Thermodynamique TD1 TSI 2 1

Thermodynamique TD1 TSI 2
1
TD 1 : Présentation de la thermodynamique
Exercice 1 : Modèle du gaz parfait
A) Quelques questions ouvertes :
1) Estimer le nombre de moles et la masse d’air
présente dans la classe.
Avec la loi des gaz parfait =
 ≈∗ ∗ ≈5000
soit =≈5000∗28∗10 ≈140
2) Exprimer puis calculer la masse volumique de
l’air présent dans la classe ?
Avec la loi des gaz parfait =
=  =  soit
=
 ≈∗∗ ∗ ≈1,2/
3) Exprimer puis calculer le volume molaire d’un
gaz supposé parfait dans les conditions de
température et de pression de la classe.
On obtient un volume molaire de 24,4L
B) Validité du modèle du gaz parfait
1) Etablir la relation =∗ pour un gaz
parfait (avec =
≈10. la
constante de Boltzmann). Quelle est, en
particules par mm3, la densité particulaire ∗
des molécules de l’air dans une salle de
classe ?
On a = soit =
= =∗ =∗
∗≈3.10
2) En déduire par un modèle simple la distance
typique entre deux molécules.
Soit  la distance moyenne entre deux particules
voisines alors  particules occupent un volume 
vérifiant = soit 1=∗ et donc ≈3
3) Un gaz présente toujours des interactions
entre particules. Le graphe ci-dessous
représente le profil de l’énergie potentielle
d’interaction () en fonction de la distance
 entre deux particules. Ecrire une inégalité
concernant le rapport ()
() assurant
l’hypothèse du gaz parfait.
∗/ = / >1 soit () ()>10 () () >10
Exercice 2 : Détermination de l’équation d’état d’un
système thermoélastique - Coefficients
thermoélastiques
On définit les coefficients positifs thermo-élastiques
isobare =
 et isotherme =−
1)
a) Donner un nom à ces coefficients en
analysant leur définition.
b) Comment faut-il comprendre la
différence de signe qui apparaît dans
leur définition ?
c) Pourquoi y a-t-il un facteur 
 devant les
dérivées partielles ?
Il s’agit des coefficients de dilatation isobare et de
compression isotherme. Si on souhaite un coefficient 
positif alors, de manière générale, comme >0
entraîne <0, on impose un signe « - ». Ces taux de
variation sont fonctions du volume lui-même (un volume
trois fois plus grand subit une variation trois fois plus
grande). La variation / rend le coefficient intensif
et indépendant du volume du corps étudié.
2) Etude du gaz parfait
a) Exprimer ces coefficients dans le cas
d’un gaz parfait.
D’après la loi des gaz parfaits :=
, donc :
= 1
= =1
=−1
= =1

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b) Calculer ces coefficients dans le cas d’un
gaz parfait à la pression atmosphérique
et à 27°C. ≈3.10
=10
c) Soit un volume  d’un gaz supposé
parfait à la température =300 et la
pression .On effectue un chauffage
isobare de 10°C . En supposant  quasi-
constant, donner l’expression de la
variation relative du volume sachant que
∆≪.
1e analyse : la variation de température est
relativement faible car ∆≪ donc 
 ≈∆ ∆ et ∆≪
donc =
 ≈ ∆ ∆ soit ∆ =∆=3%. On se rend
donc compte que  donne la variation relative du volume
pour ∆=1°
2e analyse : l’équation d’état pour un processus isobare
est = avec les hypothèses ∆≪ et  quasi-
constant alors ∆
=∆=3%.
3e analyse (on suppose que  évolue a priori
notablement) : Pour une augmentation de 10°C, on peut
considérer  comme constant. Alors =
 à 
constant. Donc ()= soit =+()
d’où (,)=()
La variation relative est :
−
= − =()−1≈∆
On retrouve logiquement le même résultat car le
coefficient de dilatation est faible.
4e analyse : sans aucune hypothèse sauf celle d’un
chauffage isobare du GP : ==
 soit :
=
Et :
== =
Soit : ∆
=∆=3%
d) Soit un volume  d’un gaz supposé
parfait à la température  et la pression
=10 . On effectue une compression
isotherme de 0,1bar. En supposant 
constant, donner l’expression de la
variation relative du volume sachant que
∆≪.
1e analyse : la variation de pression est relativement
faible 
 ≈∆ ∆, on peut considérer le volume comme
évoluant linéairement autour de  (car  reste
faible) : =−
 ≈− ∆ ∆ soit ∆ =∆=10%.
2e analyse : =≈ et ∆
=∆=10%.
3e analyse : Pour une augmentation de 0,1bar, on peut
considérer  comme constant. Alors =−
 à 
constant. Donc ()= soit =−+()
d’où (,)=()
La variation relative est :
−
≈−∆=−10%
4e analyse : 
==  et donc  =  et ∆ =∆=
10%.
3) Etude d’une phase condensée
a) L’eau liquide à 27°C, sous 1 bar, a un
coefficient de compressibilité isotherme
de =5.10et un coefficient de
dilatation isobare de =3.10 .
Comparer ces valeurs à celles calculées à
la question précédente dans le cas d’un
gaz parfait.
 =5.10 L’eau liquide est donc nettement
moins compressible que l’air.
L’eau se dilate un peu sous l’effet de la
température, mais assez faiblement (10 fois moins
qu’un gaz).
b) Estimer la variation de pression ∆
nécessaire pour créer, dans le cas de l’air
et de l’eau à une température de 27°C
constante, une variation relative du
volume ∆
 de 10% (on supposera 
constant). Conclure.
1e méthode : si ∆≪ et  constant alors 
 =∆ ∆ et
∆
≈−∆
2e méthode : avec l’équation d’état =−≈
−∆
Soit ∆ =2000 et ∆ =0,1 . Une forte
variation de pression ne fait pas varier de manière
notable le volume d’une phase condensée !

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La dilatation de 3% du volume nécessite 100°C pour
l’eau liquide alors qu’elle ne nécessite que 10°C pour
Le modèle de la phase condensée idéale (incompressible
et indilatable) est tout à fait pertinent !
Exercice 3 : Quelques éléments sur les gaz réels
Pour examiner les limites du modèle du gaz parfait, on
fixe une température  de travail, et on examine, pour
une mole de gaz, le comportement du produit  de la
pression par le volume molaire lorsque  varie.
L’expérience donne les résultats suivants pour quelques
corps à 300K (traits plein) et 600K (pointillés) :
1) Représenter la courbe représentative
associée à un gaz parfait.
Il s’agit d’une droite horizontale
2) Quelle est la variation en % avec la loi des gaz
parfait pour 100 bar ? Conclusion.
Les écarts sont :
- En absolu de 0,4 .
- En relatif de 5%
Le modèle du gaz parfait est bien respecté aux
pressions « raisonnables » et est surtout commun à tous
les gaz !
3) Pour modéliser un gaz réel de dihydrogène, on
propose une équation d’état modifiée :
(−)=.
a) Exprimer lim→ et interpréter la
constante  (on pourra faire un lien avec
la courbe proposée dans l’exercice1).
b) L’équation précédente rend-elle compte
du comportement du dihydrogène donné
ci-dessus ?
c) Exprimer les coefficients
thermoélastiques  et . Que
deviennent-ils si =0 ?
 est homgène à un volume molaire et correspond au
volume molaire propre rendant compte de la non inter
pénétrabilité de la matière (rendant comte du principe
d’exclusion de Pauli) : c’est le volume minimale possible
d’un point de vue classique lim→=. (/)/
représente une distance minimale d’approche
Cette équation d’état s’écrit aussi 
=+  et
traduit une droite croissante.
Donc =
+ et =−   = = ()
= 
=  =et ces deux coefficients sont
cohérents avec ceux du gaz parfait si =0. Et dans les
deux cas, on a un gaz moins dilatable et moins
compressible.
4) Van Der Valls a proposé une équation d’état
encore plus générale :
(+ 
)(−)=
a) Dans le cas où =0 , comparer le
comportement d’un gaz de Van Der Valls
à celui d’un gaz parfait. Interpréter ce
comportement en introduisant une
interaction attractive entre particules.
b) Expliquer pourquoi cette équation d’état
rend compte du graphe () de
l’exercice 1.
En fixant =0 alors =
−
 on trouve une pression
amoindrie. En effet, les atomes présentent toujours un
caractère polaire (au moins instantané) entraînant un
champ attractif vis-à-vis des autres particules.
Davantage retenues, les particules « heurtent » moins
violement la paroi du réacteur.
La courbe () présente un minimum traduisant les
deux effets précédents : la répulsion à très courtes
distances et l’attraction par ailleurs.
A noter que l’on peut retrouver les coefficients de
thermoélastiques :
- En différenciant à T constant
(+ 
)(−)=0
(−)++ 
−2(−) =0
Soit 
 =()
() =()
()()
- Différenciant à P constant :
(−)−2(−)
=
(
)
/
(
.
)

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Soit :
= 
(−)
−2(−)
Exercice 4 : Définitions
Justifier, de manière simple, concise et précise vos
réponses aux questions suivantes :
1) Un système fermé est-il nécessairement
isolé ?
Non, des échanges d’énergie sont incompatible la
définition d’un système isolé
2) Un système isolé est-il nécessairement
fermé ?
Oui avec en plus aucun transfert énergétique.
3) Un système ayant une température et une
pression uniforme dans un réacteur
thermomécanique est-il en équilibre ?
Pas obligatoirement, des parois diathermanes et ou
mobiles implique un équilibre thermomécanique avec
l’extérieur en plus de l’équilibre interne
4) Une transformation quasistatique est-elle
réversible ?
Non, il faut également éviter toute source de
frottement solide dans le cas de nos réacteurs
thermomécaniques.
5) Une transformation réversible est-elle
quasistatique ?
Oui et dépourvue de frottement
6) Une transformation mécaniquement réversible
et isotherme est-elle réversible
Oui, cette fois l’équilibre thermique et mécanique avec
l’extérieur sont réalisés
7) Une transformation mécaniquement réversible
et adiabatique est-elle réversible ?
Oui car l’équilibre thermique interne et mécanique est
réalisé (avec également l’absence de frottement solide)