Les relations d’incertitude mentionnées peuvent se déduire d’une
algèbre d’opérateurs non commutative qui remplacerait les opérateurs habituels.
Dans ce mémoire et dans le premier chapitre qui est consacré aux préliminaires, j'ai
commencé par une introduction à la géométrie non-commutative et j'ai présenté son
importance en physique. Ensuite, j'ai donné les différentes algèbres de commutateurs
qui généralisent l’algèbre de Heisenberg à un espace non-commutatif.
Dans le deuxième chapitre je me suis intéressé à donner une présentation succincte
de quelques outils qui sont appliqués dans le cadre de la mécanique quantique non
commutative, ensuite, et comme application des outils précédents, j'ai traité le
problème d'oscillateur harmonique à deux dimensions, j'ai commencé à donner
l'hameltonien non commutatif du système. Après, j'ai cherché les états et les valeurs
propres correspondantes par deux méthodes différentes l'une algébrique et l'autre
analytique.
Dans le troisième chapitre j'ai fait une étude de l'atome d'hydrogène dans le cadre
de la géométrie non commutative, au début, j'ai commencé à présenter le potentiel
coulombien modifié pour trouver l'hameltonien non commutatif. Et après, j'ai
cherché les corrections des énergies de Bohr et celles des énergies de structure fine en
considérant que la non commutativité est introduite sous forme d’une perturbation.
J'ai achevé ce travail par le calcul des éléments de matrice du moment dipolaire pour
le cas de l'atome d'hydrogène.