Introduction à la logique.

Introduction à la logique.
Sujet de TD numéro 2 - L1 MPI
Septembre - octobre 2014
http://depinfo.u-cergy.fr/logiqueL1
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Exercice I.
Une grammaire pour les formules du calcul propositionnel.
Une grammaire permettant de reconnaître les formules de la logique propositionnelle est définie par les
deux règles dans lesquelles A et B sont des symboles non-terminaux.
1. A ! (B) (¬A) (A =) A) (A ^ A) (A _ A)
2. B ! Xi
1. En appliquant les règles de la grammaire précédente, former 10 formules propositionnelles.
Exemple :
Je pars de A pour écrire ensuite (A^A). Je remplace le premier A par (B) puis B par X1 . J’obtiens
X1 ^ (A).
Je remplace le A par (A ) A) ce qui donne X1 ^ (A ) A).
Enfin je remplace le deuxième A par (B) puis B par X2 , le premier A par (¬A) ; le A remplacé
par (B) ; le B par X3 .
Au final on obtient la formule X1 ^ (¬X3 ) ) X2 .
2. Les formules propositionnelles suivantes sont elles acceptables (reconnues par la grammaire précédente.)
Si oui, proposer une construction. Sinon justifier votre réponse.
(a) X1 ^ X2 .
(b) X1 ^ X2 ^ X3 .
(c) (X1 ) (X2 ) X3 )) _ (X4 _ (X4 ) X5 )).
(d) (X1 ) X2 ) ) X3 .
Remarque : penser à rajouter des ( et ) autour des variables et autour des formules.
En effet on rappelle que pour des considérations de simplicité de lecture les parenthèses les plus intérieures (autour des variables propositionnelles) et les parenthèses les plus extérieures (autour de la
formule) ne sont pas représentées (elles sont implicites).
Ainsi la question 2.a) revient à justifier que la formule ((X1 ) ^ (X2 )) est/n’est pas acceptable
Exercice II.
Quelques définitions :
On considère la logique propositionnelle booléenne. Soient = (Xi )i2N⇤ les variables.
On appelle affectation toute fonction ⌫ de dans {0; 1}.
On peut prolonger la fonction à l’ensemble des formules propositionnelles à l’aide des tables de vérité
vues en CM que l’on rappelle ci-dessous :
1
Négation
X
¬X
0
1
1
0
X
0
0
1
1
Conjonction
Y
X ^Y
0
0
1
0
0
0
1
1
X
0
0
1
1
Disjonction
Y
X _Y
0
0
1
1
0
1
1
1
X
0
0
1
1
Une affectation peut-être résumée partiellement dans un tableau. Par exemple : X1
X2
X3
X4
X5
X6
Implication
Y
X)Y
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
Le prolongement de ⌫ est appelé évaluation (issue de ⌫) et noté eval⌫ . La valeur de eval⌫ pour F
une formule propositionnelle est appelée valeur logique de F . On la note eval⌫ (F ).
On dit qu’une formule propositionnelle F est satisfaite par l’évaluation issue de ⌫ lorsque eval⌫ (F ) = 1
On dit qu’une formule propositionnelle F est satisfaisable lorsqu’il existe une évaluation issue d’une
affectation ⌫ telle que eval⌫ (F ) = 1
On dit qu’une formule propositionnelle F est valide lorsque pour tout affectation ⌫ on a eval⌫ (F ) = 1.
On dit aussi que F est une Tautologie.
On dit que deux formules propositionnelles sont équivalentes lorsque les évaluations qui satisfont l’une
satisfont l’autre et réciproquement
Quelques questions :
1. On considère l’évaluation donnée ci-dessus (dans le tableau).
Les formules sont-elles satisfaites par cette évaluation :
(a) X1 ^ (¬(X2 ) X3 ))
(b) (¬X1 ) _ (¬(X2 ) X3 ))
(c) X1 ) (X2 ) (X3 ) (X4 ) (X5 ) (X6 ) X1 )))))
2. Montrer qu’une formule du type X1 ) (X1 ) (X2 ) (X3 ) · · · (Xn ) X1 ) · · · )) est satisfaite
par toute évaluation ⌫ vérifiant ⌫(X1 ) = 1.
3. Montrer que la formule propositionnelle (X1 ) X2 ) ^ (X2 ) X3 ) ) (X1 ) X3 ) est une
tautologie.
4. Montrer que la formule propositionnelle (X1 ) X2 ) _ (X2 ) X3 ) ) (X1 ) X3 ) n’est pas une
tautologie.
5. La formule ¬(X1 ^ (¬(X1 )) est-elle une tautologie ?
6. Montrer que les formules X1 ) X2 et (¬X1 ) _ X2 sont équivalentes.
7. On note pour F et G deux formules F G = ¬(F ^ G) (en logique est appelé barre de Scheffer et
correspond à l’opérateur NAND des électroniciens).
Montrer que l’on peut exprimer de manière équivalente tous les opérateurs à l’aide la barre de
Scheffer.
⇣
⌘
Exemple : F ) G est une formule équivalente à F G G = ¬ F ^ ¬ G ^ G (à vérifier).
Indication :
On commencera par montrer que
¬F est équivalente à F F puis que.
F ^ G est une formule équivalente à ¬ ¬(F ^ G) et enfin que
F _ G est une formule équivalente à ¬ (¬F ) ^ (¬G)
2