Thermodynamique I. Le modèle du gaz parfait • Force de pression

Thermodynamique
I. Le modèle du gaz parfait
→
−
−
• Force de pression : d F = P(M)ds →
n
1
2
• Pression : P = 3 nv mu
• Équation d’état des gp : PV = NkB T ⇔ PV = nRT³
• Compressibilité isotherme définie par χT = − V1
1
P
Pour le gaz parfait χT =
et χS =
1
γP
• Capacité thermique définie par CV =
³
´
∂V
∂P T
´
∂U
∂T V
On peut aussi définit la capacité thermique molaire Cv(m) =
Cv
n
II. Le gaz réel
• Température absolue : lim PV = nRT
P→0
• Vdisp = Vm − b avec b le covolume (molaire) correspond au volume propre des molécules.
• P = Pcin − Va2
m
2
• Équation d’état du gaz réel (P + nV 2a ) · (V − nb) = nRT
• Énergie interne U = n(Cv(m) T − Vam )
III. Diffusion de particules
• dN = C(M, t )dτ
δN = ~j dS~
n dt
• j = Cv (vitesse)
• Loi de Fick j (x, t ) = −D
³
´
∂C
∂x t
£
¤
• Bilan de matière : [C(x, t³ + dt
´ ) − C(x,
³ t )]´ Sdx = j (x, t ) − j (x + dx, t ) Sdt
• Équation de diffusion :
∂C
∂t x
=D
∂2 C
∂x 2 t
+σ
• Flux ou courant de particules : Φ = j S
IV. Interprétation microscopique
• On considère une particule cible soumise à un flux F = j . Elle subit Nd chocs par unité de temps. Alors Nd = σF avec σ la
section efficace de collision.
• σ = π(r1 + r2 )2
σ = πd 2 dans le cas de l’autodiffusion
• On appelle libre parcours moyen la distancce moyenne parcourue entre deux chocs l ∼ C10 σ avec C0 la densité volumique de
particules cibles
BT
l ∼ kσP
pour un gaz parfait
1
• D = 3 l vm (vitesse)
3
D∼
k T2
pB
mσP
pour le gaz parfait
V. Machines thermiques
• Sur un cycle ∆H = W +
• Séchi =
N
X
Qi = 0
i =1
Qi
Ti
N Q
X
i
≤0
T
i
i =1
• Le rendement est le rapport entre le transfert utile et le
• Inégalité de Clausius
•
•
•
•
transfert dépensé
Q
Machine ditherme η = 1 + Q21 ≤ 1 − TT21
Sens horaire ⇒ moteur
Sens trigo ⇒ récepteur
L’efficacité est le rapport entre le transfert recherché et le
transfert dépensé
VI. Potentiels thermodynamiques
• Évolution monotherme et isochore : F∗ = U − T0 S et ∆F∗ ≤ Wa
• Évolution monotherme et monobare : G∗ = U + P0 V − T0 S et ∆G∗ ≤ Wa
VII. Identités thermodynamiques et formules de Gibbs-Helmholtz
• dU = −PdV + TdS ³ ´
³ ´
• dF = −PdV − SdT ⇒ ∂∂ VF = −P et ∂∂ TF = −S
T
V
µ ¡F¢¶
2 ∂ T
• U(V, T) = −T
∂T
V
• dH = VdP + TdS ³ ´
³ ´
∂G
• dG = VdP − SdT ⇒ ∂∂ G
=
V
et
∂ T P = −S
µ ¡G¢¶ P T
∂
• H(P, T) = −T 2 ∂ TT
P
VIII. Équilibre du corps pur
a. Définitions
³ ´
³ ´
∂S
=
T
• Cv = ∂∂U
∂ T V (capacité thermique)
³ T ´V
• lV = T ∂∂ VS (chaleur de dilatation)
T
dV
• dS = Cv dT
T + lV T
• dU = Cv dT + (lV − P)dV ⇒ lV = P +
³ ´
³ ´
∂S
• Cp = ∂∂H
=
T
∂T P
³ T ´P
• lP = T ∂∂ PS
³
´
∂U
∂V T
T
dP
• dS = Cp dT
T + lP T
• dH = Cp dT + (lP + V)dP ⇒ lP = −V +
³
´
∂H
∂P T
b. Relations³ de´Clapeyron
• lV = T ∂∂ TP ( Fipuis dérivées partielles de S)
V
³
´
³ 2 ´
• ∂∂CVv = T ∂∂TP2 ( Si)
T ³
V
´
• lP = −T ∂∂ VT ( Gipuis dérivées partielles de S)
P³
´
´
³
2
∂ Cp
= −T ∂∂TV2 ( Si)
• ∂P
T
³ ´ ³P ´
∂V
• Cp − Cv = T ∂∂ TP
∂T
V
P
c. Le corps pur sous deux phases
• On définit la variance v, le nombre de paramètres intensifs indépendants. v = 3 − φ avec φ le nombre de phase.
• Entropie de changement d’état S 2 − S 1 = T1 L1→2
dP
1
= vs22 −s
• Pente de la courbe : dT
−v1
dP
• L1→2 = T(v2 − v1 ) dT
• Courbe de saturation
LM
v
• Titre massique en vapeur xv = m
m = LV
• Condition d’équilibre : g1 (T, P) = g2 (T, P)