Chapitre 3 : logique

Chapitre 3 : logique
Lycée Faidherbe
2014-2015
Table des matières
1 La logique des propositions
1.1 La syntaxe . . . . . . . . . . . .
1.2 Représentation arborescente
1.3 La sémantique . . . . . . . . .
1.4 Tables de vérité . . . . . . . .
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1
1
2
3
3
2 Satisfiabilité
2.1 Tautologie et mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Formule satisfiable et contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
5
3 Exercices
7
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Résumé
La logique est un outil fondamental qui étudie et formalise le raisonnement mathématique. Elle s’est par la suite imposée comme une partie essentielle de l’informatique. Nous
verrons que la logique fait apparaître nettement la différence entre la syntaxe, qui définit
les règles formelles de manipulation des symboles utilisés, et la sémantique, qui étudie la
signification ou l’interprétation des symboles utilisés.
1
1.1
La logique des propositions
La syntaxe
Les propositions
La logique des propositions fait appel à la notion de proposition.
Définition. Une proposition est un énoncé de quelque nature que ce soit et qui peut être
qualifié de vrai ou faux.
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Ainsi 1 + 1 = 2 est une proposition vraie alors que 0 > 1 est une proposition fausse.
Certains énoncés ne sont pas des propositions. Ainsi l’énoncé « cet énoncé est faux » n’est
pas une proposition. En effet, s’il est vrai alors cela signifie qu’il est faux et s’il est faux cela
signifie qu’il est vrai. Il ne peut donc être qualifié de vrai ou faux. Il y a d’autres exemples
d’énoncés qui ne sont pas des propositions, les phrases impératives ou interrogatives par
exemple.
Les formules logiques
La logique des propositions ne s’intéresse qu’aux relations logiques entre les propositions. On
représente les propositions par des variables appelées variables propositionnelles. En utilisant
les variables et des connecteurs, on peut définir les formules par induction.
Définition. On note A un ensemble dénombrable de variables propositionnelles représentées
par les lettres x, y, z, . . .L’ensemble des formules de la logique des propositions est noté L0 . Il
est défini par :
• toute variable propositionnelle est une formule ;
• si F est une formule, alors ¬F est une formule ;
• si F et G sont de formules alors :
— F ∧ G est une formule,
— F ∨ G est une formule,
Toute formule est construite à partir de ces règles appliquées un nombre fini de fois.
Conventions syntaxiques
Dès qu’il y a plus de deux connecteurs logiques dans une formule, la présence de parenthèses
est nécessaire. En effet, la formule x ∨ y ∧ z peut être lue (x ∨ y) ∧ z ou x ∨ (y ∧ z) ce
qui ne signifie pas la même chose. Par contre une écriture complètement parenthésée peut
très rapidement se révéler lourde 1 . On décide alors d’un ordre de priorité sur les différents
connecteurs :
• ¬ est prioritaire devant
• ∧, qui est lui-même prioritaire devant
• ∨.
Ainsi la formule x ∨ y ∧ z sera lue (x ∨ y) ∧ z et ¬x ∧ y sera lue (¬x) ∧ y.
Les parenthèses dans la formule ¬(x ∨y) ne peuvent pas être enlevées sous peine de changer
la nature de la formule.
Les opérateurs ∧ et ∨ sont associatifs, les parenthèses n’ont pas d’importance :
(x ∧ y) ∧ z = x ∧ y ∧ z.
Ces règles permettent de supprimer une ou plusieurs paires de parenthèses lorsqu’il n’y a
aucune ambiguïté. Ainsi ((¬x) ∨ (¬(x ∨ y)) ∨ z) peut s’écrire ¬x ∨ ¬(x ∨ y) ∨ z.
1.2
Représentation arborescente
Il existe une autre manière de représenter les formules qui utilise un type souvent utilisé en
informatique : les arbres. Si c est un connecteur binaire et F et G des formules logiques, alors
la formule F c G et la formule ¬F sont représentées par :
¬
c
F
G
F
Ainsi la formule (¬x ∨ y) ∧ (x ∨ ¬y) est représentée par :
1. essayer de vous mettre au langage de programmation Lisp, rien que pour voir.
2
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∧
∨
¬
∨
y
x
y
x
1.3
¬
La sémantique
Évaluation des formules logiques
L’évaluation d’une formule logique permet d’associer une valeur de vérité vrai ou faux à une
formule. On commence par associer une valeur de vérité à chacune des variables propositionnelles puis on calcule la valeur de vérité de la formule.
L’ensemble des valeurs de vérité est noté vr ai, f aux ou encore 1, 0 et c’est cette notation
que nous adoptons pour la suite.
Définition. On note B = 0, 1 l’ensemble des valeurs de vérité ou ensembles des booléens, 0 est
appelé valeur de vérité faux et 1 est appelé valeur de vérité vraie.
Pour pouvoir calculer la valeur de vérité d’une formule, il faut d’abord donner des valeurs
dans B aux variables propositionnelles. Ainsi, la valeur de vérité d’une formule dépend des
valeurs de vérité des variables propositionnelles qu’elle contient.
Définition. A étant l’ensemble des variables propositionnelles, on appelle valuation des variables propositionnelles une application
v : A → B.
Maintenant qu’à chaque variable propositionnelle on a associé une valeur de vérité, on peut
associer une valeur de vérité à toute formule logique : l’application v : A → B peut être
prolongée en une application v : L0 → B de l’ensemble des formules dans l’ensemble des
valeurs de vérité. v est définie de manière inductive :
• si x ∈ A alors v(x) = v(x) ;
• si F ∈ L0 alors v(¬F ) = 1 − v(F ) ;
• si F , G ∈ L0 alors v(F ∧ G) = v(F ) · v(G) avec 1 · 0 = 0, 0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0 et 1 · 1 = 1 ;
• si F , G ∈ L0 alors v(F ∨ G) = v(F ) + v(G) avec 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 et
1+1=1
On peut maintenant définir formellement la fonction d’évaluation d’une formule logique.
Définition. Soit A l’ensemble des variables propositionnelles et L0 l’ensemble des formules
logiques, l’application
Eval :L0 × (A → B) → B
(F , v) , v(F )
est appelée la fonction d’évaluation des formules logiques.
1.4
Tables de vérité
La technique du paragraphe précédent peut vite devenir fastidieuse dès que la formule devient un peu complexe. Le formalisme des tables de vérité permet de calculer de manière
relativement simple les évaluations d’une formule pour toutes les valuations possibles de
ses variables propositionnelles.
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Les connecteurs
Les tables de vérité des connecteurs logiques sont donnés dans le tableau 1.
x
0
1
¬x
1
0
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x∧y
0
0
0
1
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x∨y
0
1
1
1
Table 1 – Table de vérité des connecteurs
Exemple de construction d’une table de vérité
Pour construire la table de vérité d’une formule, on commence par mettre une colonne pour
chaque variable propositionnelle ayant une occurrence dans la formule, puis on construit les
colonnes correspondant aux sous-formules de la formule.
Par exemple pour la formule (x ∧ ¬y) ∨ (y ∧ ¬x), on obtient la table suivante :
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x ∧ ¬y
0
0
1
0
y ∧ ¬x
0
1
0
0
(x ∧ ¬y) ∨ (y ∧ ¬x)
0
1
1
0
Équivalence de formules
Deux formules logiques sont équivalentes si pour toute valuation des variables propositionnelles qu’elles contiennent elles sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
Définition. Soit F , G ∈ L0 , on dit que F et G sont équivalentes si et seulement si pour toute
valuation v : A → B, on a v(F ) = v(G). Cette équivalence est notée F ≡ G.
Deux formules équivalentes ont donc la même table de vérité.
On définit (pour simplifier l’écriture) d’autres connecteurs logiques :
• x NAND y ≡ ¬(x ∧ y) ;
• x NOR y ≡ ¬(x ∨ y) ;
• x XOR y ou encore x ⊕ y (ou exclusif) tel que x ⊕ y ≡ (x ∧ ¬y) ∨ (y ∧ ¬x) ;
• x ⇒ y ≡ ¬x ∨ y ;
• x a y ≡ (¬x ∨ y) ∧ (¬y ∨ x)
2
2.1
Satisfiabilité
Tautologie et mathématiques
Par définition, une tautologie est une formule évaluée à vrai, quelles que soient les valeurs de
ses variables propositionnelles.
Définition. Soit A l’ensemble des variables propositionnelles et soit F ∈ L0 une formule, F est
appelée une tautologie si pour toute valuation v : A → B des variables propositionnelles on a
Eval(F , v) = 1.
La formule x ∨ x est une tautologie.
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Tautologies classiques
Les formules suivantes sont des tautologies connues :
Idempotence : x ∧ x a x .
Absorption : x ∧ (x ∨ y) a x.
Tiers exclu : x ∨ x.
Contraposition : (x ⇒ y) a (y ⇒ x).
Exportation : (x ⇒ (y ⇒ z)) a (x ∧ y ⇒ z).
Syllogisme : (x ⇒ y) ⇒ ((y ⇒ z) ⇒ (x ⇒ z)).
Loi de Pierce : ((x ⇒ y) ⇒ x) ⇒ x.
Ex falso quod libet sequitur :
2
(x ∧ x) ⇒ y.
Les deux suivantes, appelées lois de de morgan, sont les plus connues et sont aussi celles
que nous utiliserons le plus :
(
(x ∧ y) a x ∨ q
(x ∨ y) a x ∧ q
2.2
Formule satisfiable et contradiction
Définition. Une formule est dite satisfiable s’il existe une valuation des variables propositionnelles telle que la formule soit évaluée à vrai.
Toute tautologie est aussi une formule satisfiable.
Une formule est dite contradictoire si elle n’est pas satisfiable. Une formule contradictoire
est une contradiction. Si F est une contradiction alors ¬F est une tautologie.
Si la formule F contient n variables propositionnelles différentes, il nous faut essayer les 2n
valuations possibles de ces n variables, et pour chacune de ces valuations, il faut évaluer la
formule. Le temps de construction de la tables est donc un O(2n ). Ainsi, dans le pire des cas,
déterminer si une formule est satisfiable se fait avec une complexité exponentielle.
2.3
Formes normales
Pour travailler avec les formules logiques, il est utile de se ramener à une expression sémantiquement équivalente de syntaxe plus simple. Cela sera soit :
• une version standardisée et maniable ;
• une version minimisant le nombre de connecteurs binaires.
Définitions
Définition. On appelle littéral une variable propositionnelle ou bien la négation d’une variable
propositionnelle.
Définition. On appelle clause toute disjonction de littéraux. C’est à dire toute formule de la
forme p1 ∨ · · · ∨ pn où n ≥ 1 et p1 , . . . , pn sont des littéraux.
Définition. On appelle forme normale conjonctive toute conjonction de clause, c’est à dire
toute formule de la forme C1 ∧ · · · ∧ Cm où m ≥ 1 et C1 , . . . , Cm sont des clauses.
Définition. Une forme normale disjonctive est une formule de la forme D1 ∨ · · · ∨ Dm où
m ≥ 1 et chaque formule Di pour i ∈ [1, n] est une conjonction de littéraux.
Il existe une méthode pratique simple pour obtenir une forme normale :
• on exprime la formule uniquement avec des ¬, des ∧ et des ∨ ;
• on utilise les lois de De Morgan ;
• on utilise la distributivité de ∧ par rapport à ∨ et inversement.
2. Ça veut rien dire mais je trouve que ça boucle bien dirait le roi Loth
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Exemple : obtention d’une forme normale
Soit la formule :
f = (p1 ⇒ p2 ) ⇒ (¬p3 ∧ p2 ).
On calcule alors :
f ≡¬(¬p1 ∨ p2 ) ∨ (¬p3 ∧ p2 )
≡(p1 ∧ ¬p2 ) ∨ (¬p3 ∧ p2 )
≡(p1 ∧ ¬p2 ∧ p3 ) ∨ (p1 ∧ ¬p2 ∧ ¬p3 ) ∨ (p1 ∧ p2 ∧ ¬p3 )∨
(¬p1 ∧ p2 ∧ ¬p3 )
Forme normale et table de vérité
On peut aussi simplement lire les formes normales à partir de la table de vérité de la formule
logique.
On obtient la forme normale disjonctive de f à partir des lignes marquées d’un 1. La forme
normale conjonctive de f s’obtient à partir de la forme normale disjonctive de ¬f déduite
des lignes marquées d’un 0.
Exemple
On considère la formule f dont la table de vérité est :
p1
1
1
1
1
0
0
0
0
p2
1
1
0
0
1
1
0
0
p3
1
0
1
0
1
0
1
0
f
0
1
1
0
1
0
0
1
On a, avec les ligne de valuation 1
f ≡ (p1 ∧ p2 ∧ ¬p3 ) ∨ (p1 ∧ ¬p2 ∧ p3 ) ∨ (¬p1 ∧ p2 ∧ p3 )
∨ (¬p1 ∧ ¬p2 ∧ ¬p3 )
De même pour les ligne de valuation 0
¬f ≡ (p1 ∧ p2 ∧ p3 ) ∨ (p1 ∧ ¬p2 ∧ ¬p3 ) ∨ (¬p1 ∧ p2 ∧ ¬p3 )
∨ (¬p1 ∧ ¬p2 ∧ p3 )
d’où
f ≡ (¬p1 ∨ ¬p2 ∨ ¬p3 ) ∧ (¬p1 ∨ p2 ∨ p3 ) ∧ (p1 ∨ ¬p2 ∨ p3 )
∧ (p1 ∨ p2 ∨ ¬p3 )
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Exercices
Exercice 1 — Évaluation
Soit x, y ∈ A et soit v une valuation telle que v(x) = 1 et v(y) = 0, calculer Eval(y ∨ (x ∧
y), v)
Exercice 2 — Représentation arborescente
Dessiner la représentation arborescente de la formule (x ∨ (x ∨ y)) ∧ ¬x.
Exercice 3 — Formule représentée
Donnez la formule représentée par l’arbre suivant :
∨
∧
∨
y
x
y
¬
z
Exercice 4 — Table de vérité
Soit p, q et r trois variables propositionnelles, déterminer les tables de vérité des expressions
suivantes :
• (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ r ) ;
• (p ∧ q) a (p ∨ r ).
Exercice 5 — Tautologie
Montrez que la formule x ∨ y a x ∧ y est une tautologie.
Exercice 6 — Ensemble des tables de vérités avec 2 variables
Écrire toutes les tables de vérité correspondant aux expressions construites sur un ensemble
de deux variables propositionnelles. Identifier pour chaque table une expression simple dont
elle est l’évaluation.
Exercice 7 — Associativité
Montrer que les connecteurs NAND et NOR ne sont pas associatifs, puis que le connecteur
XOR est associatif.
Exercice 8 — Table de vérité et formes normales
Établir la table de vérité de la formule :
F = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ⇒ (b ⇒ c)
et mettre F sous forme normale disjonctive puis sous forme normale conjonctive.
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Exercice 9 — Le désert
Vous êtes perdu sur une piste dans le désert. Vous arrivez à une bifurcation. Chacune des
deux pistes est gardée par un sphinx que vous pouvez interroger. Les pistes peuvent soit
conduire à une oasis soit se perdre dans un désert profond (au mieux elles conduisent toutes
à une oasis, au pire elles se perdent toutes les deux). Vous disposez des informations suivantes :
A : le sphinx de droite vous répond : « Une au moins des deux pistes conduit à une oasis ».
B : le sphinx de gauche vous répond : « La piste de droite se perd dans le désert ».
C : vous savez que les sphinx disent tous les deux la vérité ou bien mentent tous les deux.
1. Si D est la proposition « Il y a une oasis au bout de la route de droite » et si G est la
proposition « Il y a une oasis au bout de la route de gauche », alors :
1. Exprimer par une formule logique les affirmations A et B.
2. Exprimer alors la connaissance C.
2. Résoudre l’énigme.
Exercice 10 — Détecteur de pannes
une nouvelle série de composants informatiques dédiés au raisonnement logique a été conçue
de manière à faciliter la détection de pannes. Chaque processeur effectue des raisonnements
logiques et peut-être soit en état de fonctionnement normal, soit en état de panne. Il se
comporte de la manière suivante :
• un processeur en état de fonctionnement normal ne peut affirmer que des propositions
vraies ;
• un processeur en état de panne ne peut affirmer que de propositions fausses.
Un ordinateur est composé de trois processeurs qui possèdent la même mémoire, donc les
mêmes connaissances. Périodiquement, un ingénieur vient interroger l’ordinateur pour déterminer si certains processeurs sont en état de panne. Lors d’une séance de test, l’ingénieur
pose les deux questions suivantes au processeur no 1 :
• est-ce que les processeurs no 2 et no 3 sont en état de fonctionnement normal ;
• est-ce le processeur no 2 est en état de fonctionnement normal ?
Le processeur no 1 répond à la première question : « Les processeurs no 2 et no 3 sont en état
de fonctionnement normal. »
Puis il répond à la seconde question : « Le processeur no 2 est en état de panne. »
Notons p1 (respectivement p2 et p3 ) la proposition « Le processeur no 1 (respectivement no 2
et no 3) est en état de panne » et supposons que l’état des trois processeurs ne peut pas
changer entre les réponses aux deux questions.
1. Exprimer la réponse à la première question sous la forme d’une expression logique.
2. Exprimer la réponse à la deuxième question sous la forme d’une expression logique.
3. Déterminer l’état de chaque processeur.
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Exercice 11 — Logique et calcul des propositions
Dans un futur lointain, l’espèce humaine a découvert une autre espèce consciente. L’étude de
cette espèce a permis de découvrir qu’elle est capable de percevoir si quelqu’un dit la vérité
ou un mensonge. Les membres de cette espèce respectent les règles de politesse suivantes
lors des discussions au sein d’un groupe : « Les orateurs doivent rester constants au cours
d’une discussion : soit ils disent toujours la vérité, soit ils mentent toujours. De plus, si un
orateur dit la vérité alors l’orateur suivant doit également dire la vérité. Si le sujet de la
discussion change, les orateurs sont libres de changer leurs comportements. ». Vous assistez
à une discussion sur les moyens d’attaque et de défense que peut posséder la faune de cette
planète entre trois membres de cette espèce que nous appellerons A, B et C.
A : « Le kjalt peut avoir un dard ou des griffes. »
B : « Non, il n’a pas de dard. »
C : « Il a des pinces et des griffes. »
Nous noterons D, G et P les variables propositionnelles associées au fait qu’un kjalt possède
respectivement un dard, des griffes et des pinces.
Nous noterons A1 , B1 et C1 les formules propositionnelles associées aux déclarations de A,
B et C dans cette première discussion.
C quitte le groupe et la discussion change de sujet pour parler de la flore de la planète.
A : « Un lyop peut être de couleur mauve mais pas de couleur jaune. »
B : « Il ne peut pas être de couleur verte. »
A : « Il ne peut être de couleur verte que s’il peut être de couleur jaune. »
Nous noterons J, M et V les variables propositionnelles associées au fait qu’un lyop peut être
respectivement de couleur jaune, mauve et verte.
Nous noterons A2 , A3 et B2 les formules propositionnelles associées aux déclarations de A et
B dans cette seconde discussion.
1. Représenter les règles de politesse appliquées à la première discussion sous la forme
d’une formule du calcul des propositions dépendant des formules A1 , B1 et C1 .
2. Représenter les informations données par les participants de la première discussion
sous la forme de formules du calcul des propositions A1 , B1 et C1 dépendant des
variables D, G et P .
3. En utilisant le calcul des propositions (résolution avec les formules de De Morgan),
déterminer le (ou les) moyen(s) d’attaque et de défense que peut posséder un kjalt.
4. Représenter les règles de politesse appliquées à la seconde discussion sous la forme
d’une formule du calcul des propositions dépendant des formules A2 , A3 et B2 .
5. Représenter les informations données par les participants lors de la seconde discussion sous la forme de trois formules du calcul des propositions A2 , A3 et B2 dépendant
des variables J, M et V .
6. En utilisant le calcul des propositions (résolution avec les tables de vérité), déterminer
la (ou les) couleur(s) possible(s) pour un lyop.
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Exercice 12 — Le connecteur de Sheffer
Le connecteur de Sheffer, noté |, est un connecteur binaire de la logique propositionnelle. Ce
connecteur est défini par :
F |G ≡def F ∨ G
où F et G sont des formules de la logique propositionnelle, F et G sont les négations ou
complémentations de ces formules et ≡def est un symbole d’égalité par définition.
Notations :
• On utilisera les lettres minuscules x, y, z,. . .pour désigner les variables propositionnelles ;
• ∨ est le symbole pour le connecteur de disjonction ;
• ∧ est le symbole pour le connecteur de conjonction ;
• ⇒ est le symbole pour le connecteur d’implication.
On considère la logique propositionnelle munie des connecteurs de négation, de conjonction,
de disjonction, d’implication et du connecteur de Sheffer.
L’objet de l’exercice est de montrer que pour toute formule F de la logique propositionnelle,
il existe une formule F ∗ , ne contenant que des variables propositionnelles et le connecteur
de Sheffer, telle que F et F ∗ soient logiquement équivalentes.
1. Construisez la table de vérité d’une formule x|y.
2. Construisez la table de vérité de la formule x|x.
3. Montrez que les formules x et x|x sont logiquement équivalentes.
4. Montrez que x ∨ y et (x|x)|(y|y) sont des formules logiquement équivalentes.
5. En vous servant des questions précédentes, montrez qu’il existe une formule logiquement équivalente à x ⇒ y ne contenant que les variables propositionnelles x et y et
deux occurrences du connecteur de Sheffer.
6. De même, montrez qu‘il existe une formule logiquement équivalente à x ∧ y ne contenant que les variables propositionnelles x et y et des occurrences du connecteur de
Sheffer.
7. Des questions précédentes, déduisez un algorithme permettant de transformer toute
formule F de la logique propositionnelle en une formule F ∗ ne contenant que des
occurrences du connecteur de Sheffer et les variables propositionnelles déjà présentes
dans F .
8. Appliquez l’algorithme de la question précédente à la formule x ∧ (y ∨ z).
Définition 1. Soit F une formule de la logique propositionnelle, on appelle poids de F et on
note σ (F ) le nombre de connecteurs présents dans la formule.
Définition 2. On appelle formule équilibrée une formule F sans connecteur de négation qui
vérifie les propriétés suivantes :
• si F est une variable propositionnelle, F est équilibrée par définition ;
• si F peut s’écrire GcH avec c ∈ {∨, ∧, ⇒, |}, si G et H sont équilibrées et si σ (G) =
σ (H) alors F est équilibrée.
9. Démontrez que si F est une formule équilibrée alors σ (F ) est dé la forme 2k − 1 avec
k entier naturel. Que représente k ?
10. On note σ ∗ (n) le poids au pire de la transformée F ∗ d’une formule F équilibrée de
poids n. Calculez σ ∗ (n).
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