TS Ch 11 Les lois continues

TS LES LOIS A DENSITE
I. Exemples d'introduction :
1 ) Choisir un nombre dans un intervalle
1. a) Il y a 10 nombres ayant au plus 1 décimale dans [ 0 ; 1 [ donc la probabilité cherchée est de
1
.
10
1
.
100
n
–n
c) Il y a 10 nombres ayant au plus n décimales dans [ 0 ; 1 [ donc la probabilité cherchée est de 10 .
b) Il y a 100 nombres ayant au plus 2 décimales dans [ 0 ; 1 [ donc la probabilité cherchée est de
2. Sans indication la probabilité de trouver le nombre est quasiment 0 car
lim 10–n = 0 .
n  +
3. a) La probabilité que le nombre se trouve dans un intervalle dépend de la longueur de l'intervalle.
Donc la probabilité que le nombre soit entre 0 et 0,2 est la même que celle d'être entre 0,5 et 0,7.
0,7 – 0,5
Cette probabilité serait
= 0,2.
1–0
b) Probabilité d'être entre 0,3 et 0,4 : 0,1 et probabilité d'être entre 0,3 et 0,7 : 0,4 donc 4 fois plus.
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2) Atteindre une cible
1. La probabilité d'atteindre une zone d'aire S sera égale au quotient de l'aire de la zone par l'aire totale soit
2) a)
[a ; b[
[ 0 ; 0,2 [
P(X  [a ; b[ )
Hauteur du
rectangle
2   (0,2)²
2
= ( 0,2 )²
= 0,04
0,04
= 0,2
0,2
S
.
2
[ 0,2 ; 0,4 [
[ 0,4 ; 0,6 [
[ 0,6 ; 0,8 [
[ 0,8 ; 1 [
2   (0,4)² – 2   (0,2)²
2
= (0,4)² – ( 0,2)²
= 0,12
0,12
= 0,6
0,2
2   (0,6)² – 2   (0,4)²
2
= (0,6)² – ( 0,4)²
= 0,2
0,2
=1
0,2
2   (0,8)² – 2   (0,6)²
2
= (0,8)² – ( 0,6)²
= 0,28
0,28
= 1,4
0,2
2   – 2   (0,8)²
2
= 1 – ( 0,8)²
= 0,36
0,36
= 1,8
0,2
y
y = 2x
1.8
1.4
1
0.6
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 x
= 1,0 %
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3.
[a ; b[
[ 0 ; 0,1 [
[ 0,1 ; 0,2 [
[ 0,2 ; 0,3 [
[ 0,3 ; 0,4 [
[ 0,4 ; 0,5 [
[ 0,5 ; 0,6 [
[ 0,6 ; 0,7 [
[ 0,7 ; 0,8 [
[ 0,8 ; 0,9 [
[ 0,9 ; 1 [
P(X  [a ; b[ )
0,01
0,03
0,05
0,07
0,09
0,11
0,13
0,15
0,17
0,19
Hauteur du
rectangle
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
y
y = 2x
1.8
1.4
1
0.6
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1x
= 1,0 %
4. a) La droite passe par l'origine et par le point de coordonnées ( 1 ; 2 ) donc elle a pour équation y = 2x .
b) P( X  [ 0,2 ; 0,4 [ ) est l'aire du domaine compris entre la droite d'équation y = 2x , les droites verticales d'équations x = 0,2
0,4
et x = 0,4 et l'axe des abscisses donc c'est ∫0,2 2𝑥 𝑑𝑥 = 0,4² – 0,2² = 0,12 car une primitive de 2x est x².
La fonction représentée par la droite d'équation y = 2x est la densité de probabilité.
Elle est continue et positive sur [ 0 ; 1 ].
1
∫0 2𝑥 𝑑𝑥 = 1² – 0 = 1 et
𝑏
P( [ a ; b [ ) = ∫𝑎 2𝑥 𝑑𝑥 = b² – a² si a et b sont des réels de [ 0 ; 1 ] avec a < b.
II. Définitions générales :
1) Variable aléatoire continue :
Une variable aléatoire continue X est une fonction qui, à chaque issue d'un univers E,
associe un réel d'un intervalle I de IR.
Exemples :
Distance de l'impact au centre de la cible ( activité 2 )
Durée d'une communication téléphonique.
Durée de bon fonctionnement d'un appareil électrique.
2) Loi de probabilité à densité :
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I de IR.
Soit f une fonction continue et positive sur I telle que :
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 si I = [ a ; b ]
𝑥
lim ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 si I = [ a ; +  [
x  +
On dira que la loi de probabilité P de X a pour densité f , si, pour tout intervalle [ c ; d ] de I,
𝑑
P( X  [ c ; d ] ) = ∫𝑐 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ( aire du domaine compris entre la courbe de f , les droites x = c et x = d
et l'axe des abscisses).
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Conséquences :
𝑎
Pour tout réel a de I , P ( X = a ) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 0 ( voir activité 1 ).
P ( a  X  b ) = P ( a  X < b ) = P ( a < X  b ) = P ( a < X < b ).
𝑐
Si I = [ a ; +  [ , quel que soit le réel c de I on a P ( X > c ) = 1 – P ( a < X < c ) = 1 – ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
Les formules et propriétés des lois de probabilité discrètes s'appliquent aux lois continues
( probabilité de l'événement contraire, probabilité conditionnelle … )
3) Espérance d'une variable qui suit une loi de probabilité à densité :
On va prolonger la définition de l'espérance pour une variable aléatoire discrète
E(X) = ∑ 𝑥𝑖 P(X = 𝑥𝑖 ).
𝑏
L'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi de densité f sur [ a ; b ] est E(X) = ∫𝑎 𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
III. Loi uniforme sur [ a ; b ] :
1) Définitions :
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un intervalle [ a ; b ] de IR ( avec a < b )
si la densité de probabilité est une fonction constante sur [ a ; b ].
Reprenons l'activité 1 : Posons f(x) = k une fonction constante sur [ 0 ; 1 ].
1
On doit avoir ∫0 𝑘 𝑑𝑡 = 1 donc k – 0 = 1 donc k = 1.
Donc f(x) = 1 sur [ 0 ; 1 ].
0,7 – 0,5
= 0,2.
1–0
On peut donc dire que X suit une loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] de densité f(x) = 1.
0,7
De plus ∫0,5 1 𝑑𝑡 = 0,7 – 0,5 = 0,2 et P( 0,5  X < 0,7 ) =
Cas général : On se place dans un intervalle [ a ; b ] de IR avec a < b.
Posons f(x) = k une fonction constante sur [ a ; b ].
𝑏
On doit avoir ∫𝑎 𝑘 𝑑𝑡 = 1 donc kb – ka = 1 donc k =
Donc f(x) =
1
.
b–a
1
sur [ a ; b ].
b–a
Conclusion : La densité de probabilité de la loi uniforme sur [ a ; b ] est la fonction constante
1
f(x) =
.
b–a
Propriété : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [ a ; b ]
Alors, pour tout intervalle [ c ; d ] avec c < d inclus dans [ a ; b ] on a :
d–c
P( c  X  d ) =
b–a
𝑑
En effet P( c  X  d ) = ∫𝑐
1
1
d–c
dt =
(d–c)=
b–a
b–a
b–a
2) Espérance :
Si X suit une loi uniforme sur [ a ; b ] E(X) =
𝑏
En effet, E(X) = ∫𝑎 𝑡 ×
a+b
2
1
1
1
1 (b–a)(b+a)
a+b
dt =
 ( b² – a² ) = 
=
b–a
b–a 2
2
b–a
2
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IV. Lois exponentielles ( lois de durée de vie sans vieillissement ):
1) Définition :
Soit  un nombre réel strictement positif.
On appelle loi exponentielle de paramètre  sur [ 0 ; +  [ la loi de probabilité continue admettant
comme densité la fonction définie sur [ 0 ; +  [ par f(x) =  e–  x .
Vérifions que f ainsi définie est une loi de probabilité sur [ 0 ; +  [.
Elle est continue et strictement positive sur [ 0 ; +  [.
x
𝑥
lim ∫0  e–  𝑡 dt = xlim
[ – e–  t ] 0 = xlim
( 1 – e–  x ) = 1.
x  +
 +
 +
donc f est bien une densité de probabilité .
2) Calcul de probabilités avec les lois exponentielles :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre .
Pour tout intervalle [ c ; d ] de [ 0 ; +  [ on a :
P( c  X  d ) = e–  c – e–  d
P( X  c ) = e–  c .
d
𝑑
En effet, P( c  X  d ) = ∫𝑐  e–  𝑡 dt = [ – e–  t ] c = e–  c – e–  d
c
𝑐
P( X  c ) = 1 – ∫0  e–  𝑡 dt = 1 – [ – e–  t ] 0 = 1 – ( 1 – e–  c ) = e–  c .
3) Espérance :
L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre  est E(X) =
𝑥
1
.

𝑥
En effet, E(X) = lim ∫0 𝑡 ×  e–  𝑡 dt = lim ∫0 t e–  𝑡 dt .
x  +
x  +
Posons g(t) = t e–  𝑡 . On va chercher une primitive de g sous la forme G(t) = ( at + b ) e– t .
G'(t) = a e– t –  ( at + b ) e– t = ( –  a t + a –  b ) e– t .
G'(t) = g(t) pour tout réel t positif donne, par identification,
1
–  a =  donc a = – 1 et a – b = 0 donc b = – .

1
𝑥
1
1 1
On a donc G(t) = ( – t – ) e– t . Donc E(X) = xlim
( – x – ) e– x + =
∫0 t e–  𝑡 dt = xlim

+

+


 
1
1
car xlim
– x e– x = xlim
(–  x e– x ) = 0 et xlim
– e– x = 0.
 +
 + 
 +

4) Loi de durée de vie sans vieillissement :
La durée de vie de certains appareils est une variable aléatoire prenant ses valeurs dans [ 0 ; +  [.
Si la durée de vie ne dépend pas du temps pendant lequel l'appareil a fonctionné, on dit qu'il s'agit d'une
" durée de vie sans vieillissement " (composants électroniques...).
Autrement dit, T suivra une loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité que l'appareil
soit vivant à l'instant t + h ( avec h  0 ), sachant qu'il est vivant à l'instant t, ne dépend pas de t.
On a alors : P( T  t )(T  t + h ) = P( T  h ).
Si on note ( T  t ) l'événement " l'appareil est encore en vie à l'instant t " , on a :
P( (T  t + h )  ( T  t ) ) P( T  t + h )
P( T  t )(T  t + h ) =
=
= P( T  h )
P( T  t )
P(T  t )
On peut démontrer que si T suit la loi exponentielle de paramètre  sur [ 0 ; +  [
alors T suit une loi de durée de vie sans vieillissement.
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En effet, P(T  t + h ) = e–  ( t + h ) et P( T  t ) = e– t donc
P( T  t + h ) –  h
=e
= P( T  h ).
P(T  t )
Exemples :
Partie A :
X suit une loi exponentielle de paramètre  .
1) P ( 0  X   ) = e0 – e–  = 1 – e–  et
P( X   ) = e– 
1
1
ln(2)
donc 1 – e–  = e–   2 e–  = 1  e–  =
 –  = ln( ) = – ln(2)   =
2
2

1
P ( 0  X   ) = P( X   ) =
donc la notion de demi-vie se rapproche de celle de la médiane.
2
La demi-vie sépare les valeurs de X en deux sous-ensembles de même probabilité.
1

2) E(X)=
donc E(X) =
donc  = E(X)  ln(2) Or 0 < ln(2) < 1 donc  < E(X).
ln(2)

Partie B :
 = 5,5 ans d'après l'énoncé.
ln(2) ln(2)
1
1)  =
=
 0,126 donc E(X) =  7,93 ans soit environ 7 ans et 11 mois.
5,5


2) P(X > 8 ) ( X > 10 ) = P(X > 8 ) ( X > 8 + 2 ) = P ( X > 2 ) = e– 2  0,777.
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PARTIE A
1) P(X  1 ) est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 1.
2) La fonction de densité de la loi est f(x) =  e– t donc f(0) = . On lit donc la valeur de  à l'intersection de la courbe avec l'axe
des ordonnées. On lit donc  = 1,5.
'
1
1
3) a) Il suffit de dériver : ( – t – ) e– t  = – 1 e– t + ( – t – ) ( –  e– t ) = e– t ( – 1 + t + 1 ) = t e– t cqfd




b) E(X) =
lim
x  +
0x

𝑥
t f(t) dt
1
1
1
1
1
= lim [( – t – ) e– t ] = lim ( – 𝑥 – ) e– 𝑥 + = lim – x e– 𝑥 – e– 𝑥 +
x  +
x  +
x  +





0
or lim –  x = –  . Posons X = –  x
x  +
lim –  x e– 𝑥 = 0 donc lim – x e– 𝑥 = 0
x  +
x  +
lim –
x  +
donc par somme lim – x e– 𝑥 –
x  +
1 – 𝑥 1 1
e
+ = = E(X).

 
4) a) Le triangle ABC est un triangle rectangle en O donc son aire est
1 – 𝑥
e
=0

AO  OC
1 1
3 3 1
= 1,5   =
= = = 0,5
2
 2 4 6 2
1
) est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation

1
Cette aire est supérieure à l'aire du triangle AOC qui vaut 0,5 donc l'affirmation est fausse. P( X  ) > 0,5.

PARTIE B
1) a) P(X  1 ) = 1 – e–  = 1 – e–1,5  0,777.
b) P(X  2 ) = e– 2 = e–3.
2) P(1  X  2 ) = 1 – P(X  1 ) – P(X  2 ) = 1 – (1 – e–1,5 ) – e– 2 = e–1,5 – e– 3  0,173
P( (1  X  2 )  ( X  1 ) ) P( 1  X  2 ) e–1,5 – e– 3
3) P(X  1) ( 1  X  2 ) =
=
=
 0,223 donc c'est faux.
1 – e–1,5
P( X  1 )
P( X  1 )
b) P( X 
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x = 1.

F.T
a) PC (A) est la probabilité de rencontrer une crevasse entre le départ et le refuge sachant que cette crevasse existe.
PC (B) est la probabilité de rencontrer une crevasse entre le refuge et l'arrivée sachant que cette crevasse existe.
d–0
1– d
PC (A) =
= d et PC (B) =
=1–d
1–0
1–0
b)
P(A) = P(A  C) = d p
P(B) = P( B  C ) = ( 1 – d ) p
c) Si le skieur est arrivé sans encombre au refuge cela signifie que la crevasse est entre le refuge et l'arrivée ou que la crevasse
n'existe pas.
Donc la probabilité qu'il rencontre la crevasse sur le reste du parcours sachant qu'il ne l'a pas rencontrée avant est
P(B  C) (1 – d) p
PA (B  C) =

=
.
P(A)
1 –d p
Si p= 1 cela signifie que la crevasse existe donc si elle n'est pas entre le départ et le refuge, elle est forcément entre le refuge et
1–d
l'arrivée donc il est logique que l'on trouve P A (B  C) =
= 1.
1–d
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