Activité 13

Activités #13 & #14
Élaboration d’une expérience
#1) But de l’expérience : Déterminer le moment d’inertie
2
M
I
de deux masses
ponctuelles M autour d’un axe de rotation placé au centre, à une distance R
de chacune des masses.
#2) Schéma :
R
M M
axe
#3) Hypothèse : En supposant que les masses M sont ponctuelles, établissez l’équation du
moment d’inertie
2
M
I
théorique pour ce système.
#4) Ordre de grandeur : Fixez les valeurs de
105
M g
=
et
10
R cm
=
pour estimer l’ordre
de grandeur du moment d’inertie
2
M
I
théorique donné par
l’équation établie précédemment.
#5) Montage expérimental : Du point de vue expérimental, il faudra fixer ces masses M
sur un montage les maintenant à la distance R durant leur
rotation. Il s’agit ici de les fixer sur des tiges aux
dimensions restreintes afin de diminuer, le plus possible,
leur influence :
R
M M

#6) Moments d’inertie : Sur le montage précédent, identifiez les éléments offrant une
résistance à se faire accélérer angulairement (les éléments qui
contribuent au moment d’inertie total
total
I).
#7) Trouver le moment d’inertie du système : Il s’agit de trouver une façon de
déterminer le moment d’inertie
total
I du
montage précédent en collectant des
mesures expérimentales relativement
précises.
R
M M
d = 2r
h
m
Ce montage permet d’enrouler une corde, autour de la tige centrale verticale, reliée à une
masse entraînant, lors de sa descente, le système à tourner.
Dans tous les cas : - la masse m est constante tout au long de l’expérience.
- la hauteur h descendue par la masse m est constante aussi.
- le diamètre de la tige centrale d demeure la même en tout temps.

#8) L’équation du moment d’inertie
total
I
du système :
Utilisation de la conservation de l’énergie ∆E = 0 : l’énergie potentielle gravitationnelle
de la masse m est convertie en énergie cinétique de translation et de rotation à la fin de sa
descente :
0
0
2 2
0
1 1
2 2
total
m
E E
K U K
gh mv
U
I
ω
= +
=
+ = +
Donc, le moment d’inertie du système
total
I
peut être isolé :
−=
2
2
2
12 mvmghI
total
ω
(1)
Il manque ici, les valeurs ou les équations nous permettant de déterminer les vitesses
linéaire v et angulaire ω .
i) Pour la vitesse linéaire v il suffit d’utiliser une équation de la cinématique
puisque la masse m sera accélérée de façon constante vers le bas :
( )
tvvyy ++= 00
2
1
( )
tvhyy +==− 0
2
1
0
t
h
v2 =
(2)
ii) Pour la vitesse angulaire
ω , on utilise la relation entre la vitesse de
descente de la masse m et la vitesse angulaire ω de la tige centrale
verticale.
r
v
= ω
(3)
*** Notez ici que le rayon r est celui de la tige centrale verticale.
En substituant les équations (2) et (3) dans l’équation, on obtient finalement :

−=
−= −= 1
2
1
2
2
12
2
2
2
22
2
2
h
gt
mr
vgh
mrmvmgh
vr
I
total
(4)
#9) Les mesures expérimentales :
D’après l’équation permettant de déterminer le moment d’inertie théorique des masses M
et l’équation (4) donnant le moment d’inertie du système :
On doit prendre en note les valeurs suivantes :
- les masses M pour lesquelles on veut déterminer le moment d’inertie.
- le rayon R qui mesure la distance entre une masse M et l’axe de
rotation (centre de la tige verticale).
- la masse m suspendue, constante tout au long de l’expérience.
- le rayon r de la tige centrale verticale.
- la hauteur h parcourue par la masse suspendue m, constante tout au
long de l’expérience.
- le temps t que met la masse m à parcourir la hauteur h.
#10) Traitement des mesures : Ce qu’on veut déterminer, c’est uniquement le moment
d’inertie des masses M,
2
M
I
. On a ici deux équations :
1) Théorique : l’équation théorique associée aux masses ponctuelles, soit :
2222
1
2
2MRMRMRrmI
i
N
iiM
=+==
∑
=
2) Expérimental : l’équation (4) qui donne le moment d’inertie total du système
total
I
, soit celui des tiges (
tiges
I
) combiné à celui des masses M (
2
M
I
) :
Mtigestotal
III
2
+
=
où :
total
I
: est donné par l’équation (4)
tiges
I
: est donné par l’équation (4) lorsqu’aucune masse M n’est
montée sur les tiges.
2
M
I
: le moment d’inertie pour les masses M uniquement, celui recherché :
2
2
1
2
total
gt
I mr h
= −

tigestotal
M
III
−
=
2
#11) Simulation : Fixons des valeurs fictives vous permettant d’appliquer les notions
précédemment énoncées. À l’aide des valeurs expérimentales
suivantes, établissez le moment d’inertie des masses M,
2
M
I
théorique
et
2
M
I
expérimental.
Soit :
150
m g
=
8
d mm
=
38
h cm
=
Lorsqu’aucune masse M n’est fixée sur les tiges :
t 2,8
s
=
Avec des masses M montées sur les tiges:
105
M g
=
10
R cm
=
t 8,5s
=