La correction au format pdf - XMaths

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Approximation d'une aire ou d'un volume
par la méthode de Monte-Carlo
Correction
Exercice 1
Vous trouverez ci-dessous le code à entrer dans un programme pour les calculatrices TI et Casio avec les
explications correspondantes.
Remarques :
Pour une calculatrice TI82stats.fr
il faudra remplacer rand par NbrAléat
Pour une calculatrice TI89 ou Voyage200
il faudra remplacer rand par nbrAléat() et For(I,1,N,1) par For I,1,N,1
de plus la fin de la condition Si est EndIf et la fin de la boucle For est EndFor
Code TI Code Casio Explications et Remarques
0 ! P 0 ! P
Mise à zéro de la mémoire P.
Input "NBRE ESSAIS ",N "NBRE ESSAIS"? ! N↵ Entrée du nombre de points à
choisir .
For(I,1,N,1) For 1 ! I To N ↵ Début d'une boucle For pour
compter les points.
rand ! X Ran# ! X↵ Appel d'une valeur aléatoire et
stockage dans la mémoire X.
rand ! Y Ran# ! Y↵ Appel d'une valeur aléatoire et
stockage dans la mémoire Y.
If Y £ X If Y £ X↵
Si le nombre contenu dans la
mémoire Y est inférieur au nombre
contenu dans la mémoire X
Then Then P+ 1 ! P↵ Alors
P+ 1 ! P on augmente la mémoire P de 1
End IfEnd↵ Fin de la condition Si
End Next↵ Fin de la boucle For.
Disp P/N P
÷ N↵ Affichage de la proportion de points
se trouvant dans la surface S.
Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de 0,5.

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Exercice 2
À partir du programme de l'exercice 1
• Pour évaluer l'aire du quart de disque de centre O et de rayon 1 ,
on modifiera le programme en utilisant la condition
If X^2 + Y^2 £ 1
(Un point M se trouve à l'intérieur du disque si la longueur OM est
inférieure ou égale à 1)
Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de π
4 ≈ 0,78 .
• Pour évaluer l'aire de la partie de plan se trouvant entre l'axe des
abscisses et la parabole d'équation y = x
2
pour x ∈ [0 ; 1] ,
on modifiera le programme en utilisant la condition
If Y £ X^2
(condition pour laquelle un point M se trouve entre l'axe des
abscisses et la courbe)
Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de 1
3 ≈ 0,33 .
• Pour évaluer l'aire de la partie de plan se trouvant entre l'axe des
abscisses et l'hyperbole d'équation y = 1
x pour x ∈ [1 ; 2] ,
on modifiera le programme de façon à ce que la valeur de x se
trouve dans [1 ; 2]
1+rand ! X ou 1+Ran# ! X↵
la condition pour laquelle un point M se trouve entre l'axe des
abscisses et la courbe se traduira alors par
If Y £ 1/X ou If Y £ 1 ÷ X↵
La proportion de points se trouvant dans la surface S est alors obtenue par rapport au carré limité par les
droites d'équations x = 1 ; x = 2 et y = 0 ; y = 1 dont l'aire est égale à 1.
Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de ln 2 ≈ 0,69 .
• Pour évaluer l'aire de la partie de plan se trouvant entre l'axe
des abscisses et la courbe d'équation y = sin x pour
x ∈ [0 ; π] ,
on modifiera le programme de façon à ce que la valeur de x
se trouve dans [0 ; π]
π * rand ! X ou π x Ran# ! X↵
la condition pour laquelle un point M se trouve entre l'axe
des abscisses et la courbe se traduira alors par
If Y £ sin(X)
La proportion de points se trouvant dans la surface S est alors obtenue par rapport au rectangle limité par
les droites d'équations x = 0 ; x = π et y = 0 ; y = 1 dont l'aire est égale à π.
L'évaluation de l'aire de S est donc obtenue en multipliant la proportion de points se trouvant dans S par
l'aire du rectangle.
Il faudra alors remplacer la dernière ligne de programme par
Disp P/N * π ou P ÷ N x π↵
Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de 2 .
NB : La calculatrice doit être en mode radians
1O
1
S
1O
1
S

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Exercice 3
Pour évaluer par la méthode de Monte-Carlo, le volume d'une sphère de centre O et de rayon 1 , on pourra
se baser sur le programme de l'exercice 1 en remarquant que :
S'agissant d'un volume, il faut utiliser trois nombres aléatoires représentant l'abscisse x, l'ordonnée y et la
cote z d'un point M, chacun de ces nombres étant dans l'intervalle [-1 ; 1].
Pour choisir un nombre aléatoire entre -1 et 1, on peut utiliser l'expression 2*rand-1 ou 2 x Ran#-1
Un point M se trouve à l'intérieur de la sphère si la distance OM est inférieure ou égale à 1, ce qui pourra se
traduire par la condition x
2
+ y
2
+ z
2
£ 1
Le volume de la sphère est alors à comparer au volume du cube correspondant à x ∈ [-1 ; 1] ; y ∈ [-1 ; 1]
et z ∈ [-1 ; 1] , c'est-à-dire un cube d'arête 2 dont le volume est 2
3
= 8.
Vous trouverez ci-dessous le code à entrer dans un programme pour les calculatrices TI et Casio avec les
explications correspondantes.
Remarques :
Pour une calculatrice TI82stats.fr
il faudra remplacer rand par NbrAléat
Pour une calculatrice TI89 ou Voyage200
il faudra remplacer rand par nbrAléat() et For(I,1,N,1) par For I,1,N,1
de plus la fin de la condition Si est EndIf et la fin de la boucle For est EndFor
Code TI Code Casio Explications et Remarques
0 ! P 0 ! P
Mise à zéro de la mémoire P.
Input "NBRE ESSAIS ",N "NBRE ESSAIS"? ! N↵ Entrée du nombre de points à
choisir .
For(I,1,N,1) For 1 ! I To N ↵ Début d'une boucle For pour
compter les points.
2*rand-1 ! X 2
x Ran#-1 ! X↵ Appel d'une valeur aléatoire entre
-1 et 1 et stockage dans X.
2*rand-1 ! Y 2
x Ran#-1 ! Y↵ Appel d'une valeur aléatoire entre
-1 et 1 et stockage dans Y.
2*rand-1 ! Z 2
x Ran#-1 ! Z↵ Appel d'une valeur aléatoire entre
-1 et 1 et stockage dans Z.
If X^2+Y^2+Z^2 £ 1 If X^2+Y^2+Z^2 £ 1 Si la condition "le point M
appartient à la sphère" est vérifiée
Then Then P+ 1 ! P Alors
P+ 1 ! P on augmente la mémoire P de 1
End IfEnd
Fin de la condition Si
End Next Fin de la boucle For.
Disp P/N*8 P
÷ N x 8
L'évaluation se fait en multipliant la
proportion de points se trouvant
dans S par le volume du cube qui
est 8.
Lorsqu'on fait fonctionner le programme la valeur obtenue doit être proche de 4
3
x π ≈ 4,19