THEORIE DES ENSEMBLES

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THEORIE DES ENSEMBLES
I ) DEFINITIONS :
Définition 1 : x∈E signifie : " l'élément x appartient a l'ensemble E " .
x∉E signifie : " l'élément x n'appartient pas a l'ensemble E " .
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Représentation :
E
x y
z
t a
Dans ce cas z∈E mais a∉E
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Notation : 1 ) L'ensemble contenant les éléments a
1
, a
2
, ....a
n
se note { a
1
, a
2
, ....a
n
}
Par exemple E = { 1 , 5 , 8 } contient les chiffres 1 , 5 et 8 et uniquement eux .
2 ) Soit E un ensemble , l'ensemble des éléments de E ayant la propriété P s'écrit :
A = { x∈E / P(x) } on a donc x∈ A ⇔ x∈ E et P(x)
Par exemple : { x∈ lR / x ≤ 2 } = ] - ∞ , 2 ] .
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Définition 2 : Soient E et F deux ensembles
E est inclus dans F noté E ⊂ F ⇔ [ x∈E ⇒ x∈F ]
Dans ce cas E est un sous ensemble ( ou une partie ) de F
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Définition 3 : ∅ désigne l'ensemble n'ayant aucun éléments
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Remarque : Quelque soit l'ensemble E on a ∅ ⊂ E
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Définition 4 : Soient E et F deux ensembles
E = F ⇔ [ ( E ⊂ F ) et ( F ⊂ E ) ]
⇔ [ x∈E ⇔ x∈F ]
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ATTENTION : Il n'y a pas d'autre définition de l'égalité de deux ensembles .
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Définition 5 : Soit E un ensemble
On note P ( E ) l'ensemble de toutes les parties ( ou sous ensembles ) de E
On a donc A ∈ P ( E ) ⇔ A ⊂ E
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Exercice : E = { a, b, c, d } trouver P ( E )

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II ) OPERATIONS SUR LES ENSEMBLES : Soient A ∈ P ( E ) et B ∈ P ( E )
Définition 1 : On appelle intersection de A et B notée A ∩ B = { x∈E / x ∈ A et x ∈ B }
On a donc x∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A et x ∈ B
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Définition 2 : A et B sont disjoint ⇔ A ∩ B = ∅
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Définition 3 : On appelle union de A et B notée A ∪ B = { x∈E / x ∈ A ou x ∈ B }
On a donc x∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B
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Représentation :
A
f x y
z
k t
B
Dans ce cas A ∩ B = { x , z } et A ∪ B = { f , k ,y , t , x , y }
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Définition 4 : On appelle complémentaire de A dans E notée
A
= { x∈E / x ∉ A }
On a donc x∈
A
⇔ x ∉ A
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Représentation :
A
x y
z
k t
E
Dans ce cas
A
= { x , k }
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Définition 3 : On appelle A privé de B notée A \ B ( ou A – B ) = { x∈E / x ∈ A et x ∉ B }
On a donc x∈ A \ B ⇔ x ∈ A et x ∉ B
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Représentation :
A
f x y
z
k t
B
Dans ce cas A \ B = { y , t }
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3
Propriétés : P1:
A
A
=
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P2: A ∪
A
= E et A ∩
A
= ∅
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P3: A ∩ B = B ∩ A et A ∪ B = B ∪ A ( commutativité )
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P4: A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C = ( notation ) A ∩ B ∩ C ( associativité de ∩ )
A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C = ( notation ) A ∪ B ∪ C ( associativité de ∪ )
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P5: A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ( distributivité de ∩ sur ∪ )
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ( distributivité de ∪ sur ∩ )
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P6: A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C et A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C
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P7: A \ B = A ∩
B
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P8: lois de Morgan BABAetBABA ∩=∪∪=∩
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P9: A ∩ B = A ⇒ A ⊂ B et A ∪ B = A ⇒ B ⊂ A
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III ) ENSEMBLES CLASSIQUES :
lN : Les entiers naturels
 : Les entiers relatifs
 : Les rationnels =
∈∈ *ZqetZp/
q
p
lR : Les réelles
 : Les complexes .
[ a, b ] ; ] a,b ] etc .... Ensemble des réels compris entre a et b .....
’ p ,q ÷ ; ÷ p, q ÷ etc .... Ensemble des entiers compris entre p et q .....
[( a, b )] =
≥
≤basi]a,b[ basi]b,a[
lN
n
= ’ 1 , n ÷ = { 1,2,3,4,.....,n-1,n} ATTENTION: il n'y a pas 0
Soient I et J deux intervalles de réels , on note
F ( I , J ) : Ensemble des fonctions de I dans J .
A ( I , J ) : Ensemble des applications de I dans J .
C
0
( I , J ) : Ensemble des applications continues de I dans J .
C
1
( I , J ) : Ensemble des applications dérivables sur I et dont la dérivée est continue de I dans J .
C
∞
( I , J ) : Ensemble des applications indéfiniment dérivable de I dans J .
lR [ X ] : ensemble des applications polynôme à coefficients dans lR .
 [ X ] : ensemble des applications polynôme à coefficients dans  .

4
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IV ) FAMILLES , N-uplets : Soit n∈lN*
Définition 1 : On appelle n-uplet ( ou n-liste ou famille ) ,toute collection ordonnée ,
avec possibilité de répétition ,d'éléments pris dans un ou plusieurs ensemble
Noté ( x
1
, x
2
, .... ,x
n
) ou
n
2
1
x
x
x
M
Lorsque n = 2 ( x
1
, x
2
) est appelé un couple
Lorsque n = 3 ( x
1
, x
2
, x
3
) est appelé un triplet
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Exemple : ( 1 , 1 , 2 , 1 ) est un 4-uplet
( 5 , 2 , 3 ) est un triplet d'éléments de lN
( a , a ) est un couple de lettres
(a , 1 ) est un couple avec une lettre et un chiffre
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ATTENTION : a ) ( 1 , 2 ) ≠ ( 2 , 1 ) c'est ordonné
b ) { x, y } ≠ ( x , y )
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Définition 2 :
n
2
1
x
x
x
M
=
n
2
1
y
y
y
M
⇔ x
1
= y
1
, x
2
= y
2
, ....... , x
n
= y
n
.
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Définition 3 : Soit E et F deux ensembles , on appelle produit cartésien de E et F
noté ExF =
{
}
FyetEx/)y,x( ∈∈
Donc _ Les éléments de ExF sont des couples
_ ( x, y ) ∈ ExF ⇔ x∈ E et y∈ F
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Définition 4 : Soit E un ensemble , E
n
est l'ensemble de tout les n-uplets d'éléments de E
E
n
=
{
}
Ex,lNi/)x,,x,x(
i
n
n
2
1
∈∈∀ K
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Cas particuliers (fond) :
lR
2
=
∈∈
lRy,lRx/
y
x exemple 
5,31∈lR2 .
lR3 =  ∈∈∈ lRz,lRy,lRx/
z
y
x exemple
0
0
1
∈ lR
3
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Définition 5 : 
+
+
= +
ty zx t
z
y
x et 
λ
λ
= λ
y
x
y
x même type de Définition dans lR
3
.

5
V ) APPLICATIONS :
Définition 1 : Soit A et B deux ensembles
On appelle fonction de A dans B toute connexion entre A dit de départ et B dit
d'arrivée tel que tout élément de A est au plus une image dans B
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REPRESENTATION :
______________________________
Définition 2 : On appelle application toute fonction de A dans B tel que tout élément de A est une et
une seule image dans B .
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REPRESENTATION :
_____________________________
Définition 3 : Soit f : E → F et g : G → H deux applications .
f = g ⇔ 
=∈∀ == )x(g)x(fEx HFetGE
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ATTENTION : 1 ) Soit f : xx lR]1,0[ →
→
et g : xx lRlR →
→
alors f ≠ g
2 ) Soit f : lR →lR alors f ≠ 0 signifie ∃ x ∈ lR tel que f ( x ) ≠ 0
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Définition 4 : Soit f : E → F et g : G → H deux applications .
f est une restriction de g ⇔ 
=∈∀ ⊂⊂ )x(g)x(fEx HFetGE
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Exemple : Soit f : ²xx lR]1,0[ →
→
et g : ²xx lRlR→
→
alors f est une restriction de g .
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a
b
c
d
e
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
a
b
c
d
e
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8