THEORIE DES ENSEMBLES

THEORIE DES ENSEMBLES
I ) DEFINITIONS :
Définition 1 : x∈E signifie : " l'élément x appartient a l'ensemble E " .
x∉E signifie : " l'élément x n'appartient pas a l'ensemble E " .
______________________________
Représentation :
E
x
y
z
t
a
Dans ce cas z∈E mais a∉E
______________________________
Notation : 1 ) L'ensemble contenant les éléments a1 , a2 , ....an se note { a1 , a2 , ....an }
Par exemple E = { 1 , 5 , 8 } contient les chiffres 1 , 5 et 8 et uniquement eux .
2 ) Soit E un ensemble , l'ensemble des éléments de E ayant la propriété P s'écrit :
A = { x∈E / P(x) } on a donc x∈ A ⇔ x∈ E et P(x)
Par exemple : { x∈ lR / x ≤ 2 } = ] - ∞ , 2 ] .
______________________________
Définition 2 : Soient E et F deux ensembles
E est inclus dans F noté
E ⊂ F ⇔ [ x∈E ⇒ x∈F ]
Dans ce cas E est un sous ensemble ( ou une partie ) de F
______________________________
Définition 3 :
∅ désigne l'ensemble n'ayant aucun éléments
______________________________
Remarque : Quelque soit l'ensemble E on a
∅⊂E
______________________________
Définition 4 : Soient E et F deux ensembles
E = F ⇔ [ ( E ⊂ F ) et ( F ⊂ E ) ]
⇔ [ x∈E ⇔ x∈F ]
______________________________
ATTENTION : Il n'y a pas d'autre définition de l'égalité de deux ensembles .
______________________________
Définition 5 : Soit E un ensemble
On note P ( E ) l'ensemble de toutes les parties ( ou sous ensembles ) de E
On a donc A ∈ P ( E ) ⇔ A ⊂ E
______________________________
Exercice : E = { a, b, c, d } trouver P ( E )
1
II ) OPERATIONS SUR LES ENSEMBLES : Soient A ∈ P ( E ) et B ∈ P ( E )
Définition 1 : On appelle intersection de A et B notée A ∩ B = { x∈E / x ∈ A et x ∈ B }
On a donc
x∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A et x ∈ B
______________________________
Définition 2 :
A et B sont disjoint ⇔ A ∩ B = ∅
______________________________
Définition 3 : On appelle union de A et B notée A ∪ B = { x∈E / x ∈ A ou x ∈ B }
On a donc
x∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B
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Représentation :
A
f
x
y
z
k
t
B
Dans ce cas A ∩ B = { x , z }
et A ∪ B = { f , k ,y , t , x , y }
______________________________
Définition 4 : On appelle complémentaire de A dans E notée A = { x∈E / x ∉ A }
On a donc
x∈ A ⇔ x ∉ A
______________________________
Représentation :
A
x
y
z
k
t
E
Dans ce cas A = { x , k }
______________________________
Définition 3 : On appelle A privé de B notée A \ B ( ou A – B ) = { x∈E / x ∈ A et x ∉ B }
On a donc
x∈ A \ B ⇔ x ∈ A et x ∉ B
______________________________
Représentation :
A
f
x
y
z
k
t
B
Dans ce cas A \ B = { y , t }
______________________________
2
Propriétés :
P1:
A=A
P2:
______________________________
A∪ A = E
et
A∩ A = ∅
______________________________
P3:
A ∩ B= B ∩ A
et
A ∪ B= B ∪ A
______________________________
( commutativité )
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C = ( notation ) A ∩ B ∩ C
A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C = ( notation ) A ∪ B ∪ C
______________________________
P5: A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
( distributivité de
A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)
( distributivité de
______________________________
P4:
P6:
P7:
A⊂B ⇒
A ∩ C ⊂ B ∩ C et
A⊂B ⇒
______________________________
( associativité de ∩ )
( associativité de ∪ )
∩ sur ∪ )
∪ sur ∩ )
A∪C ⊂B∪C
A\B = A∩ B
______________________________
P8:
lois de Morgan
A ∩ B = A ∪ B et A ∪ B = A ∩ B
______________________________
P9:
A∩B=A ⇒ A⊂B
et
A∪B=A
______________________________
⇒ B⊂A
III ) ENSEMBLES CLASSIQUES :
lN : Les entiers naturels
: Les entiers relatifs
 p

: Les rationnels = 
/ p ∈ Z et q ∈ Z * 
 q

lR : Les réelles
: Les complexes .
[ a, b ] ; ] a,b ] etc .... Ensemble des réels compris entre a et b .....
’ p ,q ÷ ; ÷ p, q ÷ etc .... Ensemble des entiers compris entre p et q .....
[ a , b ] si a ≤ b
[( a, b )] = 
[ b , a ] si a ≥ b
lNn = ’ 1 , n ÷ = { 1,2,3,4,.....,n-1,n}
ATTENTION: il n'y a pas 0
Soient I et J deux intervalles de réels , on note
F ( I , J ) : Ensemble des fonctions de I dans J .
A ( I , J ) : Ensemble des applications de I dans J .
C 0( I , J ) : Ensemble des applications continues de I dans J .
C 1( I , J ) : Ensemble des applications dérivables sur I et dont la dérivée est continue de I dans J .
C ∞( I , J ) : Ensemble des applications indéfiniment dérivable de I dans J .
lR [ X ] : ensemble des applications polynôme à coefficients dans lR .
[ X ] : ensemble des applications polynôme à coefficients dans .
3
______________________________
IV ) FAMILLES , N-uplets :
Soit n∈lN*
Définition 1 : On appelle n-uplet ( ou n-liste ou famille ) ,toute collection ordonnée ,
avec possibilité de répétition ,d'éléments pris dans un ou plusieurs ensemble
 x1 


x2 

Noté ( x1 , x2 , .... ,xn ) ou 
M 


xn 
Lorsque n = 2 ( x1 , x2 ) est appelé un couple
Lorsque n = 3 ( x1 , x2 , x3 ) est appelé un triplet
______________________________
Exemple : ( 1 , 1 , 2 , 1 ) est un 4-uplet
( 5 , 2 , 3 ) est un triplet d'éléments de lN
( a , a ) est un couple de lettres
(a , 1 ) est un couple avec une lettre et un chiffre
______________________________
a ) ( 1 , 2 ) ≠ ( 2 , 1 ) c'est ordonné
b ) { x, y } ≠ ( x , y )
______________________________
 x 1   y1 

 

x2   y2 

Définition 2 : 
=
⇔ x1 = y1 , x2 = y2 , ....... , xn = yn .
M   M 

 

 xn   yn 
ATTENTION :
______________________________
Définition 3 : Soit E et F deux ensembles , on appelle produit cartésien de E et F
noté ExF = {( x , y ) / x ∈ E et y ∈ F }
Donc
_ Les éléments de ExF sont des couples
_ ( x, y ) ∈ ExF ⇔ x∈ E et y∈ F
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Définition 4 : Soit E un ensemble , En est l'ensemble de tout les n-uplets d'éléments de E
En = ( x 1 , x 2 ,K, x n ) / ∀i ∈ lN n , x i ∈ E
______________________________
Cas particuliers (fond) :
  x 

 1 
lR2 =    / x ∈ lR , y ∈ lR 
exemple 
 ∈lR2 .
3
,
5
y
  



{
}
 x 

 

lR =   y  / x ∈ lR , y ∈ lR , z ∈ lR 
 z 

 

3
1
 
exemple  0  ∈lR3
0
 
______________________________
Définition 5 :
 x   z  x+z
 x   λx 
 +  = 
 et λ   =   même type de Définition dans lR3 .
 y   t   y+t 
 y   λy 
4
V ) APPLICATIONS :
Définition 1 : Soit A et B deux ensembles
On appelle fonction de A dans B toute connexion entre A dit de départ et B dit
d'arrivée tel que tout élément de A est au plus une image dans B
______________________________
REPRESENTATION :
B
A
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
6
7
8
______________________________
Définition 2 : On appelle application toute fonction de A dans B tel que tout élément de A est une et
une seule image dans B .
______________________________
REPRESENTATION :
B
A
a
b
c
d
e
Définition 3 :
_____________________________
Soit f : E → F et g : G → H deux applications .
 E = G et F = H
f=g ⇔ 
 ∀x ∈ E f ( x ) = g ( x )
______________________________
[ 0 ,1] → lR
lR → lR
et
g:
alors
f≠g
x→x
x→x
2 ) Soit f : lR →lR alors f ≠ 0 signifie ∃ x ∈ lR tel que f ( x ) ≠ 0
______________________________
ATTENTION :
Définition 4 :
Exemple
1
2
3
4
5
6
7
8
1 ) Soit
f:
Soit f : E → F et g : G → H deux applications .
 E ⊂ G et F ⊂ H
f est une restriction de g ⇔ 
 ∀x ∈ E f ( x ) = g ( x )
______________________________
: Soit
f:
[ 0 ,1] → lR
lR → lR
et
g:
alors f est une restriction de g .
x → x²
x →x²
______________________________
5
Définition 5 :
Soit f : E → F et g : G → H deux applications .
g est un prolongement de f ⇔ f est une restriction de g
______________________________
Définition 6 :
Soit f : E → F et g : F → G deux applications .
( Il est important que l'ensemble de départ de g soit le même que celui d'arrivé de f )
On appelle composée de f et de g notée f o g l'application de E dans G
tel que ∀ x∈ E , g o f (x) = g ( f ( x ))
______________________________
Exemple : Soit
Théoréme1 :
f:
[ 0 ,1] → lR
[ 0 ,1] → [ 0 ,1]
et
g:
alors g o f : ?
x →x²
x → 1+ x
______________________________
Soit f : E → F , g : F → G et h: G → H trois applications .
alors h o ( g o f ) = ( h o g ) o f = ( notation ) h o g o f
______________________________
démonstration : à faire ...
______________________________
Définition 7 :
Soit E un ensemble On appelle identité de E l'application notée IdE:
E→E
.
x→x
______________________________
Théoréme2 :
Soit f : E → F une application .
alors f o IdE = IdF o f = f
______________________________
démonstration : à faire ...
_______________________________
VI ) INJECTIONS ; SURJECTIONS :
Définition 1 : Soit f : E → F une application , x∈E et y∈F
x est un antécédent de y ⇔ f ( x ) = y
______________________________
ATTENTION : Un élément y de l'ensemble d'arrivé peu avoir 0 , 1 ou plusieurs antécédents dans E .
______________________________
Définition 2 : Injection ou applications injective . Soit f : E → F une application .
f est une injection ⇔ tout élément de F possède au plus un antécédent.
⇔ ∀ ( x, x' ) ∈E² x ≠ x' ⇒ f ( x ) ≠ f ( x' ) .
⇔ ∀ ( x, x' ) ∈E² f ( x ) = f ( x' ) ⇒ x = x' .
______________________________
Définition 3 : Surjection ou applications Surjective . Soit f : E → F une application .
f est une Surjection ⇔ tout élément de F possède au moins un antécédent.
⇔ ∀y ∈ F , ∃ x∈E tel que f ( x ) = y
______________________________
6
Définition 4 : Bijection ou applications Bijective . Soit f : E → F une application .
f est une Bijection ⇔ tout élément de F possède un et un seul antécédent. .
⇔ f est une injection et une surjection .
⇔ ∀y ∈ F , ∃! x∈E tel que f ( x ) = y
.
______________________________
Théoréme1 :
Soit f : E → F
∃ g : F → E une application

f est bijective ⇔ 
telle que fog = Id F

et gof = Id E

g est alors unique et est appelée l'application réciproque de f , notée f –1 .
______________________________
Remarque : IdE est une bijection
______________________________
Théoréme2 :
Soit f : E → F une bijection
∀ ( x , y )∈ ExF
f ( x ) = y ⇔ x = f –1( y ) .
______________________________
Remarque fondamentale : Lorsque l'on doit démontrer que f est bijective puis trouver f –1 il est possible de
_ résoudre le problème y = f ( x ) , en trouvant x on montre que f est surjective ,
_ si x est unique elle est injective ,
_ et si on écrit x = g( y ) ( on trouve x en fonction de y ) on a trouvé f –1 = g
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Exemple : Montrez que f :
lR \ {1}→ lR \ {2 }
est bijective et trouver f –1 .
x → 2x + 1
x -1
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Théoréme3 : 1 ) La composée de deux applications injectives est une injection .
2 ) La composée de deux applications surjectives est une surjection .
3 ) La composée de deux applications bijectives est une bijection
et dans ce cas ( f o g )-1 = g-1 o f –1 .
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VII ) FAMILLES D'ENSEMBLES : Soit n∈lN*
Définition 1 :
Soit E un ensemble , on appelle famille de sous ensemble de E tout n-uplet de sous ensembles de E ,
ou toute suite de sous ensembles de E .
Noté (Ai)i∈’1,n÷ = ( A1 , A2 , .... ,An )
( Ai ⊂ E )
ou (Ai)i∈lN = ( A0 , A1 , .... ,An, ...... )
______________________________
Exemple : ( ’1 , i ÷ )i∈{3,5,7} famille de sous ensembles de lN
  −1 1  
famille de sous ensembles de lR .
 
,
 
  i + 1 i + 1   i∈lN
______________________________
7
Définition 2 : Soit (Ai)i∈I une famille de sous ensembles de E .
IA
L'intersection des Ai notée
= { x∈E / ∀i∈I x∈Ai }
i
i∈I
donc x∈
IA
⇔ ∀i∈I x∈Ai
i
i∈I
______________________________
Définition 3 : Soit (Ai)i∈I une famille de sous ensembles de E .
UA
L'union des Ai notée
i
= { x∈E / ∃ i∈I tq x∈Ai }
i∈I
donc x∈
UA
⇔ ∃ i∈I tq x∈Ai
i
i∈I
______________________________
3
Exemple :
U
’1 , i ÷
I i−+11 , i +11 
= .......
= .......
i∈lN
i=1
______________________________
Propriétés :

P1: 






P2:

Ai ∩B =
Ai ∩B
( distributivité de ∩ sur ∪ )

i∈I
i∈I


Ai ∪B =
Ai ∪B
( distributivité de ∪ sur ∩ )

i∈I
i∈I

______________________________
U
U(
)
I
I(
)
lois de Morgan
UA = IA
i
i∈I
i∈I
i
et
IA = UA
i
i∈I
i
i∈I
______________________________
Définition 4 : Soit E un ensemble , Soit (Ai)i∈I une famille de sous ensembles de E .


 ∀i ∈ I A i ≠ ∅

(Ai)i∈I est une partition de E
⇔
 ∀i ≠ j A i ∩ A j ≠ ∅

Ai = E


i∈I
______________________________
U
Exemples :
A1
a)
E
A3
(Ai)i∈’1,3÷ = ( A1 , A2 ,A3 ) est une partition de E
A2
b)
( ] i , i+1 ] )i∈ est une partition de lR
______________________________
8
VIII) IMAGE DIRECTE ,IMAGE RECIPROQUE : ( d'un ensemble )
Définition 1 :
Soit f : E → F une application et A ⊂ E
On appelle image directe de A par f , notée f ( A ) = { y∈ F / ∃ x∈A tq y = f ( x ) }
On a donc y∈ f ( A ) ⇔ ∃ x∈A tq y = f ( x )
______________________________
ATTENTION : Pour une image directe : A est un ensemble ⊂ E et f ( A ) est un ensemble ⊂ F.
______________________________
Définition 2 :
Soit f : E → F une application et B ⊂ F
On appelle image réciproque de B par f , notée f -1( B ) = { x∈ E / f (x)∈B }
On a donc x∈ f -1( B ) ⇔ f ( x ) ∈ B
______________________________
ATTENTION : 1 ) Pour une image réciproque: B est un ensemble ⊂ F et f -1( B ) est un ensemble ⊂ E.
2 ) f -1( B ) n'est pas la fonction réciproque de f ( f non bijective )
9