V - Psychosmose

UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER - GRENOBLE 1
L2 - PHY231 - Octobre 2006 - Contrôle Continu
Durée : 2 heures (Thermodynamique+Ondes)
Formulaire manuscript A4 recto-verso et calculatrice autorisés
Les sujets Ondes et Thermodynamique seront rendus sur des copies séparées
Partie 1 - Thermodynamique
Les 2 exercices sont indépendants.
Exercice 1 - Étude d’un cycle
1) Question de cours :
Démontrer la loi de Laplace pour les transformations réversibles d’un Gaz Parfait. On démontrera
uniquement la relation liant P et V et on précisera dans la démonstration où sont utilisées les hy-
pothèses de la loi de Laplace.
2) On considère un gaz parfait initialement dans l’état A: ( ). On donne et
. Le gaz est contenu dans un cylindre muni d’une paroi mobile de surface .
On dispose de de ce gaz dont la masse molaire est .
La pression atmosphérique vaut : .
Données numériques : et .
a) Calculer la température et le nombre de moles.
b) Exprimer la vitesse quadratique moyenne ( ) des molécules en fonction de la température ,
de R et de la masse molaire.
En déduire une estimation de la valeur numérique de la vitesse des molécules dans l’état initial.
c) Exprimer pour ce gaz les coefficients et en fonction de R.
Que pouvez-vous en déduire sur la nature du gaz utilisé dans ce cycle ?
Quelles sont les hypothèses microscopiques que ce gaz doit remplir ?
3) Ce gaz parfait subit un cycle de transformations réversibles :
une compression sans échange de chaleur avec le milieu extérieur qui l’amène de l’état A
à l’état B ( ),
une dilatation isotherme de l’état B à l’état C ( ),
une détente isochore de l’état C vers l’état A
a) Représenter de manière schématique ce cycle dans un diagramme de Clapeyron (P,V). Justifier
qualitativement vos choix. S’agit-il d’un cycle moteur ou récepteur ?
b) Déterminer les valeurs des variables d’état , dans les unités SI, pour chacun des états A,
B et C. On résumera les valeurs numériques dans un tableau.
c) Dans l’état B, une masse M se trouve placée sur la paroi mobile. Calculer la valeur numérique
de permettant d’obtenir .
d) De manière qualitative, dire comment varie la vitesse moyenne des molécules entre l’état A et
l’état B.
4) Calculer les quantités de chaleurs ainsi que les travaux échangés au cours des transformations
AB, BC et CA. On résumera les valeurs numériques dans un tableau.
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5)a) Calculer le travail total et la quantité de chaleur totale échangés au cours d’un cycle. Conclure
b) Que devient si les transformations sont irréversibles ?
6)a) Pourquoi la transformation CA est nécessairement irréversible si la source en contact avec le
système est à température constante ?
b) Dans ce cas, calculer l’énergie échangée sous forme de chaleur lors de cette transformation
isochore irréversible.
Exercice 2 - Equation d’état d’un gaz réel
Cet exercice a pour but l’étude de 1 mole d’un gaz réel a priori inconnu.
Une étude expérimentale de ce gaz réel a montré que les coefficients thermoélastiques suivent les
lois suivantes : et
où est la constante des gaz parfaits et une constante caractéristique du gaz étudié.
1) Donner la signification physique du coefficient ainsi que son unité.
2) En utilisant ces deux coefficients thermoélastiques, donner les expressions de
et
3) Etablir l’équation d’état de ce gaz sous la forme . On notera la constante d’intégration.
4)a) Vers quelle limite doit tendre tout gaz réel quand le volume tend vers l’infini ? Justifier et en
déduire la valeur de .
b) Donner la signification physique du terme .
Quelle hypothèse de la définition microscopique du gaz parfait reste valable pour ce gaz réel ?
Rappels :
Coefficients thermoélastiques :
2

Licence 2 - UE PHY231 - Durée : 1h - Octobre 2006
Correction
Partie 1 - Thermodynamique
Les 2 exercices sont indépendants.
Exercice 1 - Étude d’un cycle
1) Question de cours :
Par définition, une transformation adiabatique est une transformation au cours de laquelle le sys-
tème n’échange pas de chaleur avec le milieu extérieur. On a donc : .
Dans le cas d’une transformation réversible, on peut écrire :
On en déduit :
Soit, en faisant le rapport de ces deux équations :
Dans le cas du gaz parfait, on sait que et . D’où :
On intègre la relation précedente :
où on a posé que la constante C est égale à (une autre constante).
On en déduit la loi de Laplace :
(1)
2) a) On a et .
b) Pour un gaz parfait, on a : , où est la constante de Boltzmann et
la masse d’une molécule. On multiplie à gauche et à droite par le nombre d’Avogadro ( ), on
obtient : .
On sait que , et on peut dire que est la masse d’une mole de ce gaz, donc la masse
molaire.
On a donc
3

Il s’agit de la vitesse quadratique moyenne des atomes.
La vitesse moyenne des atomes peut donc être estimée :
c) En utilisant la relation de Mayer ( ) et la définition de , on trouve :
et
Il s’agit d’un gaz parfait monoatomique dont les molécules sont considérées comme ponctuelles et
sans interaction à distance : elles n’ont donc que trois degrés de liberté.
3) a) Entre A et B, on a une compression adiabatique : la pression
augmente et le volume diminue. La pression varie comme
(loi de Laplace).
Entre B et C, on a une détente isotherme : la pression diminue et
le volume augmente. La pression varie comme .
Entre C et A, on a une détente isochore : la pression diminue et le
volume reste constant.
Il s’agit d’un cycle moteur car le cycle est parcouru dans le sens
horaire.
A
B
C
P
V
b) La transformation de A à B est adiabatique réversible d’un Gaz Parfait, on utilise donc la loi de
Laplace : .
On a donc .
Par ailleurs on a .
La transformation de B à C est isotherme, on a donc : .
Finalement, la transformation CA est isochore, on a donc .
Soit .
P (en ) V (en ) T (en )
A
B
C
c) Dans l’état B, la pression du gaz contenu dans l’enceinte est donnée par :
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on a donc .
d) On sait que la température est proportionnelle à l’agitation thermique des molécules. On en
conclue que la vitesse moyenne des molécules augmente entre A et B car T augmente.
NB : on peut également utiliser l’expression trouvée en 2)b).
4) On va utiliser le premier principe et la première loi de Joule (car il s’agit d’un
gaz parfait) : .
Transformation AB : adiabatique réversible.
On a donc , d’où .
Il vient donc et .
Transformation BC : isotherme réversible.
La première loi de Joule nous indique : donc .
Il vient donc
Soit .
Transformation CA : isochore réversible.
On a donc , d’où .
Il vient donc et .
Les valeurs numériques sont résumées dans le tableau suivant :
Q (en ) W (en )
AB
BC
CA
5)a) On a : et . On constate d’une part que
comme on si attend pour un cycle (U est une fonction d’état) et d’autre part que ce qui
est également attendu pour un cycle moteur.
b) U étant une fonction d’état, sa variation ne dépend pas du chemin suivi. En particulier pour un
cycle que la transformation soit réversible ou pas.
6)a) On sait que la transformation CA peut être considérée comme réversible si et seulement si :
elle est quasi-statique, et .
Si la source en contact avec le système est lors de la transformation CA est à température fixe,
l’égalité ne peut être respectée car la température du système évolue lors de cette trans-
formation.
La transformation CA est donc nécessairement irréversible .
b) On est en présence d’une transformation isochore irréversible. On a donc et
(car la loi de Joule est valable pour toutes les tranformations).
On a donc la même valeur de Q (dans ce cas particulier) que lors de la transformation réversible.
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