Chapitre 3 : logique

Chapitre 3 : logique
Lycée Faidherbe
2014-2015
Table des matières
1 La logique des propositions 1
1.1 Lasyntaxe............................................ 1
1.2 Représentation arborescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Lasémantique ......................................... 3
1.4 Tablesdevérité ........................................ 3
2 Satisfiabilité 4
2.1 Tautologieetmathématiques................................ 4
2.2 Formule satisfiable et contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Formesnormales........................................ 5
3 Exercices 7
Résumé
La logique est un outil fondamental qui étudie et formalise le raisonnement mathéma-
tique. Elle s’est par la suite imposée comme une partie essentielle de l’informatique. Nous
verrons que la logique fait apparaître nettement la différence entre la syntaxe, qui définit
les règles formelles de manipulation des symboles utilisés, et la sémantique, qui étudie la
signification ou l’interprétation des symboles utilisés.
1 La logique des propositions
1.1 La syntaxe
Les propositions
La logique des propositions fait appel à la notion de proposition.
Définition. Une proposition est un énoncé de quelque nature que ce soit et qui peut être
qualifié de vrai ou faux.

Option informatique deuxième année Lycée Faidherbe
Ainsi 1 +1=2 est une proposition vraie alors que 0 >1 est une proposition fausse.
Certains énoncés ne sont pas des propositions. Ainsi l’énoncé « cet énoncé est faux » n’est
pas une proposition. En effet, s’il est vrai alors cela signifie qu’il est faux et s’il est faux cela
signifie qu’il est vrai. Il ne peut donc être qualifié de vrai ou faux. Il y a d’autres exemples
d’énoncés qui ne sont pas des propositions, les phrases impératives ou interrogatives par
exemple.
Les formules logiques
La logique des propositions ne s’intéresse qu’aux relations logiques entre les propositions. On
représente les propositions par des variables appelées variables propositionnelles. En utilisant
les variables et des connecteurs, on peut définir les formules par induction.
Définition. On note Aun ensemble dénombrable de variables propositionnelles représentées
par les lettres x,y,z, . . .L’ensemble des formules de la logique des propositions est noté L0. Il
est défini par :
•toute variable propositionnelle est une formule ;
•si Fest une formule, alors ¬Fest une formule ;
•si Fet Gsont de formules alors :
—F∧Gest une formule,
—F∨Gest une formule,
Toute formule est construite à partir de ces règles appliquées un nombre fini de fois.
Conventions syntaxiques
Dès qu’il y a plus de deux connecteurs logiques dans une formule, la présence de parenthèses
est nécessaire. En effet, la formule x∨y∧zpeut être lue (x ∨y) ∧zou x∨(y ∧z) ce
qui ne signifie pas la même chose. Par contre une écriture complètement parenthésée peut
très rapidement se révéler lourde 1. On décide alors d’un ordre de priorité sur les différents
connecteurs :
• ¬ est prioritaire devant
• ∧, qui est lui-même prioritaire devant
• ∨.
Ainsi la formule x∨y∧zsera lue (x ∨y) ∧zet ¬x∧ysera lue (¬x) ∧y.
Les parenthèses dans la formule ¬(x∨y) ne peuvent pas être enlevées sous peine de changer
la nature de la formule.
Les opérateurs ∧et ∨sont associatifs, les parenthèses n’ont pas d’importance :
(x ∧y) ∧z=x∧y∧z.
Ces règles permettent de supprimer une ou plusieurs paires de parenthèses lorsqu’il n’y a
aucune ambiguïté. Ainsi ((¬x) ∨(¬(x ∨y)) ∨z) peut s’écrire ¬x∨ ¬(x ∨y) ∨z.
1.2 Représentation arborescente
Il existe une autre manière de représenter les formules qui utilise un type souvent utilisé en
informatique : les arbres. Si cest un connecteur binaire et Fet Gdes formules logiques, alors
la formule Fc G et la formule ¬Fsont représentées par :
c
FG
¬
F
Ainsi la formule (¬x∨y) ∧(x ∨ ¬y) est représentée par :
1. essayer de vous mettre au langage de programmation Lisp, rien que pour voir.
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∧
∨
¬
x
y
∨
x¬
y
1.3 La sémantique
Évaluation des formules logiques
L’évaluation d’une formule logique permet d’associer une valeur de vérité vrai ou faux à une
formule. On commence par associer une valeur de vérité à chacune des variables proposi-
tionnelles puis on calcule la valeur de vérité de la formule.
L’ensemble des valeurs de vérité est noté vr ai, f aux ou encore 1,0 et c’est cette notation
que nous adoptons pour la suite.
Définition. On note B = 0,1l’ensemble des valeurs de vérité ou ensembles des booléens, 0est
appelé valeur de vérité faux et 1est appelé valeur de vérité vraie.
Pour pouvoir calculer la valeur de vérité d’une formule, il faut d’abord donner des valeurs
dans Baux variables propositionnelles. Ainsi, la valeur de vérité d’une formule dépend des
valeurs de vérité des variables propositionnelles qu’elle contient.
Définition. Aétant l’ensemble des variables propositionnelles, on appelle valuation des va-
riables propositionnelles une application
v:A→B.
Maintenant qu’à chaque variable propositionnelle on a associé une valeur de vérité, on peut
associer une valeur de vérité à toute formule logique : l’application v:A → B peut être
prolongée en une application v:L0→ B de l’ensemble des formules dans l’ensemble des
valeurs de vérité. vest définie de manière inductive :
•si x∈ A alors v(x) =v(x) ;
•si F∈ L0alors v(¬F) =1−v(F) ;
•si F, G ∈ L0alors v(F ∧G) =v(F) ·v(G) avec 1 ·0=0, 0 ·0=0, 0 ·1=0 et 1 ·1=1 ;
•si F, G ∈ L0alors v(F ∨G) =v(F) +v(G) avec 1 +0=1, 0 +0=0, 0 +1=1 et
1+1=1
On peut maintenant définir formellement la fonction d’évaluation d’une formule logique.
Définition. Soit Al’ensemble des variables propositionnelles et L0l’ensemble des formules
logiques, l’application
Eval :L0×(A→B)→ B
(F, v) ,v(F)
est appelée la fonction d’évaluation des formules logiques.
1.4 Tables de vérité
La technique du paragraphe précédent peut vite devenir fastidieuse dès que la formule de-
vient un peu complexe. Le formalisme des tables de vérité permet de calculer de manière
relativement simple les évaluations d’une formule pour toutes les valuations possibles de
ses variables propositionnelles.
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Les connecteurs
Les tables de vérité des connecteurs logiques sont donnés dans le tableau 1.
x¬x
0 1
1 0
x y x ∧y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
x y x ∨y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Table 1 – Table de vérité des connecteurs
Exemple de construction d’une table de vérité
Pour construire la table de vérité d’une formule, on commence par mettre une colonne pour
chaque variable propositionnelle ayant une occurrence dans la formule, puis on construit les
colonnes correspondant aux sous-formules de la formule.
Par exemple pour la formule (x ∧ ¬y) ∨(y ∧ ¬x), on obtient la table suivante :
x y x ∧ ¬y y ∧ ¬x (x ∧ ¬y) ∨(y ∧ ¬x)
0 0 0 0 0
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 1 0 0 0
Équivalence de formules
Deux formules logiques sont équivalentes si pour toute valuation des variables proposition-
nelles qu’elles contiennent elles sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
Définition. Soit F,G∈ L0, on dit que Fet Gsont équivalentes si et seulement si pour toute
valuation v:A→B, on a v(F) =v(G). Cette équivalence est notée F≡G.
Deux formules équivalentes ont donc la même table de vérité.
On définit (pour simplifier l’écriture) d’autres connecteurs logiques :
•x NAND y ≡ ¬(x ∧y) ;
•x NOR y ≡ ¬(x ∨y) ;
•x XOR y ou encore x⊕y(ou exclusif) tel que x⊕y≡(x ∧ ¬y) ∨(y ∧ ¬x) ;
•x⇒y≡ ¬x∨y;
•xay≡(¬x∨y) ∧(¬y∨x)
2 Satisfiabilité
2.1 Tautologie et mathématiques
Par définition, une tautologie est une formule évaluée à vrai, quelles que soient les valeurs de
ses variables propositionnelles.
Définition. Soit Al’ensemble des variables propositionnelles et soit F∈ L0une formule, Fest
appelée une tautologie si pour toute valuation v:A→Bdes variables propositionnelles on a
Eval(F, v) =1.
La formule x∨xest une tautologie.
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Tautologies classiques
Les formules suivantes sont des tautologies connues :
Idempotence : x∧xax.
Absorption : x∧(x ∨y) ax.
Tiers exclu : x∨x.
Contraposition : (x ⇒y) a(y ⇒x).
Exportation : (x ⇒(y ⇒z)) a(x ∧y⇒z).
Syllogisme : (x ⇒y) ⇒((y ⇒z) ⇒(x ⇒z)).
Loi de Pierce : ((x ⇒y) ⇒x) ⇒x.
Ex falso quod libet sequitur : 2(x ∧x) ⇒y.
Les deux suivantes, appelées lois de de morgan, sont les plus connues et sont aussi celles
que nous utiliserons le plus :
((x ∧y) ax∨q
(x ∨y) ax∧q
2.2 Formule satisfiable et contradiction
Définition. Une formule est dite satisfiable s’il existe une valuation des variables proposition-
nelles telle que la formule soit évaluée à vrai.
Toute tautologie est aussi une formule satisfiable.
Une formule est dite contradictoire si elle n’est pas satisfiable. Une formule contradictoire
est une contradiction. Si Fest une contradiction alors ¬Fest une tautologie.
Si la formule Fcontient nvariables propositionnelles différentes, il nous faut essayer les 2n
valuations possibles de ces nvariables, et pour chacune de ces valuations, il faut évaluer la
formule. Le temps de construction de la tables est donc un O(2n). Ainsi, dans le pire des cas,
déterminer si une formule est satisfiable se fait avec une complexité exponentielle.
2.3 Formes normales
Pour travailler avec les formules logiques, il est utile de se ramener à une expression séman-
tiquement équivalente de syntaxe plus simple. Cela sera soit :
•une version standardisée et maniable ;
•une version minimisant le nombre de connecteurs binaires.
Définitions
Définition. On appelle littéral une variable propositionnelle ou bien la négation d’une variable
propositionnelle.
Définition. On appelle clause toute disjonction de littéraux. C’est à dire toute formule de la
forme p1∨ · · · ∨ pnoù n≥1et p1, . . . , pnsont des littéraux.
Définition. On appelle forme normale conjonctive toute conjonction de clause, c’est à dire
toute formule de la forme C1∧ · · · ∧ Cmoù m≥1et C1, . . . , Cmsont des clauses.
Définition. Une forme normale disjonctive est une formule de la forme D1∨ · · · ∨ Dmoù
m≥1et chaque formule Dipour i∈[1, n] est une conjonction de littéraux.
Il existe une méthode pratique simple pour obtenir une forme normale :
•on exprime la formule uniquement avec des ¬, des ∧et des ∨;
•on utilise les lois de De Morgan ;
•on utilise la distributivité de ∧par rapport à ∨et inversement.
2. Ça veut rien dire mais je trouve que ça boucle bien dirait le roi Loth
Chapitre 3 : logique 5