Arithmétique des nombres entiers

Introduction ` a la Cryptologie
Chapitre 2 : Arithm ´ etique des nombres entiers
Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)
Ann´ ee 2008-2009
IF / IMAG, Master 1, S1-S2
document mis ` a jour le 7 juillet 2009
FOURIER
INSTITUT
f
i
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours # crypto
1/41
Objectifs
Questions de base :
1Qu’est-ce que les nombres entiers ?
2Comment les impl´ ementer sur ordinateur ?
D´ eveloppement math´ ematique :
Retracer le fondement axiomatique.
D´ efinir les op´ erations arithm´ etiques et ´ etablir leurs propri´ et´ es.
Introduire notamment la division euclidienne des entiers.
D´ eveloppement algorithmique :
La num´ eration positionnelle est une repr´ esentation efficace.
´
Etablir des algorithmes pour les op´ erations arithm´ etiques.
Estimer leur complexit´ e : coˆ ut en temps et en m´ emoire.
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Sommaire
1Remarques historiques
2Langage math´ ematique
3Les nombres naturels N
4Impl´ ementation artisanale
5Les nombres entiers Z
6Impl´ ementations professionnelles
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Qu’est-ce que les nombres naturels ?
Num´ eration romaine utilis´ ee jusqu’au moyen ˆ age :
I, II, III, I V, V, V I, V I I, V I II, I X, X, . . .
Num´ eration indo-arabe utilis´ ee de nos jours :
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, . . .
Quatre op´ erations arithm´ etiques :
DXXXVII 537
+LXXIX +79
DMXVI 616
MMVIII 2008
−LXXIX −79
MCMXXIX 1929
XLIII 43
×LXXIX ×79
MMMXXXIIIX 3397
MMMXXXIIIX 3397
÷LXXIX ÷79
XLIII 43
!
Ceci n’est pas une d´ efinition : il ne s’agit que d’exemples.
4/41

Heuristique
Les nombres naturels sont l’abstraction du processus de compter :
Le nombre initial est not´ e0.
`
A chaque nombre naturel non associe son successeur Sn.
Ceci permet d ´ ej` a de nommer quelques petits exemples :
1 := S0,2 := S1,3 := S2,4 := S3,5 := S4,
6 := S5,7 := S6,8 := S7,9 := S8,10 := S9, . . .
On sous-entend tacitement :
1Le nombre 0est le point de d´ epart.
2Ce processus continue infiniment sans jamais boucler.
3Tout nombre naturel est ainsi atteint.
Toute la subtilit´ e est donc de pr´ eciser les trois petits points . . .
§3.1 5/41
D´ efinition des nombres naturels
D´ efinition (nombres naturels)
Les nombres naturels forment un ensemble Nmuni d’un ´ el´ ement initial 0∈N
(z´ ero) et d’une application S:N→N(successeur).
Ce triplet (N,0,S)satisfait aux axiomes suivants :
1Pour tout ndans Non a Sn6= 0.
Autrement dit, 0n’appartient pas ` a l’image de S.
2Pour tout n6=mdans Non a Sn6=Sm.
Autrement dit, Sest injectif.
3Si E⊂Nv´ erifie 0∈Eet S(E)⊂E, alors E=N.
C’est l’axiome de r´ ecurrence.
§3.1 6/41
La construction par r ´ ecurrence
Soient Xun ensemble, x0∈Xun ´ el´ ement, f:X→Xune fonction.
On souhaite construire la suite r ´ ecurrente
x0, x1=f(x0), x2=f(x1), x3=f(x2), . . .
On cherche donc ` a construire une application N→Xcomme suit :
N0S 7→ 1S 7→ 2S 7→ 3S 7→ 4S 7→ 5S 7→ ...
↓↓↓↓↓↓
X x0
f
7→ x1
f
7→ x2
f
7→ x3
f
7→ x4
f
7→ x5
f
7→ ...
Une telle construction est toujours possible et mˆ eme unique :
Th´ eor` eme (Dedekind, 1888)
Soient Xun ensemble, x0∈Xun ´ el´ ement, f:X→Xune fonction. Alors il
existe une unique fonction g:N→Xv´ erifiant g(0) = x0et g◦S=f◦g,
c’est-` a-dire que g(Sn) = f(g(n)) pour tout n∈N.
§3.2 7/41
L’addition des nombres naturels
D´ efinition (addition)
Il existe une unique application +: N×N→Nd´ efinie par m+ 0 := mpuis
par r´ ecurrence par m+Sn:= S(m+n)pour tout m, n ∈N.
Remarquons que n+ 1 = n+S0 = S(n+ 0) = Sn.
Ceci permet de remplacer Spar la notation n7→ n+ 1.
Proposition
L’op ´ eration +, appel´ ee addition, jouit des propri ´ et´ es suivantes :
∀a, b, c ∈N: (a+b) + c=a+ (b+c)(A1 : associativit´ e)
∀a, b ∈N:a+b=b+a(A2 : commutativit´ e)
∀a∈N: 0 + a=a(A3 : ´ el´ ement neutre)
L’addition est cancellative : m+k=n+kimplique m=n.
§3.3 8/41

La multiplication des nombres naturels
D´ efinition (multiplication)
Il existe une unique application ·:N×N→Nd´ efinie par m·0 := 0 puis par
r´ ecurrence m·Sn:= m·n+mpour tout m, n ∈N.
Proposition
L’op ´ eration ·, appel´ ee multiplication, jouit des propri ´ et´ es suivantes :
∀a, b, c ∈N: (a·b)·c=a·(b·c)(M1 : associativit´ e)
∀a, b ∈N:a·b=b·a(M2 : commutativit´ e)
∀a∈N: 1 ·a=a·1 = a(M3 : ´ el´ ement neutre)
La multiplication est cancellative :
si m·k=n·ket k6= 0, alors m=n.
La multiplication est distributive sur l’addition :
k·(m+n) = (k·m) + (k·n).
§3.4 9/41
L’exponentiation des nombres naturels
D´ efinition (exponentiation)
Il existe une unique application ˆ: N×N→Nd´ efinie par a0:= 1 puis par
r´ ecurrence aSn:= an·apour tout a, n ∈N.
Proposition
L’op ´ eration ˆ, appel´ ee exponentiation, jouit des propri´ et´ es suivantes :
a1=aet am+n=am·anet (am)n=am·n.
Si n6= 0, alors an=bnimplique a=b.
Si a /∈ {0,1}, alors am=animplique m=n.
§3.4 10/41
L’ordre des nombres naturels
D´ efinition
On d´ efinit la relation ≤sur Nen posant m≤nsi et seulement s’il existe
k∈Ntel que m+k=n.
Proposition
La relation ≤est un ordre total sur N.
C’est-` a-dire que pour tout a, b, c ∈Non a :
a≤a(r´ eflexivit´ e)
a≤bet b≤aimpliquent a=b(antisym´ etrie)
a≤bet b≤cimpliquent a≤c(transitivit´ e)
a≤bou b≤a(totalit´ e)
Proposition
L’ensemble Nmuni de sa relation d’ordre ≤est bien ordonn´ e :
Tout sous-ensemble non vide X⊂Nadmet un plus petit ´ el´ ement,
c’est-` a-dire qu’il existe m∈Xtel que m≤xpour tout x∈X.
§3.5 11/41
Les op´ erations respectent l’ordre
Proposition
L’addition et la multiplication respectent l’ordre sur N:
m≤nimplique m+k≤n+k.
m≤nimplique mk ≤nk.
Il en est de mˆ eme pour l’in´ egalit´ e stricte :
m < n implique m+k < n +k.
m < n implique mk < nk pourvu que k6= 0.
Pour l’exponentiation on obtient :
Si m < n et k6= 0, alors mk< nk.
Si m < n et a6∈ {0,1}, alors am< an.
D´ efinition (soustraction)
Dans Nla soustraction n−mn’est d´ efinie que si n≥m.
Dans ce cas il existe k∈Ntel que m+k=n.
Ce nombre est unique, on peut donc d´ efinir n−m:= k.
§3.5 12/41

Divisibilit´ e et division
D´ efinition (divisibilit´ e)
On d´ efinit la relation |sur Nen posant m|n(dit «mdivise n»)
si et seulement s’il existe k∈Ntel que mk =n.
Proposition
La relation |est un ordre partiel sur N.
C’est-` a-dire que pour tout a, b, c ∈Non a :
a|a(r´ eflexivit´ e)
a|bet b|aimpliquent a=b(antisym´ etrie)
a|bet b|cimpliquent a|c(transitivit´ e)
D´ efinition (division)
Dans Nla division a/b n’est d´ efinie que si b|a.
Dans ce cas il existe q∈Ntel que bq =a.
`
A l’exception du cas a=b= 0 le nombre qest unique.
Sous cette pr´ ecaution on peut donc d´ efinir a/b := q.
§3.6 13/41
Division euclidienne
Proposition (division euclidienne)
Soient a, b ∈Ndeux nombres naturels tels que b6= 0.
Alors il existe une unique paire (q, r)∈N×N
v´ erifiant a=b·q+ret 0≤r < b.
Notation
Dans la situation pr´ ec´ edente on appelle
aquo b:= qle quotient et
arem b:= rle reste
de la division euclidienne de apar b.
Remarque
Si b|aalors a=bc pour un certain cnot ´ ec=a/b.
La division euclidienne nous donne a=bq +r.
L’unicit ´ e assure que q=a/b et r= 0.
§3.7 14/41
Num´ eration positionnelle
On fixe un nombre naturel B≥2que l’on appelle base dans la suite.
Th´ eor` eme (num´ eration en base B)
Alors tout nombre naturel a≥1s’´ ecrit de mani ` ere unique comme
a=anBn+an−1Bn−1+· · · +a1B+a0
o` ua0, a1,...,an−1, ansont des nombres naturels v ´ erifiant 0≤ak< B pour
tout k= 0,...,nainsi que an6= 0 (normalisation).
Id´ ee de la preuve : on applique la division euclidienne.
a= (anBn−1+an−1Bn−2+· · · +a1B0)
|{z }
aquoB
B+a0
|{z}
aremB
Ceci permet de trouver a0=arem B. On conclut par r´ ecurrence.
§3.8 15/41
Num´ eration positionnelle : notation
De mani` ere abr´ eg´ ee on ´ ecrit aussi
han, an−1,...,a1, a0iB:= anBn+an−1Bn−1+· · · +a1B+a0.
D´ efinition
On appelle a= (a0, a1,...,an)la repr ´ esentation de aen base B.
On appelle lenB(a) := n+ 1 la longueur de aen base B.
Lorsque Best assez petit, on peut repr´ esenter chaque nombre ai
v´ erifiant 0≤ai< B par un symbole distinctif, appel ´ echiffre.
En base fix´ ee (disons B= 10) ceci m` ene ` a une notation comme
1729 := h1,7,2,9idec := 1 ·103+ 7 ·102+ 2 ·101+ 9 ·100.
C’est simple et efficace, mais il fallait y penser !
§3.8 16/41

Repr´ esentation des nombres naturels
Pour une impl´ ementation concr` ete sur ordinateur il nous faut
une repr´ esentation des donn´ ees et
une impl´ ementation des op´ erations.
Question pr´ eparatoire : comment faire ?
Ici on repr´ esente a=Pm
i=0 aiBipar la suite a= (a0,...,am).
!
On exigera que cette repr´ esentation asoit normalis ´ ee :
0≤ai< B et an6= 0.
!
Si une op´ eration risque de finir avec une suite non normalis´ ee
on effectue une normalisation pour propager les retenues.
§4.1 17/41
D´ efinition de la classe Naturel
typedef int Indice; // type pour stocker un indice
typedef short int Chiffre; // type pour stocker un chiffre (ou deux)
const Chiffre base= 10; // base entre 2 et 16, ici on choisit 10
const char chiffre[]= "0123456789abcdef"; // chiffres pour l’affichage
class Naturel
{
public:
vector<Chiffre> chiffres; // suite des chiffres dans la base donn´ee
Indice size() const {return chiffres.size(); };
bool zero() const {return chiffres.empty(); };
void clear() { chiffres.clear(); };
void raccourcir();
void normaliser();
};
§4.2 18/41
Stockage des chiffres
Supprimer des z ´ eros superflus :
void Naturel::raccourcir()
{
while ( !chiffres.empty() && chiffres.back() == Chiffre(0) )
chiffres.pop_back();
};
Acc´ eder au chiffre aipar a[i] via une indexation s´ ecuris ´ ee :
Chiffre Naturel::operator[] ( Indice i ) const
{
if ( i<0 || i>=Indice(chiffres.size()) )
return Chiffre(0);
else
return chiffres[i];
};
§4.2 19/41
Propager les retenues
void Naturel::normaliser()
{
Chiffre retenue= 0;
for( Indice i=0; i<Indice(chiffres.size()); ++i )
{
chiffres[i]+= retenue;
retenue = chiffres[i]/base;
chiffres[i]%= base;
};
while( retenue > 0 )
{
chiffres.push_back( retenue % base );
retenue/= base;
};
raccourcir();
};
§4.2 20/41