Résumé de cours sur les Anneaux et les Corps

IUFM d’Aix-Marseille
PCL1 de Math´ematiques
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Ecrit d’Alg`ebre
Ann´ee 2011-2012
R´esum´e de cours sur les Anneaux et les Corps
Rappel : le programme officiel du concours pour la session 2010-2011 est celui des CPGE
dont voici le d´etail.
Les notions d’anneau quotient et d’anneau principal sont hors programme.
a) Id´eaux d’un anneau commutatif
D´efinition d’un morphisme d’anneaux, d’un isomorphisme. Noyau et image d’un mor-
phisme d’anneaux commutatifs.
D´efinition d’un id´eal d’un anneau commutatif A. D´efinition de l’id´eal Ax (ou xA) en-
gendr´e par un ´el´ement xde A. Dans un anneau int`egre A, d´efinition de la relation de
divisibilit´e x|y. Pour que xdivise y, il faut et il suffit que Ay ⊂Ax.
b) Id´eaux de Z, anneau Z/nZ
Structure des id´eaux de Z. Application au th´eor`eme de B´ezout et au th´eor`eme de Gauss.
Caract´erisation du PGCD et du PPCM de deux entiers.
Dans l’anneau Z, compatibilit´e de la relation de congruence modulo navec la multiplica-
tion ; anneau Z/nZ, morphisme canonique de Zsur Z/nZ. Caract´erisation des ´el´ements
inversibles de l’anneau Z/nZ. Indicatrice d’Euler. L’anneau Z/pZest un corps si et seule-
ment si pest un nombre premier. On pourra donner des exemples d’applications ‘a la
cryptographie.
Factorisation du morphisme de l’anneau Zdans un anneau A, de noyau nZ. D´efinition
de la caract´eristique d’un corps.
c) Id´eaux de K[X]
Dans ce paragraphe, on suppose que le corps de base Kest un sous-corps de C. Les
anneaux quotients de l’anneau K[X] sont hors programme.
Structure des id´eaux de K[X]. Application au th´eor`eme de B´ezout et au th´eor`eme de
Gauss. Caract´erisation du PGCD et du PPCM de deux polynˆomes.
I. Anneaux
D´efinition : Soit Aun ensemble, + et .deux lois de composition interne, d´efinies sur A.
Le triplet (A, +, .) est un anneau si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees.
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– (A, +) est un groupe commutatif ;
– la loi .est associative et admet un ´el´ement neutre ;
–∀(x, y, z)∈A, x(y+z) = xy +xz et (x+y)z=xz +yz. On dit que la loi .est
distributive par rapport `a +.
Aest un anneau commutatif si la loi .est commutative. Si la loi .ne poss`ede pas d’´el´ement
neutre, on parle alors d’anneau non unitaire. Dans la suite, on ne consid´erera que des
anneaux unitaires (l’´el´ement neutre de .sera not´e 1).
Cons´equences de cette d´efinition : ∀x∈A, x.0 = 0.x = 0 et ∀y∈A, x.(−y) = −(x.y).
D´efinition : Soit (A, +, .) un anneau et A0⊂A. On dit que (A0,+, .) est un sous-anneau
de Asi :
– (A0,+) est un sg de (A, +) ;
– 1 ∈A0;
–A0est stable pour la loi .
D´esormais, pour all´eger les notations, les lois pour lesquelles les ensembles consid´er´es
sont des anneaux seront not´ees g´en´eriquement + et ., sauf si cela cr´ee une ambigu¨ıt´e.
D´efinition : Soit Aet A0deux anneaux, et fune application de Adans A0. On dit que
fest un homomorphisme d’anneaux de Adans A0si :
– (x, y)∈A, f(x+y) = f(x) + f(y) et f(x.y) = f(x).f(y) ;
–f(1) = 1.
Avec plus de rigueur formelle, il faudrait distinguer les lois de A(+A, .A) et celles de A0,
les ´el´ements neutres de Aet de A0...
Id´eal d’un anneau
D´efinition : Soit Aun anneau et I⊂A. Si :
–Iest un sg de (A, +) ;
–∀x∈Aet ∀y∈I, x.y ∈I(y.x ∈I).
alors Iest un id´eal `a gauche (`a droite) de A. Si le second point est remplac´e par :
x∈A, y ∈I, x.y et y.x ∈I; alors Iest un id´eal bilat`ere de A.
Remarque : Un id´eal ne contient pas n´ecessairement 1 (pensez aux id´eaux de Z) et
donc n’est pas n´ecessairement un sous-anneau de A. Un sous-anneau de An’en est pas
n´ecessairement un id´eal. Si Dest l’ensemble des matrices carr´ees n×nqui sont diago-
nales, alors Dest un sous-anneau de (Mn(K),+,×), mais ce n’en est pas un id´eal.
Proposition : Si fest un homomorphisme d’anneaux de Adans A0, alors Kerfest un
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id´eal bilat`ere de A.
Kerf={x∈A/f(x)=0A0}et fest, en particulier, un homomorphisme de groupe, il en
r´esulte que Kerfest un sg de (A, +). Soit x∈Aet y∈Kerf, alors f(xy) = f(x)f(y) =
0.f(y) = 0 (en notant 0 l’´el´ement neutre de + dans A0) ; de mˆeme f(yx) = f(y)f(x) =
f(y).0 = 0.
L’int´erˆet de la notion d’id´eal est de permettre de d´efinir celle d’anneau quotient (comme
la notion de sgd permettait de d´efinir la notion de groupe quotient).
Proposition : Soit Aun anneau, et Iun id´eal bilat`ere de A. La relation Rd´efinie sur A
par xRx0si x0−x∈Iest une relation d’´equivalence et l’ensemble des classes, not´e A/I,
muni des op´erations : (x+I)+(y+I) = (x+y) + Iet (x+I)(y+I) = (xy) + I, est
un anneau.
Avant de donner la d´emonstration de cette proposition, observons que la d´efinition de
la multiplication des classes utilise le fait que Iest un id´eal bilat`ere de A. En effet, pour
que la d´efinition soit coh´erente, il faut (et il suffit) que : ∀x0∈x+Iet ∀y0∈y+I,
x0y0∈xy +I, ce qui revient `a dire que d´efinition de la classe produit, xy +I, ne d´epend
pas des repr´esentants des classes «facteurs »x+Iet y+I.
Or, x0=x+i, avec i∈Iet y0=y+j, avec j∈I, d’o`u x0y0= (x+i)(y+j) =
xy +iy +xj +ij. MAIS, iy ∈Iet xj ∈Icar Iest un id´eal bilat`ere de A. Il en r´esulte
que x0y0est de la forme xy +k, o`u k=iy +xj +ij ∈I. Ce qui revient `a dire que
x0y0∈xy +I.
La relation Rest trivialement une relation d’´equivalence sur Apuisque Ien est un sg.
L’addition des classes est commutative : (x+I)+(y+I)=(x+y)+I= (y+I)+(x+I)
puisque x+y=y+xdans A.
Elle admet un ´el´ement neutre I, en effet (x+I) + I=x+Ipuisque I+I=I.
Elle est associative : ((x+I)+(y+I))+(z+I) = ((x+y)+I)+(z+I) = ((x+y)+z)+I.
Et l’associativit´e de + dans Apermet de conclure.
Soit x+Iune classe, alors (−x) + I, classe de l’oppos´e de xdans A, v´erifie : (x+I) +
((−x) + I)=(x+ (−x)) + I=I.
Conclusion : (−x)+Iest la classe oppos´ee de x+Iet (A/I, +) est un groupe commutatif
pour l’addition des classes.
La classe 1 + I, v´erifie : (x+I)(1 + I) = (x.1) + I=x+I= (1 + I)(x+I). Soit x+I,
y+Iet z+Idans A/I. ((x+I)(y+I))(z+I)=(xy +I)(z+I) = (xy)z+I. Mais la
loi . est associative dans A, d’o`u l’associativit´e de la multiplication des classes.
Calculons (x+I)((y+I) + (z+I)) = (x+I)((y+z) + I) = x(y+z) + I. D’o`u le r´esultat,
grˆace `a la distributivit´e de . par rapport `a + dans A.
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Notion d’anneau principal
Une cat´egorie d’anneaux est particuli`erement importante en vue des applications
pr´evues dans le programme du CAPES (essentiellement K[X], o`u Kest un corps, et les
Z/pZ). C’est celle des anneaux principaux.
D´efinition : Soit Aun anneau commutatif, et Iun id´eal de A(n´ecessairement bilat`ere
alors). On dit que Iest un id´eal principal de A, s’il existe a∈Atel que, ∀i∈I, il existe
k∈A, v´erifiant i=k.a. Un tel id´eal de A est dit engendr´e par a, on le note hai.
D´efinition : Soit Aun anneau commutatif int`egre. On dit que Aest un anneau principal
si tout id´eal de Aest principal.
L’int´erˆet de tels anneaux est de pouvoir y d´efinir une notion de divisibilit´e de la fa¸con
suivante. Soit Aun anneau principal, a, b ∈A, a 6= 0. On dit que adivise b, qu’on note
a|b, si hbi⊂hai.
Pour une ´etude d´etaill´ee des anneaux principaux et des anneaux euclidiens (qui sont
principaux) voir, par exemple, l’ouvrage de Fran¸cois Combes Alg`ebre et G´eom´etrie (Par-
tie III ; paragraphe XI), chez Br´eal.
Corps
D´efinition : Soit (K, +, .) un anneau unitaire. Si, ∀x∈K∗, il existe x0∈K, tel que
x.x0=x0.x = 1, alors (K, +, .) est un corps. Si ∀(x, x0)∈K2, x.x0=x0.x, alors Kest un
corps commutatif.
Proposition : Si Kest un corps, alors il est int`egre, ie ∀(x, y)∈K2, x.y = 0 ⇔x= 0 ou
y= 0.
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Evident.
Dans le cas des anneaux finis, on a le r´esultat : tout anneau int`egre fini est un corps (cf.
exercice 2).
D´efinition : Soit Lun corps et K⊂L,Kest un sous-corps de Lsi :
–Kest un sous-anneau de L;
–K∗est stable par «passage `a l’inverse ».
D´efinition : Soit Ket K0deux corps et ϕune application de Kdans K0; est un homo-
morphisme de corps si
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–∀(x, y)∈K, ϕ(x+y) = ϕ(x) + ϕ(y) et ϕ(x.y) = ϕ(x).ϕ(y) ;
–ϕ(1) = 1.
Remarque : Tout homomorphisme de corps est injectif. En effet, le noyau d’un tel mor-
phisme est soit 0 soit K(si Kerϕcontient a∈K, a 6= 0K, alors ∀b∈K, b =a.(a−1.b) et
ϕ(b) = ϕ(a)ϕ(a−1.b) = 0K). Or ϕ(1K)=1K0, donc ici Kerϕ= 0K.
D´efinition : Soit Kun corps et Φ l’application de Zdans Kd´efinie par : Φ(m) = m.1(=
1 + ... + 1), o`u 1 figure mfois si m∈Net −(1 + ... + 1), o`u -1 figure mfois sinon). Le
noyau de Φ est un id´eal de Z. Cet id´eal est de la forme c.Z, o`u c∈N. On dit que cest
la caract´eristique de K.
Proposition : Soit Kun corps et csa caract´eristique. Si c6= 0 , alors cest un entier
premier.
Proposition : Soit Kun corps et csa caract´eristique. On a les ´equivalences :
–Kcontient un sous-corps isomorphe `a Q⇔la caract´eristique de Kest nulle ;
–Kcontient un sous-corps isomorphe `a Z/pZ⇔la caract´eristique de Kest non nulle.
Il r´esulte de cette proposition que les corps usuels de l’Analyse et de la G´eom´etrie (on
ne parle pas ici des G´eom´etries sur des corps finis) sont tous de caract´eristique nulle.
Mˆeme si elles ne figurent plus explicitement dans le nouveau PO du concours, quelques
propri´et´es importantes des corps finis sont `a connaˆıtre (sans d´emonstration) :
– Tout corps fini est commutatif ;
– le cardinal de tout corps fini est de la forme pn, o`u pest un entier premier et
n∈N∗;
– deux corps finis de mˆeme cardinal sont isomorphes (que pensez-vous de l’´equivalent
pour les groupes ? pour les anneaux ?) ;
– Un corps fini est de caract´eristique non nulle.
Constructibilit´e
La notion de nombre (et donc de point) constructible est li´ee `a celle de nombre
alg´ebrique sur un corps.
D´efinition : Soit Kun corps et Lun sur-corps de K. Un nombre α∈Lest dit alg´ebrique
sur K, s’il est racine d’une ´equation alg´ebrique `a coefficients non tous nuls dans K.
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