Introduction à la logique.

Introduction à la logique.
Sujet de TD numéro 2 - L1 MPI
Septembre - octobre 2014
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Exercice I.
Une grammaire pour les formules du calcul propositionnel.
Une grammaire permettant de reconnaître les formules de la logique propositionnelle est définie par les
deux règles dans lesquelles Aet Bsont des symboles non-terminaux.
1. A! (B)
(¬A) (A=)A) (A^A) (A_A)
2. B! Xi
1. En appliquant les règles de la grammaire précédente, former 10 formules propositionnelles.
Exemple :
Je pars de Apour écrire ensuite (A^A).JeremplacelepremierApar (B)puis Bpar X1.J’obtiens
X1^(A).
Je remplace le Apar (A)A)ce qui donne X1^(A)A).
Enfin je remplace le deuxième Apar (B)puis Bpar X2,lepremierApar (¬A);leAremplacé
par (B);leBpar X3.
Au final on obtient la formule X1^(¬X3))X2.
2. Les formules propositionnelles suivantes sont elles acceptables (reconnues par la grammaire pré-
cédente.)
Si oui, proposer une construction. Sinon justifier votre réponse.
(a) X1^X2.
(b) X1^X2^X3.
(c) (X1)(X2)X3)) _(X4_(X4)X5)).
(d) (X1)X2))X3.
Remarque : penser à rajouter des (et )autour des variables et autour des formules.
En effet on rappelle que pour des considérations de simplicité de lecture les parenthèses les plus in-
térieures (autour des variables propositionnelles) et les parenthèses les plus extérieures (autour de la
formule) ne sont pas représentées (elles sont implicites).
Ainsi la question 2.a) revient à justifier que la formule ((X1)^(X2)) est/n’est pas acceptable
Exercice II.
Quelques définitions :
On considère la logique propositionnelle booléenne. Soient =(Xi)i2N⇤les variables.
On appelle affectation toute fonction ⌫de dans {0; 1}.
On peut prolonger la fonction àl’ensembledesformulespropositionnellesàl’aidedestablesdevérité
vues en CM que l’on rappelle ci-dessous :
1

Négation
X¬X
0 1
1 0
Conjonction
X Y X ^Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Disjonction
X Y X _Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Implication
X Y X )Y
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Une affectation peut-être résumée partiellement dans un tableau. Par exemple : X10
X21
X31
X40
X51
X60
Le prolongement de ⌫est appelé évaluation (issue de ⌫)etnotéeval
⌫.Lavaleurdeeval ⌫pour F
une formule propositionnelle est appelée valeur logique de F.Onlanoteeval
⌫(F).
On dit qu’une formule propositionnelle Fest satisfaite par l’évaluation issue de ⌫lorsque eval⌫(F)=1
On dit qu’une formule propositionnelle Fest satisfaisable lorsqu’il existe une évaluation issue d’une
affectation ⌫telle que eval⌫(F)=1
On dit qu’une formule propositionnelle Fest valide lorsque pour tout affectation ⌫on a eval⌫(F)=1.
On dit aussi que Fest une Tautologie.
On dit que deux formules propositionnelles sont équivalentes lorsque les évaluations qui satisfont l’une
satisfont l’autre et réciproquement
Quelques questions :
1. On considère l’évaluation donnée ci-dessus (dans le tableau).
Les formules sont-elles satisfaites par cette évaluation :
(a) X1^(¬(X2)X3))
(b) (¬X1)_(¬(X2)X3))
(c) X1)(X2)(X3)(X4)(X5)(X6)X1)))))
2. Montrer qu’une formule du type X1)(X1)(X2)(X3)···(Xn)X1)···)) est satisfaite
par toute évaluation ⌫vérifiant ⌫(X1)=1.
3. Montrer que la formule propositionnelle (X1)X2)^(X2)X3))(X1)X3)est une
tautologie.
4. Montrer que la formule propositionnelle (X1)X2)_(X2)X3))(X1)X3)n’est pas une
tautologie.
5. La formule ¬(X1^(¬(X1)) est-elle une tautologie ?
6. Montrer que les formules X1)X2et (¬X1)_X2sont équivalentes.
7. On note pour Fet Gdeux formules F
G=¬(F^G)(en logique  est appelé barre de Scheffer et
correspond à l’opérateur NAND des électroniciens).
Montrer que l’on peut exprimer de manière équivalente tous les opérateurs à l’aide la barre de
Scheffer.
Exemple :F)Gest une formule équivalente à F
G
G=¬⇣F^¬
G^G⌘(à vérifier).
Indication :
On commencera par montrer que
¬Fest équivalente à F
Fpuis que.
F^Gest une formule équivalente à ¬¬(F^G)et enfin que
F_Gest une formule équivalente à ¬(¬F)^(¬G)
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