Recherche d`arbres couvrants complètement indépendants

Recherche d’arbres couvrants complètement
indépendants dans des graphes réguliers
Nicolas Gastineau, Benoit Darties, Olivier Togni
To cite this version:
Nicolas Gastineau, Benoit Darties, Olivier Togni. Recherche d’arbres couvrants complètement
indépendants dans des graphes réguliers. ALGOTEL 2014 – 16èmes Rencontres Francophones sur les Aspects Algorithmiques des Télécommunications, Jun 2014, Le Bois-Plage-en-Ré,
France. pp.1–4, 2014. <hal-00986223>
HAL Id: hal-00986223
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00986223
Submitted on 1 May 2014
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Recherche d’arbres couvrants complètement
indépendants dans des graphes réguliers
Nicolas Gastineau12 , Benoît Darties1 and Olivier Togni1
1 LE2I,
UMR CNRS 6306, Université de Bourgogne, 9 Rue Alain Savary, 21 000 Dijon, France
UMR CNRS 5205, Université Claude Bernard Lyon 1, Villeurbanne, France
2 LIRIS,
Nous étudions l’existence de r arbres couvrants complètement indépendants dans des graphes 2r-réguliers et 2rconnexes, et énonçons des conditions nécessaires à leur existence. Nous déterminons le nombre maximum d’arbres
dans les produits cartésiens d’une clique et d’un cycle. Nous montrons que ce nombre n’est pas toujours r.
1 Introduction
Les arbres couvrants sont une structure fortement utilisée dans de nombreuses opérations réseau (protocoles de routage, mécanismes d’évitement de boucles de niveau 2, . . .). La notion d’arbres couvrants complètement indépendants (CIST- Completely Independent Spanning Trees) a été introduite par T. Hasunuma
[1] en complément aux travaux antérieurs sur les arbres couvrants indépendants, et trouve de nombreuses
applications dans des problèmes de répartition de charge du trafic de diffusion ou encore de robustesse
face aux pannes. Soit G un graphe non orienté représentant un réseau avec V (G) l’ensemble de ses nœuds
et E(G) celui de ses liens directs. Deux chemins P1 et P2 entre deux sommets x et y dans G sont dits
sommets-disjoints ssi ils ne partagent aucun sommet entre eux, exception faite de leurs extrémités, i.e.
V (P1 ) ∩V (P2 ) = {x, y}. Soit un ensemble T1 , . . . , Tr de r ≥ 2 arbres couvrants de G, on note E(Ti ) les liens
de Ti et PTi (x, y) l’unique chemin reliant x à y dans Ti , pour tout i|1 ≤ i ≤ r et tout x, y ∈ V (G). Alors les
arbres de cet ensemble sont dits complètement indépendants ssi pour tout i|1 ≤ i ≤ r, et tout j|1 ≤ j ≤ r
avec i 6= j, les deux conditions suivantes sont réunies :
/ ;
— Ti et T j ne partagent aucune arête en commun (cad. E(Ti ) ∩ E(T j ) = 0)
— pour tout x, y ∈ V (G), les chemins PTi (x, y) et PT j (x, y) dans Ti et T j sont sommet-disjoints.
Une définition équivalente [1] veut que T1 , . . . , Tr soit un ensemble de r arbres couvrants complètement
indépendants ssi aucun arbre ne partage d’arête commune, et que tout nœud interne de l’un soit feuille dans
les r − 1 autres. Les arbres couvrants complètement indépendants ont été étudiés pour certaines classes
de graphes, comme les graphes représentatifs des arêtes de graphes[1], les graphes planaires maximaux
[2], très récemment sur les produits cartésiens de deux cycles ou grilles toriques [3], ainsi que les graphes
complets, les graphes complets bipartis et tripartis [4]. Le problème de décision consistant à déterminer
l’existence de deux CIST sur un graphe G est NP-Complet [2].
Nous nous intéressons à l’existence de r CIST sur les graphes k-réguliers (tous les sommets ont le même
degré k). Il a été conjecturé que pour tout graphe 2r-connexe, il existe r CIST[2]. Un contre-exemple donné
dans [5] réfute cette conjecture, mais n’est pas un graphe régulier. Nous proposons d’étudier cette conjecture pour les graphes 2r-connexes et 2r-réguliers. Dans la suite, nous présentons d’abord les conditions
nécessaires à l’existence de r CIST sur les graphes 2r-réguliers. Nous déterminons ensuite une classe de
graphes à la fois 2r-réguliers et 2r-connexes pour lesquels il n’existe pas toujours r CIST. Nous étendons
enfin nos résultats et résolvons le problème du nombre maximum de CIST pour cette classe donnée.
2 Conditions nécessaires sur les graphes 2r-réguliers
Dans cette section, nous considérons un graphe 2r-régulier G d’ordre n, et supposons qu’il existe un
ensemble {T1 , . . . , Tr } de r CIST. Les propositions énoncées ici s’appliquent sur cette configuration unique-
N. Gastineau, B. Darties, O. Togni
ment. Nous notons dH (u) le degré de u dans le graphe H, le graphe H étant possiblement un sous-graphe
d’un autre graphe. Nous notons in(Ti ) l’ensemble des nœuds internes de l’arbre Ti , et lea f (Ti ) l’ensemble
/ 6= j, 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ r. Tout nœud
de ses feuilles (sommets de degré 1). Pour rappel, in(Ti ) ∩ in(T j ) = 0|i
x est feuille d’au moins r − 1 arbres, et de degré 2r dans G. Nous avons :
Proposition 1. S’il existe un ensemble {T1 , . . . , Tr } de r CIST, tout nœud interne de tout arbre Ti a un degré
d’au plus r + 1 dans Ti .
Un sommet étant nœud interne d’au plus un arbre, nous avons naturellement ∑ri=1 |in(Ti )| ≤ n. Soit min
l’indice de l’arbre ayant le plus petit nombre de nœuds internes, cad. in(Tmin ) ≤ |in(Ti )| pour tout i 6= min .
Proposition 2. S’il existe un ensemble {T1 , . . . , Tr } de r CIST, alors |in(Tmin )| ≤ ⌊n/r⌋.
Démonstration. Par l’absurde. Si |in(Ti )| ≥ ⌊n/r⌋ + 1 pour tout i, alors ∑ri=1 |in(Ti )| ≥ ⌊n/r⌋r + r > n
Proposition 3. S’il existe un ensemble {T1 , . . . , Tr } de r CIST, alors pour tout i, 1 ≤ i ≤ r, on a
n−2
n−2
≤ |in(Ti )| ≤ n −
(r − 1)
r
r
Démonstration. Rappelons que pour tout arbre Ti ,
∑ dTi (v) =
v∈V (Ti )
∑
v∈in(Ti )
dTi (v) +
∑
v∈lea f (Ti )
(1)
dTi (v) = 2(n − 1).
Puisque |in(Ti )| + |lea f (Ti )| = n, et que dTi (v) ≤ r + 1 pour tout v ∈ in(Ti ) (d’après la proposition 1), nous
obtenons 2(n − 1) = ∑ d(v) ≤ |in(Ti )|(r + 1) + |lea f (Ti )| = |in(Ti )|r + n, et finalement ⌈ n−2
r ⌉ ≤ |in(Ti )|.
v∈V (T )
Depuis l’inégalité ∑ri=1 |in(Ti )| ≤ n, nous pouvons écrire in(Ti ) ≤ n − ∑rj=1,i6= j |in(T j )|. En
n−2
égalité ⌈ n−2
r ⌉ ≤ |in(Ti )| précédemment montrée, nous obtenons in(Ti ) ≤ n − ⌈ r ⌉(r − 1).
reprenant l’in-
Pour un ensemble de r CIST, appelons E P = E(G) − ∪1≤i≤r E(Ti ) l’ensemble des arêtes perdues, cad. qui
n’appartiennent à aucun arbre. Puisque G est 2r-régulier, donc que |E(G)| = rn, et que chacun des r arbres
contient (n − 1) arêtes, alors on a |E P | = r. Pour chaque arbre Ti nous appelons EiP les arêtes de E P dont les
2 extrémités appartiennent à in(Ti ). Puisque ∪1≤i≤r EiP ⊆ E P , alors on a ∑ri=1 |EiP | ≤ r.
Tout arbre couvrant de in(T ) nœuds internes possède au maximum in(T )(r − 1) + 2 feuilles. Supposons
un arbre couvrant idéal T ∗ dont les nœuds internes in(T ∗ ) sont tous de degré (r + 1). La somme des degrés
de ses nœuds peut s’écrire |in(T ∗ )|(r + 1) + (n − |in(T ∗ )|) = |in(T ∗ )|r + n.
Definition 1. Nous appelons potentiel extra-degré d’un arbre couvrant T le nombre de feuilles qu’il aurait
pu posséder en plus si tous ses nœuds internes étaient de degré r + 1, et le notons ped(T ). Formellement,
ped(T ) est la différence entre la somme des degrés d’un arbre idéal de in(T ) nœuds internes et la somme
des degrés de T , soit ped(T ) = |in(T )|r + n − 2(n − 1) = |in(T )|r − n + 2.
Pour un arbre couvrant idéal T ∗ , on a ped(T ∗ ) = 0. Autrement, ped(T ) > 0 et le nombre de nœuds
internes de degré strictement inférieur à r + 1 est borné par ped(T ). Remarquons que toute arête perdue
e ∈ EiP ayant ses 2 extrémités dans in(Ti ) mais n’appartenant pas à Ti augmente ped(Ti ) de 2 unités :
chacune de ses extrémité doit être incidente à e et adjacente à r − 1 nœuds internes de chacun des autres
arbres dont elle est feuille. Le degré des extrémités de e dans Ti ne peut donc excéder r. En conséquence :
Proposition 4. S’il existe un ensemble {T1 , . . . , Tr } de r CIST sur un graphe 2r-régulier :
1. La somme ∑ri=1 ped(Ti ) ne peut excéder 2 fois le nombre d’arêtes perdues E P : ∑ri=1 ped(Ti ) ≤ 2r.
2. Pour tout i, 1 ≤ i ≤ r, on a 2|EiP | ≤ ped(Ti ).
3 Application sur le produit cartésien d’une clique et d’un cycle
Pour deux graphes G et H, le produit cartésien de G et H, noté GH, est le graphe ayant pour sommets
V (G)×V (H) et pour arêtes {(u, u′ )(v, v′ )|(u = v∧u′ v′ ∈ E(H))∨(u′ = v′ ∧uv ∈ E(G))}. Soient deux entiers
m > 1 et ℓ > 2 , dans cette section le graphe considéré est Km Cℓ , où Km est une clique d’ordre m et Cℓ un
cycle d’ordre ℓ, et possède mℓ sommets.
Ce graphe peut être construit en considérant une clique originale K 0 de m sommets {u00 , . . . , u0m−1 } que
l’on aurait dupliqué ℓ − 1 fois en cliques notées K 1 , . . . , K ℓ−1 , et en notant {ui0 , . . . , uim−1 } les sommets de la
Recherche d’arbres couvrants complètement indépendants dans des graphes réguliers
clique K i . Chaque sommet uij est ensuite connecté à son sommet clone dans la clique d’indice immédiatei+1 (mod ℓ)
ment supérieur, à savoir u j
, pour tout tout i, 0 ≤ i ≤ ℓ − 1, et tout j, 0 ≤ j ≤ m − 1. Nous réutilisons
cette dénomination des sommets dans la suite. Le graphe Km Cℓ est clairement (m + 1)-régulier et (m + 1)connexe. Deux cliques d’indices consécutifs sont dites adjacentes. Chaque sommet uij d’une clique K i est
incident à exactement un sommet ui−1
(resp. ui+1
j
j ) de la clique d’indice immédiatement inférieur (resp.
i
supérieur). Les indices i d’une clique K ou d’un sommet uij sont toukours supposés modulo ℓ dans la suite.
Notre objectif est de montrer qu’il n’existe pas d’ensemble de r CIST dans K2r−1 Cℓ pour certaines
valeurs de r et ℓ. Pour cela, nous supposons l’existence d’un ensemble de r CIST, et montrons qu’il contredit
les propositions énoncées dans les sections précédentes et courantes.
Nous considérons le graphe K2r−1 Cℓ et posons n = |V (K2r−1 Cℓ )| = ℓ(2r −1) son nombre de sommets.
Nous supposons l’existence d’un ensemble {T1 , . . . , Tr } de r CIST sur ce dernier. Soit Tmin l’arbre ayant le
plus petit nombre de nœuds internes. D’après la proposition 2, puisque n = ℓ(2r − 1) nous avons :
|in(Tmin )| ≤ ⌊n/r⌋ = 2ℓ − ⌈ℓ/r⌉
Puisque ped(Tmin ) = |in(Tmin )|r − n + 2, combiné à l’équation 2, nous obtenons :
ped(Tmin ) = |in(Tmin )|r − n + 2 ≤ −⌈ℓ/r⌉r + ℓ + 2 ≤ 2
(2)
(3)
L’arbre Tmin satisfait ped(Tmin ) = 2 si et seulement si ℓ ≡ 0 (mod r), et ped(Tmin ) ≤ 1 autrement.
Dans la suite, nous regardons la répartition des sommets internes de Tmin dans les différentes cliques
de K2r−1 Cℓ et montrons qu’aucune répartition valide n’est possible. Nous appelons V (K i ) ∩ in(Tmin ) l’enP | ≤ ped(T )
semble des sommets internes de Tmin qui sont dans la clique K i . Rappelons que puisque 2|Emin
min
P
par le point 2 de la proposition 4, et que ped(Tmin ) ≤ 2 dans l’équation 3, on a |Emin | ≤ 1.
Proposition 5. La répartition des nœuds internes de Tmin dans toute clique K i , avec 1 ≤ i ≤ ℓ est telle que
1. si une clique K i contient k nœuds internes de Tmin , alors 12 (k − 1)(k − 2) arêtes de K i sont dites
P ;
perdues, et appartiennent donc à Emin
2. une clique K i ne peut contenir un nombre de nœuds internes de Tmin strictement supérieur à 3 :
|V (K i ) ∩ in(Tmin )| ≤ 3 pour tout i tel que 1 ≤ i ≤ ℓ.
3. il ne peut pas y avoir plus d’une clique contenant 3 nœuds internes de Tmin ;
4. s’il existe une clique K i contenant 3 nœuds internes de Tmin , alors l ≡ 0 (mod r) et ℓ ≥ r ;
5. il existe au moins une clique K i contenant strictement moins de 2 nœuds internes de Tmin ;
6. si pour chaque clique K i on a V (K i ) ∩ in(Tmin ) ≥ 1, alors le nombre de cliques contenant 3 nœuds
internes de Tmin est strictement inférieur à celui contenant exactement 1 nœud interne de Tmin .
Démonstration. .
(1) : 21 k(k − 1) arêtes lient les k nœuds internes de V (K i ) ∩ in(Tmin ) entre eux. Seulement k − 1 sont
P .
utilisées dans Tmin . Les autres sont donc des arêtes perdues et ajoutées à Emin
P
(2) et (3) : Conséquence du point (1), autrement nous aurions |Emin | > 1.
P | ≥ 1 et donc ped(T ) ≥ 2. Réutilisé dans l’inéquation 3, on
(4) : Si |V (K i ) ∩ in(Tmin )| = 3, alors |Emin
min
obtient −⌈ℓ/r⌉r + ℓ + 2 = 2, et donc ℓ ≡ 0 (mod r). Puisque ℓ > 0, on a ℓ ≥ r.
(5) et (6) : L’équation 2 dit que le nombre de nœuds internes de Tmin est strictement inférieur à deux fois
le nombre de cliques. Posons a, b, c et d le nombre de cliques ayant 0, 1, 2 ou 3 nœuds internes, avec
a + b + c + d = ℓ, il faut que b + 2c + 3d < 2ℓ, donc que a + b > 0. Si a = 0, il faut que d < b.
Lemme 1. Pour tout ℓ ≥ 2 et tout r ≥ 6, il n’existe pas d’ensemble de r CIST sur K2r−1 Cℓ .
Démonstration. Supposons l’existence de r CIST. Soit Tmin l’arbre tel que in(Tmin ) = min1≤i≤r in(Ti )
Si une clique K i , 1 ≤ i ≤ ℓ, ne contenait aucun nœud de in(Tmin ), alors connecter les sommets de K i aux
S
nœuds internes de Tmin nécessiterait au moins 2r − 1 ≥ 11 nœuds dans {V (K i−1 ) ∩ in(Tmin )} {V (K i+1 ) ∩
in(Tmin )}, d’où |V (K i−1 ) ∩ in(Tmin )| ≥ 6 ou |V (K i+1 ) ∩ in(Tmin )| ≥ 6, et contradiction avec la proposition
5-(2). Soit i l’indice d’une clique telle que |V (K i ) ∩ in(Tmin )| = 1 (cet indice existe d’après la proposition 5(5)), et appelons u le seul élément de V (K i ) ∩ in(Tmin ). Le nœud u est de degré au plus r + 1 dans Tmin et doit
N. Gastineau, B. Darties, O. Togni
être adjacent à au moins un nœud interne v d’une clique incidente K i−1 ou K i+1 . Donc u ne peut connecter
au mieux que r des 2r − 2 autres sommets de K i à Tmin , et restent r − 2 ≥ 4 nœuds de K i qui doivent
S
être incidents à r − 2 nœuds de {V (K i−1 ) ∩ in(Tmin )} {V (K i+1 ) ∩ in(Tmin )}, autres que v qui connecte
déjà u. Alors on a forcément |V (K i−1 ) ∩ in(Tmin )| ≥ 3 ou |V (K i+1 ) ∩ in(Tmin )| ≥ 3. En conséquence, toute
clique K i avec |V (K i ) ∩ in(Tmin )| = 1 doit être incidente à une clique contenant 3 sommets internes de
Tmin . Or, il faut plus de cliques contenant un seul nœud interne que de cliques en contenant 3, et on ne
peut en avoir plus d’une (propositions 5-(6) et 5-(3)). La seule possibilité est d’avoir une clique K j de 3
nœuds internes, dont les deux cliques adjacentes K j−1 et K j+1 contiennent chacune un seul nœud interne
de Tmin . Soit x, resp. y, le nœud interne de K j−1 , resp. de K j+1 . D’après la proposition 5-(4), on a au
moins ℓ ≥ r ≥ 6 cliques. Pour assurer la connexité de Tmin , au moins x ou y doit être adjacent à un nœud
interne de K j−2 ou K j+2 . Supposons qu’il s’agisse de x. Le sommet x ne peut connecter au mieux que r − 1
sommets feuilles de K j−1 à Tmin . Restent r − 1 ≥ 5 nœuds de K j−1 qui doivent être adjacents à des nœuds
S
de {V (K j−2 ) ∩ in(Tmin )} {V (K j ) ∩ in(Tmin )}, autres que les 2 connectant déjà x à chaque clique voisine.
S
On a donc forcement, |{V (K j−2 ) ∩ in(Tmin )} {V (K j ) ∩ in(Tmin )}| ≥ 7, donc |V (K j−2 ) ∩ in(Tmin )| ≥ 4 ou
|V (K j ) ∩ in(Tmin )| ≥ 4, mais ceci est en contradiction avec la proposition 5-(2).
En utilisant un raisonnement similaire, nous avons établi les lemmes suivants (preuves non présentées) :
Lemme 2. Pour tout 4 ≤ r ≤ 5 et tout ℓ ≥ r + 1, il n’existe pas d’ensemble de r CIST sur K2r−1 Cℓ .
Lemme 3. Il n’existe pas d’ensemble de 5 CIST sur K9 C3 .
Nous avons ensuite proposé un programme linéaire en nombres entiers (PLNE) afin de résoudre le problème pour des valeurs de m et ℓ fixées. Les résultats suivants montrent que pour certaines valeurs de m et
ℓ où K2r−1 Cℓ est un graphe 2r-connexe et 2r-régulier, on peut quand même trouver r CIST :
Lemme 4. Il existe 5 CIST dans K9 C4 et dans K9 C5 .
Lemme 5. Il existe 4 CIST dans K7 C3 et dans K7 C4 .
En couplant les résultats de la PLNE avec une répétition de motifs, nous obtenons la proposition suivante :
Lemme 6. Soit ℓ ≥ 3 un entier. Il existe 3 CIST dans K5 Cℓ .
Appelons Mcist (G) le nombre maximum de CIST pour un graphe G donné. En s’appuyant sur les résultats
des différents lemmes, nous avons pu proposer une construction de Mcist (Km Cℓ ) arbres basés sur des
motifs pour l’ensemble des valeurs de m ≥ 3 et ℓ ≥ 3. Nous revendiquons la véracité du théorème suivant :
Theorem 1. Soient m ≥ 3 et ℓ ≥ 3 deux entiers. Nous avons :
⌈m/2⌉, si m ∈ {3, 5} ou (m = 7 ∧ ℓ ∈ {3, 4}) ou (m = 9 ∧ ℓ ∈ {4, 5}) ;
Mcist (Km Cℓ ) =
⌊m/2⌋, autrement.
4 Perspectives
En perspectives, nous souhaitons déterminer les conditions suffisantes pour garantir l’existence de r CIST,
et poursuivre l’étude de ces derniers sur d’autres classes de graphes, comme les hypercubes, . . ..
Références
[1] Toru Hasunuma. Completely independent spanning trees in the underlying graph of line graph. Discrete mathematics, 234 :149–157, 2001.
[2] Toru Hasunuma. Completely independent spanning trees in maximal planar graphs. Lecture Notes in
Computer Science, 2573 :235–245, 2002.
[3] Toru Hasunuma and Chie Morisaka. Completely independent spanning trees in torus networks. Networks, 60 :56–69, 2012.
[4] Kung-Jui Pai, Shyue-Ming Tang, Jou-Ming Chang and Jinn-Shyong Yang. Completely Independent
Spanning Trees on Complete Graphs, Complete Bipartite Graphs and Complete Tripartite Graphs.
Advances in Intelligent Systems and Applications - Volume 1, 20 :107–113, 2013.
[5] Ferenc Péterfalvi. Two counterexamples on completely independent spanning trees. EGRES QuickProof, 01, 2011.