TS Ch 11 Les lois continues

TS Ch11 Lois à densité 2016–2017 F.T
TS LES LOIS A DENSITE
I. Exemples d'introduction :
1 ) Choisir un nombre dans un intervalle
1. a) Il y a 10 nombres ayant au plus 1 décimale dans [ 0 ; 1 [ donc la probabilité cherchée est de 1
10.
b) Il y a 100 nombres ayant au plus 2 décimales dans [ 0 ; 1 [ donc la probabilité cherchée est de 1
100.
c) Il y a 10n nombres ayant au plus n décimales dans [ 0 ; 1 [ donc la probabilité cherchée est de 10–n.
2. Sans indication la probabilité de trouver le nombre est quasiment 0 car lim
n +
10–n = 0 .
3. a) La probabilité que le nombre se trouve dans un intervalle dépend de la longueur de l'intervalle.
Donc la probabilité que le nombre soit entre 0 et 0,2 est la même que celle d'être entre 0,5 et 0,7.
Cette probabilité serait 0,7 – 0,5
1 – 0 = 0,2.
b) Probabilité d'être entre 0,3 et 0,4 : 0,1 et probabilité d'être entre 0,3 et 0,7 : 0,4 donc 4 fois plus.

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2) Atteindre une cible
1. La probabilité d'atteindre une zone d'aire S sera égale au quotient de l'aire de la zone par l'aire totale soit S
2 .
2) a)
[a ; b[
[ 0 ; 0,2 [
[ 0,2 ; 0,4 [
[ 0,4 ; 0,6 [
[ 0,6 ; 0,8 [
[ 0,8 ; 1 [
P(X  [a ; b[ )
2   (0,2)²
2 
= ( 0,2 )²
= 0,04
2   (0,4)² – 2   (0,2)²
2 
= (0,4)² – ( 0,2)²
= 0,12
2   (0,6)² – 2   (0,4)²
2 
= (0,6)² – ( 0,4)²
= 0,2
2   (0,8)² – 2   (0,6)²
2 
= (0,8)² – ( 0,6)²
= 0,28
2   – 2   (0,8)²
2 
= 1 – ( 0,8)²
= 0,36
Hauteur du
rectangle
0,04
0,2 = 0,2
0,12
0,2 = 0,6
0,2
0,2 = 1
0,28
0,2 = 1,4
0,36
0,2 = 1,8
= 1,0 %
0
1
x
y
0.2
0.4
0.6
0.8
0.2
0.6
1
1.4
1.8
y = 2x

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3.
[a ; b[
[ 0 ; 0,1 [
[ 0,1 ; 0,2 [
[ 0,2 ; 0,3 [
[ 0,3 ; 0,4 [
[ 0,4 ; 0,5 [
[ 0,5 ; 0,6 [
[ 0,6 ; 0,7 [
[ 0,7 ; 0,8 [
[ 0,8 ; 0,9 [
[ 0,9 ; 1 [
P(X  [a ; b[ )
0,01
0,03
0,05
0,07
0,09
0,11
0,13
0,15
0,17
0,19
Hauteur du
rectangle
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
4. a) La droite passe par l'origine et par le point de coordonnées ( 1 ; 2 ) donc elle a pour équation y = 2x .
b) P( X [ 0,2 ; 0,4 [ ) est l'aire du domaine compris entre la droite d'équation y = 2x , les droites verticales d'équations x = 0,2
et x = 0,4 et l'axe des abscisses donc c'est 
 = 0,4² – 0,2² = 0,12 car une primitive de 2x est x².
La fonction représentée par la droite d'équation y = 2x est la densité de probabilité.
Elle est continue et positive sur [ 0 ; 1 ].
 = 1² – 0 = 1 et
P( [ a ; b [ ) = 
 = b² – a² si a et b sont des réels de [ 0 ; 1 ] avec a < b.
II. Définitions générales :
1) Variable aléatoire continue :
Une variable aléatoire continue X est une fonction qui, à chaque issue d'un univers E,
associe un réel d'un intervalle I de IR.
Exemples : Distance de l'impact au centre de la cible ( activité 2 )
Durée d'une communication téléphonique.
Durée de bon fonctionnement d'un appareil électrique.
2) Loi de probabilité à densité :
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I de IR.
Soit f une fonction continue et positive sur I telle que :
 = 1 si I = [ a ; b ]
lim
x +
 = 1 si I = [ a ; +
[
On dira que la loi de probabilité P de X a pour densité f , si, pour tout intervalle [ c ; d ] de I,
P( X [ c ; d ] ) = 
 ( aire du domaine compris entre la courbe de f , les droites x = c et x = d
et l'axe des abscisses).
= 1,0 %
0
1
x
y
0.2
0.4
0.6
0.8
0.2
0.6
1
1.4
1.8
y = 2x

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Conséquences :
Pour tout réel a de I , P ( X = a ) = 
 = 0 ( voir activité 1 ).
P ( a X b ) = P ( a X < b ) = P ( a < X b ) = P ( a < X < b ).
Si I = [ a ; + [ , quel que soit le réel c de I on a P ( X > c ) = 1 – P ( a < X < c ) = 1 – 
Les formules et propriétés des lois de probabilité discrètes s'appliquent aux lois continues
( probabilité de l'événement contraire, probabilité conditionnelle … )
3) Espérance d'une variable qui suit une loi de probabilité à densité :
On va prolonger la définition de l'espérance pour une variable aléatoire discrète
E(X) = ∑P(X = ).
L'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi de densité f sur [ a ; b ] est E(X) = 
III. Loi uniforme sur [ a ; b ] :
1) Définitions :
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un intervalle [ a ; b ] de IR ( avec a < b )
si la densité de probabilité est une fonction constante sur [ a ; b ].
Reprenons l'activité 1 : Posons f(x) = k une fonction constante sur [ 0 ; 1 ].
On doit avoir 
 = 1 donc k – 0 = 1 donc k = 1.
Donc f(x) = 1 sur [ 0 ; 1 ].
De plus 
 = 0,7 – 0,5 = 0,2 et P( 0,5
X < 0,7 ) = 0,7 – 0,5
1 – 0 = 0,2.
On peut donc dire que X suit une loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] de densité f(x) = 1.
Cas général : On se place dans un intervalle [ a ; b ] de IR avec a < b.
Posons f(x) = k une fonction constante sur [ a ; b ].
On doit avoir 
 = 1 donc kb – ka = 1 donc k = 1
b – a .
Donc f(x) = 1
b – a sur [ a ; b ].
Conclusion : La densité de probabilité de la loi uniforme sur [ a ; b ] est la fonction constante
f(x) = 1
b – a .
Propriété : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [ a ; b ]
Alors, pour tout intervalle [ c ; d ] avec c < d inclus dans [ a ; b ] on a :
P( c X d ) = d – c
b – a
En effet P( c X d ) = 
 = 
 ( d – c ) = d – c
b – a
2) Espérance :
Si X suit une loi uniforme sur [ a ; b ] E(X) = a + b
2
En effet, E(X) = 
 = 
1
2 ( b² – a² ) = 1 2
( b – a ) ( b + a )
b – a = a + b 2

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IV. Lois exponentielles ( lois de durée de vie sans vieillissement ):
1) Définition :
Soit  un nombre réel strictement positif.
On appelle loi exponentielle de paramètre  sur [ 0 ; + [ la loi de probabilité continue admettant
comme densité la fonction définie sur [ 0 ; + [ par f(x) =  e–  x .
Vérifions que f ainsi définie est une loi de probabilité sur [ 0 ; + [.
Elle est continue et strictement positive sur [ 0 ; + [.
lim
x +
 = lim
x +
[ – e–  t ] x
0 = lim
x +
( 1 – e–  x ) = 1.
donc f est bien une densité de probabilité .
2) Calcul de probabilités avec les lois exponentielles :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre .
Pour tout intervalle [ c ; d ] de [ 0 ; + [ on a :
P( c X d ) = e–  c – e–  d
P( X c ) = e–  c .
En effet, P( c X d ) = 
 = [ – e–  t ] d
c = e–  c – e–  d
P( X c ) = 1 – 
 = 1 – [ – e–  t ] c
0 = 1 – ( 1 – e–  c ) = e–  c .
3) Espérance :
L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre  est E(X) = 1
 .
En effet, E(X) = lim
x +
 = lim
x +
 .
Posons g(t) =  . On va chercher une primitive de g sous la forme G(t) = ( at + b ) e– t .
G'(t) = a e– t –  ( at + b ) e– t = ( –  a t + a –  b ) e– t .
G'(t) = g(t) pour tout réel t positif donne, par identification,
–  a =  donc a = – 1 et a – b = 0 donc b = – 1
.
On a donc G(t) = ( – t – 1
 ) e– t . Donc E(X) = lim
x +
 = lim
x +
( – x – 1
 ) e– x + 1  = 1
car lim
x +
– x e– x = lim
x +
1
 (–  x e– x ) = 0 et lim
x +
– 1
 e– x = 0.
4) Loi de durée de vie sans vieillissement :
La durée de vie de certains appareils est une variable aléatoire prenant ses valeurs dans [ 0 ; + [.
Si la durée de vie ne dépend pas du temps pendant lequel l'appareil a fonctionné, on dit qu'il s'agit d'une
" durée de vie sans vieillissement " (composants électroniques...).
Autrement dit, T suivra une loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité que l'appareil
soit vivant à l'instant t + h ( avec h 0 ), sachant qu'il est vivant à l'instant t, ne dépend pas de t.
On a alors : P( T
t )(T
t + h ) = P( T h ).
Si on note ( T t ) l'événement " l'appareil est encore en vie à l'instant t " , on a :
P( T
t )(T
t + h ) = P( (T
t + h ) ( T t ) )
P( T t ) = P( T
t + h )
P(T t ) = P( T
h )
On peut démontrer que si T suit la loi exponentielle de paramètre  sur [ 0 ; + [
alors T suit une loi de durée de vie sans vieillissement.