Approximation d'une aire ou d'un volume par la méthode de Monte-Carlo Correction Exercice 1 Vous trouverez ci-dessous le code à entrer dans un programme pour les calculatrices TI et Casio avec les explications correspondantes. Remarques : Pour une calculatrice TI82stats.fr il faudra remplacer rand par NbrAléat Pour une calculatrice TI89 ou Voyage200 il faudra remplacer rand par nbrAléat() et For(I,1,N,1) par For I,1,N,1 de plus la fin de la condition Si est EndIf et la fin de la boucle For est EndFor Code TI Code Casio 0!P 0!P Input "NBRE ESSAIS ",N "NBRE ESSAIS"? ! N↵ For(I,1,N,1) For 1 ! I To N ↵ rand ! X Ran# ! X↵ rand ! Y Ran# ! Y↵ If Y £ X If Y £ X↵ Then P+ 1 ! P End End Disp P/N Then P+ 1 ! P↵ IfEnd↵ Next↵ P÷N↵ Explications et Remarques Mise à zéro de la mémoire P. Entrée du nombre de points à choisir . Début d'une boucle For pour compter les points. Appel d'une valeur aléatoire et stockage dans la mémoire X. Appel d'une valeur aléatoire et stockage dans la mémoire Y. Si le nombre contenu dans la mémoire Y est inférieur au nombre contenu dans la mémoire X Alors on augmente la mémoire P de 1 Fin de la condition Si Fin de la boucle For. Affichage de la proportion de points se trouvant dans la surface S. Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de 0,5. http://xmaths.free.fr/ Calculatrices – Exercices - Correction - Monte-Carlo page 1 / 3 Exercice 2 À partir du programme de l'exercice 1 • Pour évaluer l'aire du quart de disque de centre O et de rayon 1 , on modifiera le programme en utilisant la condition If X^2 + Y^2 £ 1 (Un point M se trouve à l'intérieur du disque si la longueur OM est inférieure ou égale à 1) 1 S O 1 Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de π ≈ 0,78 . 4 • Pour évaluer l'aire de la partie de plan se trouvant entre l'axe des abscisses et la parabole d'équation y = x2 pour x ∈ [0 ; 1] , on modifiera le programme en utilisant la condition If Y £ X^2 (condition pour laquelle un point M se trouve entre l'axe des abscisses et la courbe) 1 S O 1 Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de 1 ≈ 0,33 . 3 • Pour évaluer l'aire de la partie de plan se trouvant entre l'axe des abscisses et l'hyperbole d'équation y = 1 pour x ∈ [1 ; 2] , x on modifiera le programme de façon à ce que la valeur de x se trouve dans [1 ; 2] 1+rand ! X ou 1+Ran# ! X↵ la condition pour laquelle un point M se trouve entre l'axe des abscisses et la courbe se traduira alors par If Y £ 1/X ou If Y £ 1÷X↵ La proportion de points se trouvant dans la surface S est alors obtenue par rapport au carré limité par les droites d'équations x = 1 ; x = 2 et y = 0 ; y = 1 dont l'aire est égale à 1. Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de ln 2 ≈ 0,69 . • Pour évaluer l'aire de la partie de plan se trouvant entre l'axe des abscisses et la courbe d'équation y = sin x pour x ∈ [0 ; π] , on modifiera le programme de façon à ce que la valeur de x se trouve dans [0 ; π] π * rand ! X ou π x Ran# ! X↵ la condition pour laquelle un point M se trouve entre l'axe des abscisses et la courbe se traduira alors par If Y £ sin(X) La proportion de points se trouvant dans la surface S est alors obtenue par rapport au rectangle limité par les droites d'équations x = 0 ; x = π et y = 0 ; y = 1 dont l'aire est égale à π. L'évaluation de l'aire de S est donc obtenue en multipliant la proportion de points se trouvant dans S par l'aire du rectangle. Il faudra alors remplacer la dernière ligne de programme par Disp P/N * π ou P÷N x π↵ Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de 2 . NB : La calculatrice doit être en mode radians http://xmaths.free.fr/ Calculatrices – Exercices - Correction - Monte-Carlo page 2 / 3 Exercice 3 Pour évaluer par la méthode de Monte-Carlo, le volume d'une sphère de centre O et de rayon 1 , on pourra se baser sur le programme de l'exercice 1 en remarquant que : S'agissant d'un volume, il faut utiliser trois nombres aléatoires représentant l'abscisse x, l'ordonnée y et la cote z d'un point M, chacun de ces nombres étant dans l'intervalle [-1 ; 1]. Pour choisir un nombre aléatoire entre -1 et 1, on peut utiliser l'expression 2*rand-1 ou 2 x Ran#-1 Un point M se trouve à l'intérieur de la sphère si la distance OM est inférieure ou égale à 1, ce qui pourra se traduire par la condition x2 + y2 + z2 £ 1 Le volume de la sphère est alors à comparer au volume du cube correspondant à x ∈ [-1 ; 1] ; y ∈ [-1 ; 1] et z ∈ [-1 ; 1] , c'est-à-dire un cube d'arête 2 dont le volume est 23 = 8. Vous trouverez ci-dessous le code à entrer dans un programme pour les calculatrices TI et Casio avec les explications correspondantes. Remarques : Pour une calculatrice TI82stats.fr il faudra remplacer rand par NbrAléat Pour une calculatrice TI89 ou Voyage200 il faudra remplacer rand par nbrAléat() et For(I,1,N,1) par For I,1,N,1 de plus la fin de la condition Si est EndIf et la fin de la boucle For est EndFor Code TI Code Casio 0!P 0!P Input "NBRE ESSAIS ",N "NBRE ESSAIS"? ! N↵ For(I,1,N,1) For 1 ! I To N ↵ 2*rand-1 ! X 2 x Ran#-1 ! X↵ 2*rand-1 ! Y 2 x Ran#-1 ! Y↵ 2*rand-1 ! Z 2 x Ran#-1 ! Z↵ If X^2+Y^2+Z^2 £ 1 If X^2+Y^2+Z^2 £ 1 Then P+ 1 ! P End End IfEnd Next Disp P/N*8 P ÷N x 8 Then P+ 1 ! P Explications et Remarques Mise à zéro de la mémoire P. Entrée du nombre de points à choisir . Début d'une boucle For pour compter les points. Appel d'une valeur aléatoire entre -1 et 1 et stockage dans X. Appel d'une valeur aléatoire entre -1 et 1 et stockage dans Y. Appel d'une valeur aléatoire entre -1 et 1 et stockage dans Z. Si la condition "le point M appartient à la sphère" est vérifiée Alors on augmente la mémoire P de 1 Fin de la condition Si Fin de la boucle For. L'évaluation se fait en multipliant la proportion de points se trouvant dans S par le volume du cube qui est 8. Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de 4 x π ≈ 4,19 3 http://xmaths.free.fr/ Calculatrices – Exercices - Correction - Monte-Carlo page 3 / 3