Master 2 – Mathématiques Fondamentales Examen de topologie

Master 2 – Mathématiques Fondamentales
Examen de topologie – 11 janvier 2011
Durée de l’épreuve : 4 heures.
Rappels
1. Étant donné un espace topologique X et deux sous-espaces A, B. Supposons que X =
A ∪ B. La suite de Mayer-Vietoris associée au triplet (X, A, B) est la suite exacte longue
en homologie
···
/ Hk (A ∩ B)
φ
/ Hk (A) ⊕ Hk (B)
ψ
/ Hk (X)
∂
/ Hk−1 (A ∩ B)
/ ···
où φ : Hk (A ∩ B) → Hk (A), x 7→ (i∗ (x), i∗ (x)) est l’homomorphisme induit par les homomorphismes d’inclusions i∗ : Hk (A ∩ B) → Hk (A) et i∗ : Hk (A ∩ B) → Hk (B) respectivement ; et où ψ : Hk (A) ⊕ Hk (B) → Hk (X), (x, y) 7→ j∗ (x) − j∗ (y) est l’homomorphisme
induit par les homomorphismes d’inclusions j∗ : Hk (A) → Hk (X) et j∗ : Hk (B) → Hk (X)
respectivement.
La suite associée au couple (X, A) est la suite exacte longue en homologie
···
/ Hk (A)
/ Hk (X)
/ Hk (X, A)
∂
/ Hk−1 (A)
/ ···
où l’homomorphisme Hk (A) → Hk (X) est induit par l’inclusion.
ek .
Les mêmes suites restent valides en remplaçant l’homologie Hk par l’homologie réduite H
Les k-èmes groupes d’homologie réduite sont les mêmes que les k-èmes groupes d’homologie
e 0 (X) ⊕ Z. En particulier, si X est connexe,
pour tout k > 0 ; pour k = 0, H0 (X) = H
e
H0 (X) = 0. En homologie relative, les groupes d’homologie et les groupes d’homologie
e k (X, A) = Hk (X, A) pour tout k ≥ 0 (pour A 6= ∅). Les groupes
réduite coı̈ncident : H
d’homologie réduite permettent de simplifier les arguments basés sur l’étude des suites
exactes ci-dessus.
2. Soit Σ une surface connexe orientée. L’intersection géométrique de deux courbes fermées
simples a, b est notée i(a, b) ∈ N. On rappelle que l’intersection géométrique est indépendante
de l’orientation des courbes. On note
• : H1 (Σ) × H1 (Σ) → Z
la forme d’intersection algébrique. On rappelle que • est bilinéaire et antisymmétrique. Un
automorphisme f de H1 (Σ) préserve la forme d’intersection • si f (x) • f (y) = x • y pour
tous x, y ∈ H1 (Σ). L’ensemble des automorphismes préservant • forme un sous-groupe
Sp(H1 (Σ), •) de Aut(H1 (Σ)).
Problème
Première Partie : Préliminaires géométriques
Soit G un groupe abélien. On dit que x ∈ G est primitif si x n’est multiple non trivial
d’aucun élément de G. En d’autres termes, x est primitif s’il vérifie la propriété
x = k y, k ∈ Z =⇒ k = ±1.
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1) Soit ϕ : G → H un isomorphisme de groupes abéliens. Montrer que x est primitif dans
G si et seulement si ϕ(x) est primitif dans H.
Dans la suite de cette partie, on suppose que G est un groupe abélien libre de type fini de
rang n.
2) Soit x ∈ G et H le sous-groupe de G engendré par x. Montrer que x est primitif si et
seulement si G/H est libre (de rang n − 1).
Solution. Montrons que G/H est abélien libre de rang n − 1. Comme G et H ' Z sont
abéliens, le quotient est abélien. Pour montrer que G/H est libre, il suffit de montrer que
ce groupe est sans torsion. Soit [u] ∈ G/H1 et soit m le plus petit entier positif ou nul tel
que m [u] = 0. Alors m u ∈ H1 . Donc m u = k x pour un certain k ∈ Z. Soit d le pgcd de
m et de k. Alors (m/d) u = (k/d) x d’où (m/d) [u] = 0. Par définition de m, on en déduit
que d = 1. Soit kv + mw = 1 une relation de Bezout. Alors
x = 1 · x = (kv + mw) x = kvx + mwx = v(kx) + mwx = v(mu) + mwx = m(vu + wx).
Puisque x est primitif, m = 1. Donc [u] = 0. On a ainsi démontré que G/H1 est sans
torsion, donc libre. Son rang est donc
rang(G/H1 ) = rang(G) − rang(H1 ) = n − 1.
2) Montrer qu’un élément x ∈ G est primitif si et seulement s’il existe une base (x1 , . . . , xn )
de G telle que x = x1 .
Solution. Soit (x, x2 , . . . , xn ) une base de G. Supposons qu’il existe k ∈ Z et y ∈ G tels
que x = k y. Comme x 6= 0, k 6= 0. Alors (y, x2 , x3 , . . . , xn ) est encore une famille Z-libre de
G. C’est aussi une famille Z-génératice de G. C’est donc aussi une base de G. L’application
envoyant la première base sur la seconde base définit une application f : G → G qui est
Z-linéaire bijective, donc Z-inversible. La matrice de f dans la base (x, x2 , . . . , xn ) est
Diag(k, 1, . . . , 1). Son déterminant est donc k. Comme f est inversible sur Z, k = ±1.
Donc x est primitif.
Réciproquement, supposons x primitif. Soit H1 = {k x | k ∈ Z} le sous-groupe engendré
par x1 = x. Ce groupe est isomorphe à Z. D’après la question précédente, G/H1 est libre de
rang n − 1. Supposons avoir construit une famille (x1 , x2 , . . . , xk ) libre dans G engendrant
un sous-groupe libre Hk de rang k ≤ n−1 tel que G/Hk est un groupe abélien libre de rang
n − k. Comme Hk 6= G, il existe xk+1 ∈ G tel que y 6∈ Hk . On peut supposer xk+1 primitif.
Alors la famille (x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 ) est libre dans G. Le sous-groupe qu’elle engendre est
donc libre de rang k + 1. Montrons que G/Hk+1 est libre de rang n − (k + 1). Il suffit
de montrer que ce groupe abélien est sans torsion. Soit [u] ∈ G/Hk+1 . Soit m un entier
positif ou nul vérifiant m [u] = 0 dans G/Hk+1 . Il existe donc l1 , . . . , lk+1 ∈ Z tels que
m u = l1 x1 + · · · + lk+1 xk+1 .
Comme (x1 , . . . , xk+1 ) est une base de Hk+1 , on en déduit que li ∈ mZ pour tout 1 ≤ i ≤
k+1. Donc u ∈ Hk+1 d’où [u] = 0. Donc G/Hk+1 est libre de rang rang(G)−rang(Hk+1 ) =
n − (k + 1). On a donc démontré le résultat par récurrence.
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3) On suppose que G est abélien libre de rang fini n et que (x1 , . . . , xn ) est une base de
G. Montrer que y = a1 x1 + · · · + an xn est primitif si et seulement si le pgcd de a1 , . . . , an
est 1.
Première partie : représentation symplectique
1) Soit Σ une surface connexe orientée. L’objet de cette question est de déterminer H1 (Σ)
1.1) On suppose Σ compacte sans bord. Montrer qu’il existe g ≥ 0 et des courbes fermées
simples λ1 , . . . , λg , µ1 , . . . , µg sur Σ telle que
1 si j = k;
i(λj , µk ) =
, i(λj , λk ) = i(µj , µk ) = 0.
0 sinon
En déduire une Z-base l1 , . . . , lg , m1 , . . . , mg de H1 (Σ) vérifiant
1 si i = j;
li • mj =
et li • lj = mi • mj = 0, pour tous 1 ≤ i, j ≤ g.
0 sinon
En particulier H1 (Σ) est un groupe abélien libre de rang 2g.
On dit que Σ possède une base symplectique géométrique si elle vérifie la propriété de la
question 1.1.
1.2) On suppose que Σ a exactement une composante de bord, c’est-à-dire que ∂Σ est un
b la surface
cercle. Montrer que Σ a une base symplectique géométrique. [Indication : soit Σ
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b
à laquelle on a bouché la composante de bord par un disque : Σ = Σ ∪ D avec ∂D2 = ∂Σ.
b
On pourra considérer l’application induite en homologie par l’inclusion Σ → Σ.]
1.3) On suppose que Σ a exactement une piqûre, c’est-à-dire que Σ est le complémentaire
d’un point dans une surface Σ0 compacte connexe orientée sans bord. Montrer que Σ a une
base symplectique géométrique. [On pourra considérer l’application induite en homologie
par l’inclusion Σ → Σ0 .]
Dans toute la suite, on note H = H1 (Σ) et on suppose que Σ vérifie l’une des trois
hypothèses des questions 1.1, 1.2 et 1.3.
2) L’objet de cette question est détudier les classes d’homologie de Σ représentables par
une courbe fermée simple non séparante. Soit α ∈ H1 (Σ) une classe d’homologie non nulle.
2.1) Montrer qu’il existe une réunion de courbes fermées simples orientées deux à deux
disjointes c1 , . . . , cn telles que α = [c1 ] + · · · + [cn ].
2.2) Montrer que s’il existe une courbe fermée simple orientée c telle que [c] = α alors c
est non séparante.
2.3) Dans cette question, on considère à titre d’exemple le cas particulier où Σ est de
genre 1. Soit (l, m) une base symplectique géométrique de Σ. Montrer par un dessin que
2m ∈ H1 (Σ) est représenté par une courbe fermée immergée c (avec un unique point
d’auto-intersection). Démontrer qu’il n’existe pas de courbe fermée simple c telle que
2m = [c]. [On pourra raisonner par l’absurde et considérer un difféomorphisme approprié
de Σ.] Plus généralement montrer qu’il existe une courbe fermée simple c représentant une
classe d’homologie α = x l + y m ∈ H1 (Σ) ' Z2 si et seulement si
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2.4)
Soit ρ : M(Σ) → Aut(H1 (Σ)), [f ] 7→ f∗ .
2.1) Justifier brièvement que ρ est un morphisme de groupes bien défini.
2.2) Justifier brièvement que l’image de ρ est dans Sp(H, •).
2.3)
On note
ρ : M(Σ) → Sp(H1 (Σ; Z, •), [f ] 7→ f∗
la représentation symplectique du groupe de difféotopies de Σ.